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无穷维空间上的一个泛函

已有 3009 次阅读 2013-4-21 21:42 |个人分类:数理|系统分类:教学心得| 空间

      设 $X$ 是赋范线性空间, $\varphi:X\rightarrow R^1$ 是连续泛函,对单位球面 $S=\{u\in X|\|u\|=1\}}$ 上的每个元素 $u$ $\varphi$ 都满足 。 问该泛函是否强制?亦即,能否推出 $\lim_{\|u\|\rightarrow \infty}\varphi (u)=+\infty?$  

      在有限维空间,利用球面的紧性不难证明,答案是肯定的。但对于无穷维空间,则不一定。我们在空间 $l^2$ 上构造一个例子。

      定义一列实函数 $\{\psi_n\}$ 如下:

             

      在空间 $l^2$ 上定义泛函 $\varphi$ 为:对 $u=(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_n,\cdots )$   $\in l^2$ ,                    

$\varphi (u)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_n(\xi_n),$

则 $\varphi$ 有意义且连续。对单位球面上的每个元素对 $u=(\xi_1,\xi_2,\cdots \xi_n,\cdots )$  ,设 $\xi_j\neq 0$ ,则

$\lim_{\lambda \rightarrow +\infty}\varphi (\lambda u)\geqslant \lim_{\lambda \rightarrow +\infty}\lambda^2\xi_j^2=+\infty.$

     在 $l^2$ 中取一列元素 $\{u_n\}$ 如下:

          $u_1=(1,0,\cdots ,0,\cdots )$ ,

          $u_2=(0,2,\cdots ,0,\cdots )$ ,

                $\vdots$

          $u_n=(0,\cdots ,0,n,0\cdots )$ ,

                $\vdots$

显然, $\|u_n\|\rightarrow +\infty,$  而 $\varphi(u_n)=-n\rightarrow -\infty$ 。所以, $\varphi$ 与强制泛函相去甚远。

       看到很多正规发表的论文,甚至SCI论文,也在这个问题上犯错误,实在不应该。



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