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证明论的百年成就

已有 4721 次阅读 2016-4-10 19:08 |个人分类:超数学|系统分类:论文交流|关键词:希尔伯特,“元数学”| 希尔伯特, “元数学”

证明论系由希尔伯特创立,这在数学界是没有异议的。大致说来,证明论经过了百年。

 

那么,百年以来,证明论取得了哪些成就呢?

 

中国大百科全书数学卷“证明论”条目认为证明论系希尔伯特创立,希尔伯特将“元数学(Meta-mathematics)”等同于“证明论”,这也是数学界普遍接受的观点,没有异议。

那么我们可以看看被称为“元数学(Meta-mathematics)”著作如何总结证明论的百年成就(基本内容)。

克林是希尔伯特的学生,他撰写了一本Meta-mathematics著作S C Kleene. IntroductionMetamathemat,D.Van Nostrand Company,Inc.,1952),我国逻辑学家莫绍揆译出了这部著作( S C Kleene.元数学导论.莫绍揆译.北京:科学出版社,198544.)。其目录如下:

 第一部分,数学基础问题:第一章 集论/第二章 若干基本概念/第三章 数学推理的批判。第二部分,数理逻辑:第四章 形式体系/第五章 形式推演/第六章 命题演算/第七章 谓词演算/第八章 形式数论。

 

该专著介绍了康拓集合论,哥德尔定理,图灵运算,形式推理系统等内容;但是如何概括出证明论的内容,C Kleene并没有简洁、明了、全面地说出。

 

中国大百科全书数学卷“证明论”条目列出了如下内容:可判定性问题,无矛盾性问题,证明复杂性问题,证明系统完备性问题。这个综合没有提及证明的可靠性问题,吴文俊做出的证明工作。

 

总而言之,证明论已经取得的成就构成了当前证明论的主要内容,这些内容是什么需要一个高度的概括。

 

《证明方法与理论》(张寅生[zhangyinshengnet@sina.com]著,国防工业出版社,2015年)对证明理论进行了如下概括:

证明论可归纳为6个理论体系:

①可判定性理论(包括邱奇-图灵定理及其证明);

②相容性理论(包括数学悖论结构分析和解悖理论;集合论公理系统;算术公理系统及欧几里德、罗巴切夫斯基和黎曼几何公理系统的相容性理论);

③(不)完备性理论(包括第一、第二哥德尔不完备性定理的详细证明,一阶逻辑的完备性定理相容性理论);

④可靠性理论(一阶语言的可靠性定理)。

为数学证明而构建的支持性或辅助性理论(例如为了进行图灵计算而将几何陈述转换为代数的理论);

证明复杂性理论。

2个理论体系《证明方法与理论》没有进行实质讨论。对于前4个理论体系,《证明方法与理论》给出了这些理论的发展历史、形式化表示、(定理、引理和推论的)证明、实例(例题)、当前的前沿研究状况。




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