前面说了数学的发现和发明，重温Hadamard的小书《数学领域的发明心理学》，又看到一些有意思的东西。日内瓦的心理学家Claparede提出两种不同的“发明”：一种是先有目标，然后去“发明”方法；一种是已经有方法，然后去“发明”用途。两个方面加起来，似乎正说明了发明的基本特征。

 

不管怎么界定发明和发现，它们做的都是“无中生有”的事情，而且多少有点儿出人意外。第一种“发明”的结果，正是第二种说的方法；而第二种“发明”要寻找的东西，往往会“不期而遇”，它可能是另一个第一种发明。我想到的第一个例子就是广义相对论与黎曼几何。广义相对论是第一种发明，黎曼几何也是第一种发明。而对黎曼几何这种方法来说，广义相对论是它的用场，也就成了第二种发明。但是，这第二种发明是以第一种形式产生出来的。Hadamard举的例子是圆锥曲线在行星轨道的应用。不过，圆锥曲线似乎很早就用于物体的运动了，所以对天体的运用不能算发明，而是自然的推广，是产品从研发走向了市场。而黎曼几何在相对论的应用，开辟了一个新的物理学时代，是真正的发明。

 

还有一个是Morse理论，原是Maston Morse用可微函数来研究流形拓扑结构，Penrose和Hawking将它用于时空流形，发现“正常条件下的”时空会产生奇点。这是一个奇妙的结果，我说它是数学的一小步，宇宙学的一大步。

 

第三个例子更有趣，听起来也更有诗意。那就是“魔幻月光”（Monstrous Moonshine，原是一个猜想，指“魔群”与模函数之间的朦胧的联系，所以叫“月光”。现在猜想已经证明，似乎该叫“阳光”了）。模函数早就有了，魔群也早就有了，它们之间的联系——不论是发现还是发明，也找到了，而它们还能用于超弦理论。这里面交织了多少第一种和第二种发明呢？

 

我的感觉是，在数学物理的背后藏着很多东西，本来是有序的，如果我们也有序地一个个找出来，大自然的秘密就迎刃而解了。可惜我们没有藏宝图，只能零星地胡乱地找出一些东西，只能碰运气拼凑些残缺的胳膊腿儿，而自然的大象还一点儿影子也没看见——更何况真正的大象是无形的呢！