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宇宙学还可以这么学之基础篇第3回 精选

已有 5280 次阅读 2015-5-22 13:55 |个人分类:宇宙学还可以这么学之基础篇|系统分类:科普集锦| 相对论, 爱因斯坦, 引力, 宇宙学还可以这么学

【爱因斯坦方程】

这天,小雨早早得来到办公室,冲了一杯咖啡,就坐在桌前算起了东西。不久,草稿纸上就被密密麻麻得写了一大堆式子。

“在算什么呢?”也不知道司马弦什么时候出现在了自己背后。

 张小雨:“哦,我在把FRW度规带入到爱因斯坦场方程呢。好麻烦,好复杂。师兄你有什么好办法吗?”

<公式:爱因斯坦引力场方程>

$G_{\mu\nu} = 8\pi G \, T_{\mu\nu}$

司马弦:“这个……,倒是真没什么特别好的方法。你是第一次学,一定得过这个关,以后就不怕了。”司马弦继续说道:“虽然不能避免繁琐的计算,但还是有点小技巧可以借鉴的。比如,计算方程左边的爱因斯坦张量,有以下几个步骤:

第一步:计算联络,

<公式:联络 >

$\Gamma^\mu_{\nu\rho}=\frac{1}{2}g^{\mu\alpha}(\partial_\nu g_{\rho\alpha} +\partial_\rho g_{\nu\alpha} -\partial_\alpha g_{\nu\rho} )$

第二步:计算曲率张量,

<公式:曲率张量>

$R^\sigma_{\mu\nu\rho} = \partial_\nu \Gamma^\sigma_{\mu\rho} - \partial_\mu\Gamma^\sigma_{\nu\rho} + \Gamma^\alpha_{\mu\rho}\Gamma^\sigma_{\alpha\nu} - \Gamma^\alpha_{\nu\rho}\Gamma^\sigma_{\alpha\mu}$

第三步:计算里奇(Ricci)张量和里奇(Ricci)标量,

<公式:Ricci 张量>

$R_{\mu\nu} = R^\alpha_{\mu\alpha\nu}$

<公式:Ricci 标量>

$R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$

第四步:计算爱因斯坦张量

<公式:爱因斯坦张量>

$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$

计算的时候可以按时间、空间分量分类,充分利用指标的对称性,这样即可以省力一些,又可以避免遗漏。举例子吧,假如现在要计算联络,可以遵照以下顺序:

第一步:计算上指标的时间分量

$\Gamma^0_{00}\,, \Gamma^0_{i0} = \Gamma^0_{0i} \,, \Gamma^0_{ij}$

第二步:计算上指标的空间分量


注意,联络的下指标是对称的。”

【关于指标】

张小雨:“好像比我之前胡乱算一通要好的多了,可是这里那么多指标,有的在上,有的在下,具体是什么意思呢?

司马弦:“在相对论中,矢量有协变、逆变之分,所有有指标在上和在下的区别。不过,暂时你可以不去理会什么叫协变或逆变矢量,只要记住指标有上下之分就可以了。”司马弦接着说道,“如果一个张量,有相同的一组上下指标,则这组指标称为赝指标,它的意思是要求对指标的所有取值进行求和,这叫爱因斯坦求和约定,举个例子吧:

$A^\mu = g^{\mu\nu}B_\nu = g^{\mu 0}B_0 + g^{\mu 1}B_1 + g^{\mu 2}B_2+g^{\mu 3}B_3$

$A_\mu = g_{\mu\nu}B^\nu = g_{\mu 0}B^0 +g_{\mu 1}B^1+g_{\mu 2}B^2+g_{\mu 3}B^3$

可见,度规 $g_{\mu\nu}$ 可以用来升降指标。在宇宙学中,我们用的是FRW度规,它的分量分别是

$g_{00}=-1\,,g_{11}=\frac{a^2}{1-kr^2}\,, g_{22} = a^2r^2 \,, g_{33} = a^2r^2\sin^2\theta$

以及

$g^{00}=-1\,,g^{11}=a^{-2}(1-kr^2)\,, g^{22} = a^{-2}r^{-2} \,, g^{33} = a^{-2}r^{-2}\sin^{-2}\theta$

注意哦,度规满足:

$g_{\mu\rho}g^{\rho\nu} = \delta^\nu_\rho$

这里的记号 $\delta^\nu_\rho$ 是克罗内克函数。

经过一番紧张的计算后,小雨兴奋得冲着司马弦嚷着:“师兄,我终于算出了爱因斯坦张量了,你看,你看。”

司马弦:“哟,还是挺快的嘛。现在回过头看看,是不是觉得这种计算也就这样了,没什么了不起的?”

张小雨:“是呀,不过,真不敢相信我也能做这么复杂的计算了。”

司马弦:“人的潜力真是无穷的。当年做超引力研究的前辈们真是厉害,十维的度规,不仅要算出相关的张量,还要试图去找解。要知道,那时候基本都是靠手算。”司马弦停顿了一下,接着说道:“想象一下那时的情形吧:摊开一叠厚厚的草稿纸,削尖铅笔,从左到右,从上至下开始计算,一会就密密麻麻写满了一张纸,翻一页,又继续写呀、算呀,一天下来,一叠白纸就变成了一堆公式,第二天又是这样……。”

张小雨:“哇塞,那么厉害,换成我肯定坚持不下来。”

司马弦:“现在你知道了吧,做研究其实真的是挺辛苦的。虽然现在有了计算机的帮助,可以减少一些理论推导的工作量,但计算机却不是万能的。还有就是,你得学怎么编程,怎么调试程序,怎么合理解释计算机得到的结果吧。以前给我们上微分几何的老师就曾说过,‘大家能在教室里坚持听到最后,就已经很不容易了’。不过,通过这样的训练,至少可以培养出你的一股韧劲。引用我们老师的一句话,‘物理是一门手艺,不好好练,怎么才能出师’。”

张小雨:“恩,今天我也体验了一把,感觉还好,似乎还有点小小的成就感,嘻嘻。”张小雨翻开她的草稿纸,指着上面长长的式子说道,“师兄,我觉得只要会微积分,仔细一点都能算下来。不过,可惜我的微积分知识大部分都还给老师了,现在我也就还记得一些简单函数的导数和积分了。”

司马弦:“就今天的计算来说,你掌握的微积分知识就足够了。在以后具体的研究工作中,你可能需要掌握一些特殊的积分技巧。不过,这些都是熟能生巧的事。当然了,事先复习一下微积分知识也没什么坏处,我就和你一起回忆一下吧。”(博主按:熟悉微积分的同学可以略过这段)

【微积分,微分方程】

司马弦:“我接下来讲的内容可能没有数学书上的那样严谨,也没有给出严格的证明,但是,从实用的角度上讲,还是值得参考的。”司马弦接着说道,“ 首先,我们不要去纠结导数,微分的严格定义。虽然数学家用了一套严密的极限语言定义了导数,也很漂亮,但对于初学者来说,就不那么友好了。我们先来看看,物理上为什么需要导数。”

司马弦拿过一张纸,一边写一边说道:“假如,我们想知道物理量A是怎样随着另一个物理量B的变化而变化的,那么只需要计算:

$\frac{A_2-A_1}{B_2-B_1} = \frac{\Delta A}{\Delta B}$

也就是A相对于B的变化率。比如:在某一段时间内的位移变化,就是这段时间内的平均速度:

$\bar v = \frac{\Delta S}{\Delta t}$

现在,我们想进一步知道,假如时间间隔非常短,物体的速度是多少。换句话说,把上式分母中的 $\Delta t$ 就取得非常小,甚至接近于零这个极限的时候,它的值是多少。通常我们把非常小的变化称为微元,记作 $dt$ ,而所对应的分母记作 $dS$ 。这样,你就得到了:

$v=\frac{dS}{dt}$

如果上式的计算结果是个有限值,则称为位移S的导数,物理上就是我们想要得到的瞬时速度;如果计算结果是个无穷大,在数学上就称为不可求导。”

司马弦继续说道:“再推广一下,如果现在想知道速度关于时间的变化率,即瞬时加速度a(博主按:不要混同与之前讲的尺度因子a),那该怎么算呢,其实很简单:

$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2S}{dt^2}$

可见,加速度就是速度关于时间的一阶导数,或者是位移的二阶导数。此外,以后我们会看到,求一个量的微分也就是一个求导数的过程。”

司马弦喝了一大口水,又接着说道:“接下来,我来说说积分。简单的说,积分是求导的逆运算,比如对速度的积分结果就是位移:

$\int v dt = \int \frac{dS}{dt}dt = S + C$

积分分为两大类,一类叫不定积分,它是没有给定积分限的,比如上面这个积分就是一个不定积分,因此会有一个积分常数C;另外一类叫定积分,就是给定积分上下限

$\int_0^1 v dt = \int_0^1 \frac{dS}{dt}dt = S(t=1)-S(t=0)$

图形上看,对函数v(t)ab的定积分,就是计算由v(t)这条函数曲线、时间t坐标轴,t=at=b所围成的面的面积。这个面积怎么算呢?通常,我们可以把ab的这个区间分割成n个小段,并用一个小矩形的面积来近似某一段中的面积,然后把所有的小矩形面积都加起来就可以近似看成这个面的面积。

$\int_a^b v(t) dt=\lim_{n\rightarrow\infty} \sum _{i=0}^n v(t_i)\frac{b-a}{n}$

当区间被分割的足够细,趋向于无穷,所得到的梯形面积总和就趋向于这个定积分的值了。由此可见,积分是求和的极限。当然,如果最终所得到的面积是无穷大,则这个称积分是发散的。在物理上,一个发散的结果通常是没有意义的,有时是因为理论本身有局限,有时是因为坐标的选取等人为的因素造成的。对于后一种情形,人们发明了许多方法,把其中真正的物理结果提取出来。”

司马弦:“好了,关于微积分就暂时复习到这里。记住一些基本函数的导数和积分,对你是有好处的。这就好比你用word写文章的时候,记住ctrl+c 是复制命令一样,可以大大提高工作效率。当然,就像普通的加减乘除法一样,还得记住一些基本的微积分运算法则。”

张小雨:“师兄,你不觉得积分号很奇怪吗?”

司马弦:“关于积分的这个符合,初看起来是挺奇怪的。我知道的一个解释是这样的,有人在计算的时候,把求和符合号写得很潦草,写着写着就成了今天的积分符号了。”

张小雨:“哈哈,这个解释有意思。师兄,既然讲了微积分就讲讲微分方程吧。”

司马弦:“微分方程,其实就是方程中出现了函数的导数或者积分的项,根据导数的最高次数,可以把微分方程分为几阶方程。你刚才写的爱因斯坦方程,就是一个二阶的偏微分方程组,为什么要加个偏字呢,因为有好几个自变量( $t\,,x_1\,,x_2 \,,x_3$ ),对其中一个的求导不就偏了嘛,当然偏微分一般记成( $\partial_t\,,\partial_{x_1}\,,\cdots$ );为什么加个组呢,因为有好几个方程,得到的解需应该同时满足这些方程。”

司马弦继续解释道:“再说说微分方程的求解吧。在实际工作中,想找到解析解,基本靠运气,一般能有数值解就很不错了。另外,微分方程的求解其实本质上是一个积分过程,那么积分的上下限该如何取就涉及到初始条件或者边界条件,从而来定积分常数。举个例子,比如,牛二定律是个二阶运动方程,它的解就是位移关于时间的函数。但是这样的函数往往有一组,聪明的你就会问那真实的运动轨迹究竟是哪个函数呢?这是微分方程无法回答的问题。只有当你告诉它物体的初始位置和速度,它才能告诉你物体将来会在什么时刻,以什么速度到达哪里。请记住,微分方程无法给出初始条件或者边界条件,因为它们是需要具体的物理过程来确定的。”

【理想流体的能量-动量张量】

张小雨:“师兄,爱因斯坦方程的左边我会算了,那么右边怎么算呢?”

司马弦:“右边的张量,我们称为能量-动量张量,而在宇宙学中,我们考虑的是理想流体的能量-动量张量:

<公式:能量-动量张量>

$T_{\mu\nu} = pg_{\mu\nu} + (\rho+p)U_\mu U_\nu$

公式中的分别称为能量密度和压强,它们都只是时间t的函数。四维共动速度矢量

$U^0 = 1\,, U^i = 0$

所谓理想流体,简单的理解就是组成流体的‘微小颗粒’之间没有相互作用,或者相互作用可以被忽略。理想流体是一种物理抽象,这与力学中的质点概念是一样的,真实的世界并不存在质点或者理想流体,只是在研究的时候,我们把一些不重要的因素暂时忽略而已。之所以能量-动量张量的形式要取成理想流体的形式,还是因为宇宙在大尺度上是均匀和各向同性的。通常,能量-动量张量也可以写成矩阵的形式:

$T^\mu_\nu = \begin{bmatrix} -\rho & 0 & 0 & 0\\ 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p & 0\\ 0 & 0 & 0 & p \end{bmatrix}$

可见,能量-动量张量的(00)分量描述了该流体的能量密度,(ii)分量虽然代表压强,但我们知道压强和速度或者动量有关,比如,玻璃杯中气体对杯壁的压强,主要是由于气体分子的运动不断撞击杯壁所致,所以(ii)分量其实也描述了流体的动量,并且它在各个方向上的大小都一样。

张小雨:“嗯,现在有点明白了,那我继续努力算吧,争取早点把宇宙动力学演化方程算出来。”

司马弦:“好,加油!最后友情提示一点:通常,希腊字符,比如 $\mu,\nu,\alpha,\beta\cdots$ ,取值是0,1,2,3,代表1+3维时空分量;而罗马字符,比如 $i,j,k,l\cdots,$ 取值是1,2,3,仅仅代表3维空间分量。”


(未完待续……,预告:下次将会讲到宇宙动力学方程了。)




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