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揭秘量子力学与量子态
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揭秘量子密码、量子纠缠与量子隐形传态
施郁
（复旦大学物理学系，上海 200433）
摘要 本文以光子的偏振态为例，对量子力学、量子态、量子密码、量子纠缠和量子隐形传态作简要通俗而又力求准确的介绍。首先通过与经典物理的对比，引进量子力学的基本思想和量子态的基本涵义。接着介绍量子密码的BB84量子密钥分配方案。然后介绍量子纠缠，强调它不违反相对论。 在此基础上，介绍了量子隐形传态，强调了经典通讯在这个过程中的必不可少。
关键词 量子力学; 量子态; 量子密码; 量子纠缠; 量子隐形传态
量子信息指利用量子力学的基本原理进行信息处理，在最近一些年，得到了很多发展。量子信息包括量子通信、量子计算，等等。量子通信包括量子密码、量子隐形传态，等等。量子隐形传态和量子计算都基于量子纠缠。量子纠缠是量子力学中的一个基本概念。本文对量子力学、量子态、量子密码、量子纠缠和量子隐形传态作简要通俗而又力求准确的介绍。
1. 揭秘量子力学与量子态
为了解释什么是量子力学，我们从经典物理说起。
经典物理包括以牛顿三大定律为核心的牛顿力学（或称经典力学），以及以麦克斯韦方程组为核心的经典电动力学（或称电磁学）。 对于速度接近光速，以及强引力场情况，还要考虑狭义及广义相对论，但是相对于量子力学而言，它们仍然属于经典物理的范畴。
在经典物理中，每个物理量，比如位置、动量、角动量、电场强度、电流，等等，在每个时刻都有明确的取值，都是一个客观实在。而它们随时间变化的情况就是动力学，由牛顿力学及经典电动力学的基本定律决定。只要知道某个时刻的物理量的值，就可以从动力学得到其它任意时刻的取值。 因此本质上经典物理是决定论的。
经典物理里也有几率，或称概率。但这是一种粗粒化描述。在不了解或者无法控制细节时，考虑各种可能性，从而得到几率分布。比如掷骰子。骰子的运动其实是一个决定论的过程，没有本质上的随机性。如果了解它的力学细节，比如质量分布、初始位置、方位、速度、整个下落过程中的受力情况等等，其实是可以预言最后哪一面朝上的。当然，在实际中一般做不到这一点。而对于各种细节情况作平均，就可以预言，如果投掷N次，其中每一面朝上的次数大约N/6次。也就是说，每一面朝上的几率大概是1/6。
经常有这样的情况，即细节描述不但不可能，而且没有必要，而几率描述更抓住问题的本质，比如一团气体在给定温度下，各种微观状态有一个几率分布，由此可以得到给定温度下的宏观性质，比如平均总能量、压强等等。这就是统计物理。基于经典力学的经典统计物理中的几率抓住了问题的本质，但这种几率和骰子类似，不是实质性的，也就是说，微观细节仍然是服从经典物理的决定论过程。
那么，什么样的几率是实质性的，也就是说背后没有决定论的过程？答案就是量子力学中的几率。量子力学的中心概念是量子态，而根据量子态，可以计算出各种几率分布。下面我们将了解到，量子态比几率分布的涵义还要多。
量子态不是一个物理量，而是一个描述。由此决定各相关物理量被测量后的各种取值的几率，从而可以计算出每个相关物理量的期望值，或称平均值。而一旦作了某个物理量的测量，就得到这些可能值中的一个。而量子态也相应地更新为一个新的量子态，在这个量子态上，刚测得的物理量取值的几率为1。
举一个例子。光有个性质叫偏振，代表了电场振动方向，它总是位于与传播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿着这个平面上的一个特定方向，这种光就是线偏振光。如果偏振方向在这个平面上旋转，这种光就是圆偏振光。偏振性质不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透过偏振片，可以产生偏振方向沿着透光轴的线偏振光。如果让线偏振光垂直入射一个偏振片，它透过的强度是原来强度的$cos^2theta$, 其中$theta$是光入射前的线偏振方向与偏振片透光轴方向的夹角。
光是由光子组成的，光子服从量子力学。现在让我们考虑单个的光子。 单个光子的偏振方向总是位于与动量正交的平面上。线偏振的光子透过偏振片的几率是$cos^2theta$。
几率的涵义如下。如果有N个（N很大）偏振量子态都是$|thetarangle$的光子分别入射到这个偏振片上，也就是说，对于同样的量子态$|thetarangle$，重复$N$次相同的过程，那么有$Ncos^2theta$ 个光子透射过去。
但是对于每一个光子来说，无法预测它究竟能否透射过去，完全不能。所以我说量子力学的几率是实质性的。
量子力学有一套理论框架描述这些性质。 光子的偏振由一个量子态描述。我们可以把它记为$|psirangle$。 它在数学上是一种矢量。
我们知道，空间中的矢量，比如位置，由几个坐标（或者叫分量）确定。任意一个矢量都可以分解为几个互相正交的基本矢量。它们平行或反平行于坐标轴，长度大小就是坐标的绝对值，方向由坐标的符号代表。它们称作基矢。与之类似，量子态这种矢量也可以分解为几个互相正交的基矢，它们称为基矢态。这里的矢量不是在我们所生活的空间，而是在一个抽象的数学空间里，称作矢量空间。它是这个量子系统的所有可能的量子态的集合，服从一定的运算规则。这些矢量的正交也有它的定义。
在我们生活的空间里，坐标的选择是任意的。与之类似，对于一个量子态来说，选择哪一套基矢态来展开或者分解也是任意的。但是为了计算某个测量的几率，选择与这个测量对应的基矢态比较方便。光子透过偏振片可以看作一个测量过程，如果偏振方向沿着偏振片的透光轴方向，就会穿透；而如果垂直于透光轴方向，就不能穿透。
为简单起见，我们考虑某个垂直入射偏振片的线偏振光子。假设在偏振片上定义一个xy平面，光子的线偏振沿着$theta$方向。我们将这个偏振量子态记作$|thetarangle$。
现在先假设偏振片的透光轴沿着x方向。为了计算光子透过偏振片的几率，可以把光子原来的量子态分解如下,
begin{equation}
|thetarangle = costheta |leftrightarrowrangle + sintheta |updownarrowrangle, label{theta}
end{equation}
其中$|leftrightarrowrangle$与$|updownarrowrangle$互相正交，$|leftrightarrowrangle$代表光子偏振方向沿着x方向，即目前偏振片的透光轴，$|updownarrowrangle$代表光子偏振方向沿着y方向，即垂直于偏振片的透光轴。
begin{equation}
|thetarangle = costheta |leftrightarrowrangle + sintheta |updownarrowrangle, label{theta}
end{equation}
其中$|leftrightarrowrangle$与$|updownarrowrangle$互相正交，$|leftrightarrowrangle$代表光子偏振方向沿着x方向，即目前偏振片的透光轴，$|updownarrowrangle$代表光子偏振方向沿着y方向，即垂直于偏振片的透光轴。
光子入射偏振片，量子态变得非此基矢态即彼基矢态，要么变成$|leftrightarrowrangle$，从而透过偏振片；要么变成$|updownarrowrangle$, 从而不能通过偏振片。 前者的几率是$cos^2theta$，后者的几率是$sin^2theta$。几率等于展开式（1）式右侧各基矢态前面的系数（通常称作展开系数）的模的平方。这是由量子态决定几率的基本规则。这些系数的模的平方之和等于1，因为各种可能的几率之和应该是1。 因此，光子穿透偏振片的几率是$cos^2theta$，穿透后的量子态变为$|leftrightarrowrangle$。
现在我们改变一下偏振片的方位，将它逆时针转动$45^o$，然后再将处于同样偏振量子态$|thetarangle$的光子入射。现在将光子的量子态$|thetarangle$作如下分解比较方便，
begin{equation} |thetarangle = costheta' | nearrow rangle + sintheta' |nwarrowrangle, label{thetaprime}
end{equation}
其中$theta' =theta- 45^o$，$| nearrow rangle$ 代表光子偏振方向沿着$45^o$方向，即目前偏振片的透光轴，$|nwarrowrangle$ 代表光子偏振方向沿着$135^o$方向，即垂直于偏振片目前的透光轴。可以看出，对于目前的偏振片透光轴方向，光子穿透偏振片的几率是 $ cos^2theta'$, 穿透后的量子态成为 $ | nearrow rangle$ 。
begin{equation} |thetarangle = costheta' | nearrow rangle + sintheta' |nwarrowrangle, label{thetaprime}
end{equation}
其中$theta' =theta- 45^o$，$| nearrow rangle$ 代表光子偏振方向沿着$45^o$方向，即目前偏振片的透光轴，$|nwarrowrangle$ 代表光子偏振方向沿着$135^o$方向，即垂直于偏振片目前的透光轴。可以看出，对于目前的偏振片透光轴方向，光子穿透偏振片的几率是 $ cos^2theta'$, 穿透后的量子态成为 $ | nearrow rangle$ 。
事实上, 式（1）也适用于$| nearrow rangle$和$|nwarrowrangle$, 分别对应于$theta =45^o$和$theta =135^o$，也就是说，
begin{equation}
begin{array}{rcl}
|nearrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |leftrightarrowrangle + |updownarrowrangle), \
|nwarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}(- |leftrightarrowrangle + |updownarrowrangle).
end{array} label{transform1}
end{equation}
反过来就是
begin{equation}
begin{array}{rcl}
|leftrightarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |nearrowrangle - |nwarrowrangle ), \
|updownarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |nearrowrangle + |nwarrowrangle).
end{array} label{transform2}
end{equation}
后两式也可以分别通过将$theta=45^o$和$theta =135^o$带入（2）式得到。
begin{equation}
begin{array}{rcl}
|nearrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |leftrightarrowrangle + |updownarrowrangle), \
|nwarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}(- |leftrightarrowrangle + |updownarrowrangle).
end{array} label{transform1}
end{equation}
反过来就是
begin{equation}
begin{array}{rcl}
|leftrightarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |nearrowrangle - |nwarrowrangle ), \
|updownarrowrangle & = & frac{1}{sqrt{2}}( |nearrowrangle + |nwarrowrangle).
end{array} label{transform2}
end{equation}
后两式也可以分别通过将$theta=45^o$和$theta =135^o$带入（2）式得到。
也有复杂一点的测量方法，可以做到测量一个光子的偏振态而且不失去它。比如，借助于一个双折射晶体和两个偏振片，使得每个光子都能随机地从一个偏振片透射出来，非此即彼，每个偏振片分别对应于一个基矢态。下面所讨论的对偏振态的测量就是这样。为了简单起见，这里不赘述细节。
一般来说，一个量子态用基矢态展开，比如圆偏振态用线偏振基矢态展开，展开系数是复数。但是为简单起见，本文所用的例子中，展开系数都是实数。
对于不同的物理性质有不同的量子态。比如偏振是一个物理性质，动量是另一个物理性质。如果不同的物理性质之间没有耦合，相应的量子态也没有耦合，只需要考察相关的量子态。比如在上面这个例子里，关于光子的动量或者位置当然也有量子态，但是与我们关心的偏振现象没有关系，所以不去关心。
在测量之前，量子态随时间的演化是由一个动力学方程决定的，这个方程被称作薛定谔（E. Schr $\ddot{o}$ dinger）方程，因为历史上第一个例子（描写氢原子中的电子）是由薛定谔提出的。与相关物理性质有关的能量是一个常数时，相应的量子态在测量之前就不变。本文下面的讨论都属于这种情况。 在量子力学里，量子态、几率分布以及物理量的期望值都可以有决定论的动力学演化，但是这改变不了量子力学的几率本质，因为在每个量子态上，作一个物理量的测量，都有一个内在随机性。
什么情况下用经典物理，什么情况下必须用量子力学？它们的分界线在哪里？严格来说，这是一个没有完全解决的问题。对于具体的实际情况（for all practical purposes），一般能够判断，比如，一般来说，小分子层次以下的微观粒子必须要用量子力学，而我们周围的宏观物体服从经典物理。但是随着实验技术的进步，越来越大的物体表现出量子效应。所以有可能所有的物质本质上都服从量子力学，只是在环境的作用下，表观上显示出经典物理。但是也有可能量子力学的适用范围是有限的。笔者认为，按物理学目前的水平来说，这两种可能都是存在的。
注：本文是应《自然杂志》之邀所作【施郁，自然杂志，2016年，第38卷第4期，特约专稿，P.241-247】。文章较长，这是第1章
量子卫星
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