闲来无事琢磨数学，

在研究一个数学问题时，推导出一个数学表达式如下：

\[f(k)=\frac{\sum_{i=1}^{k}2^{g(k-i)}3^{i-1}}{2^{g(k)}-3^k}. \qquad\qquad\qquad\]

其中： 1.  $k,g(i)$  为整数；

           2.  $g(0)=0 $ 且 $g(i+1)>g(i)$；

           3.  $2^{g(k)}>3^k$.

令 $g(i)=2i\ \ (i=1,2,......,k)$，代入 $f(k)$ 可得一恒等式：$f(k)\equiv1$.

是否这是 $f(k)$  唯一的正整数解 ? 

直觉感到不会有其它的正整数解，但能否证明，如何证明？

对我来说难以解决的数学问题，对专业数学人士而言也许不算什么，特此向科学网中的老师们请教。