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集合论的哲学认知——读《Naive Set Theory》:交并公理 精选

已有 2957 次阅读 2017-10-3 11:49 |个人分类:逻辑学|系统分类:教学心得|关键词:并公理 集合 一 交并

交并集公理——关于“一”的哲学(上)

汉字中的“一”字,可以说是笔画最简单的汉字。和西方的用拉丁字母组成的数词相比,这个看上去像是横躺着的阿拉伯数字“1”,却充满了古代中国人所寄托的哲学情怀。先看看下面一段文字:

“惟初太始,道立于一,造分天地,化成萬物”

这是什么?这就是中国人对“一”这个概念的哲学认知——许慎的《说文解字》对“一”的解释:所谓“一”,就是这个世界诞生前的状态。

和这个汉字相对应的德语词是“einheit”,大致相当于英语的“oneness”——统一性、完整性,大一统,它是从“ein(一)”派生而来,和汉字“一”的意思有着相当的重叠之处。最有意思的是,它还可以动词化:einen。

和西方语言不同的是,古汉语是没有句法意义上的词性的,一个“一”字如何使用端看使用者的“运用之妙,存乎一心”。杜牧的《阿房宫赋》第一句便是:六王毕、四海一。短短6个字,三个数词:6、4、1,可谓把数字用到了极致。不过依个人愚见,其中的“一”最为精妙,我更愿意把这个“一”字理解为动词,和德语那个einen有着同样意义的动词,这样就可以和前面的“毕”字相呼应,因为“毕”的意思是“停止”、“式微”或“衰落”,如果把“一”理解为动词,那么整个句子则对仗工整,无论“毕”还是“一”展示的都是一种过程的完成状态。更重要的,只有把“一”理解为动词,才可以精确地传达本篇笔记的核心内容——“并”与“交”的概念。所谓的“并”,就是合N为一的过程——归一。而归一,是中国文化中的一种理想境界,政治情怀,也是“并”操作背后的哲学理念。

无独有偶,在《Naive Set Theory》中,作者对“并”的解释也很传神:a sweeping generalization——横扫式的统一。什么叫“横扫式的统一”?那就是“秦王扫六合”后的“六王毕、四海一”,扫除一切屏障,实现“车同轨、书同文”的天下大一统。这个思想如果用集合的形式表示就是:

(1)

{秦、楚、燕、赵、韩、魏、齐} = {秦},

其中{}中的每个字符代表一个集合。具体的形式就是:

(2)

秦 = {a : a属于秦国人或x属于秦国土地}

楚 = {b : b属于楚国人或x属于楚国土地}

燕 = {c : c属于燕国人或x属于燕国土地}

赵 = {d : d属于赵国人或x属于赵国土地}

魏 = {e : e属于魏国人或x属于魏国土地}

齐 = {f : f属于齐国人或x属于齐国土地}

秦统一六国的方式正是这种“a sweeping generalization”——拆除六国各自为政所产生的政治、经济、文化、军事屏障,横扫千军如卷席后的天下统一。

“并”,作为集合操作的术语本身也具有“一”的原意:多个集合合在一起形成大一统的意味:union,而相应的过程则是unify——unification——合一、统一。这个过程最朴素的表达就是:在做了“一”的运算之后,我的是我的,你的也是我的。

书中对“并公理”的表述是:

(3)

对于若干集合的聚集(collection),都存在一个集合,这个集合包含了属于聚集中至少一个集合的所有元素。

如果把这个集合的聚集看做是各个集合进行“并”运算之前的“集合的集合”,那么就应当存在一个论域集合U,使得聚集中某个集合中的元素的元素属于该集合的同时也应当属于U。在上面的语境中,U应当是天下所有的人或者土地的集合。

由于U包含了所有的人民和土地,因此就存在着不属于该集合聚集——战国七雄之外的化外之民和化外之地。因此要精确表达有论域作背景的U的元素,我们就要明确指出这个元素和所属集合、集合聚集的关系:

首先,基本元素是人或者土地:x∈U;

第二,一些基本元素是战国七雄中某个国家的人或土地:x∈X,X∈{秦、楚、燕、赵、韩、魏、齐};

第三,{秦、楚、燕、赵、韩、魏、齐}构成集合的聚集C。把这三个要素放在一起,就得到关于“并”操作的形式表述:

(4)

{x∈U : 对于C中某个X,x∈X}

如果我们对U没有明确的要求,而且不再要求X的聚集C只限于“{秦、楚、燕、赵、韩、魏、齐}”,而是“天下大同”,所有的人民和土地,就称为对于“天下”的一般性表述:

(5)

U = {x : 对于C中某个X,x∈X}

这个U,就是真正的大一统,由天下所有的土地和人民构成的大一统,尽管现实中这些土地和人民分属不同的国家X,而所有国家的集合则是C。所谓“天下大同”,有两种情况,仍然存在着国家,另一种是没有国家这个组织存在。对前一种的表示我们可以简化为:

(6)

C,或者{X: X∈C},或者X∈CX

不管符号如何表示,“并”的核心思想就是“一”,其基本符号同样是大一统的U。如果真正的天下大同来到,没有国家、没有地域屏障,那么这个理想的画面就是这样的:

(7)

{X : X∈{A}} = A

A,这个理想天国的A,就是著名的乌托邦——Utopia——人类的幸福乐土。从政治学意义上讲,这个乐土又回到了中国人对“一”的解释——惟初太始,道立于一。

当然,天下并不是如此理想,人类的杀伐征战总是在改变着我们对国家的认知。上世纪90年代,大国分裂成多个小国,欧洲多国形成准国家欧盟,天下事分分合合,这就是集合论中所有“并”操作背后的人类史:“并操作”遵循下列定律:

1.交换律——A U B = B U A

2.结合律——(A U B) U C = A U (B U C)

3.幂等律——A U A=A

4. 真子集——AB 当且当A U B = B

5. 空集并——A U = A

大一统,深深地植入中国文化的核心,同时这也是这个文化看天下的方式。与这种世界观相对的,就是强调“个性解放”——世界上只有“一个”我,每个人都是不同的“自我”。这个世界观的集合论表示就是:

{a} U {b} = {a, b}

a和b虽然生活在一个集合中,但仍然可以把它们看做是独特的自我,在{a}或{b}中,a或b是它们自己世界的主宰,没有人和它们分享这个世界,但是某种命运以“并”的方式把它们联系在了一起,构成了它们共同的世界。因此当我们俯瞰一个集合

A = {a1, a2, a3, a4, …an}

中的芸芸众生时,千万别忘记每一个ai实际上都有自己的个性和世界,因为同样的,

A = {a1} U {a2} U {a3} U {a4}…{an}。

记住,{a1}并不是a1,a1是一个个体,而{a1}是一个世界,一个由a1单独占有的世界,这个世界因为a1存在而存在,也因为a1消失而不存在,这就是集合中每个成员存在的价值,它们的集体存在,定义了这个集体,同时也定义了属于它们自己的世界。

集合的“并”,现代的商业术语称作“收编”或“收购”,是说一家强有力的公司凭借雄厚的实力将另外一家公司并为自己的一部分,这个过程有可能是将被合并的公司彻底消灭,只是将其构成元素——员工和知识产权收归于己,也有可能将被合并公司作为本公司的一个部门或者子公司,独立存在。如果你恰好是被合并公司的一员,这个合并行为并不影响你的个性,在{你}这个世界中,"你"是主宰,{你}是由"你"定义的,尽管你和他人同时定义了被收购公司和收购公司未来的命运。

集合的“并”,是世界存在的一种方式,是个性和统一的共同体;“一”这个承载了某种哲学理念的思想,从来就不是一个原子概念,“惟初太始,道立于一”,说的是统,多个集合所形成的大一统概念,而“造分天地,化成萬物”则是统之中的个性化——万物各不相同,“并”后的集合仍然可以看做是由每个元素构成的集合的集合。

下一篇,我们聊聊“交”——集合的另一个操作。





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