上一篇里有关“无穷”、“无限的推理过程”、数学归纳法、反证法等概念和它们间的关系引起一些有意义的讨论，其中不乏数学专业的教授和对数学问题钻研很深的网友，让我觉得值得向更多的读者分享些相关的概念和逻辑。这里谈的并不针对讨论的所有内容，而是大多数读者可能感兴趣的核心观念和逻辑。

有人说：“看了讨论让我有点崩溃，我真的被搞糊涂了！”

这说明“无穷”的问题并不简单，正是动了脑筋考虑才会遇到的境界。数学的严谨性，就是在对原来习以为常，以为是很简单明白答案的怀疑中，得到发展的。无穷是最古老并且至今一直争论不休的话题。数学的三次危机，后两次都是关于无穷，德国大数学家魏尔（C.H.H. Weyl，1885-1955）说:“数学就是无限的科学。”

什么是无穷大？直观的印象是：“比任何数都要大的数。”这是个自相矛盾的陈述，作不得数的。但如果它不是个数，又怎么来比大小？上小学时，老师告诉我们，任何正数除以0是无穷大。这是用保持除法的封闭性来定义的数，是个数学实体了。

古希腊开始的潜无穷一派认为：无穷只是个进行中的过程，不是个数学实体。除以0的运算不合法。这个观念被很多数学家继承，高斯（K.F.Gauss，1777-1855）说:“我反对把一个无限量当作实体, 这在数学中从來是不允许的。无限只是一种说话方式, 当人们确切地谈到极限時, 是指某些比值可以任意近地趋近于它, 而另一些则允许沒有界限的增加。”柯西（A.L. Cauchy，1789-1857）通过无穷定义极限，又用极限定义无穷大和无穷小，实际上和高斯是一个意思。布勞威尔（L.E.J. Brouwer,，1881-1966）的口号是“存在即是被构造”，他坚定地认为: “数学的基础只可能建立在构造性的程序上，它必須细心地注意有哪些论点是直观所容許的, 哪些不是。”无穷的观念被他排除在外。

古希腊开始的实无穷一派认为，无穷可以是个完成的数学实体，没有它很多事说不清。牛顿、莱布尼茨用无穷小量的数学实体构造了微积分。戴德金（J.W.R. Dedekind，1831-1916）对无穷集合的定义是：如果集合有与其一一对应的真子集，则是无穷的集合。康托（G. Cantor，1845-1918）认为：必须肯定实无穷的合理性，数学才可能发展。任何有变量的域，无论是数论、分析或代数，都必须看成是实无穷。无穷大可以由集合的势来定义，是个比任何自然数要大的势。

数学归纳法是最基本的证明方法，无论哪派的数学家都承认它。数学归纳法能够证明的是对于任何具体的自然数n都成立的性质。不是对自然数全部成立的性质。前者是有限的，后者是无限的。人们不经意会把这两者混淆起来。有些人听了这个解释后，更加糊涂了。这是自然语言的模糊性，在两种无穷观的混乱中造成的。对数学命题中的“任何”，“所有”，“全部”这些词的不同解读。

潜无穷否认有无穷的集合。现代直觉主义用不可构造性，明确地反对无穷作为数学的实体，认为没有自然数集全体这个观念，因为任何有限步骤都不可能把所有的自然数都构造出来。这解读上面这些词就比较简单，它们全是一个意思，在数论中指的是随便哪个具体的自然数。实无穷用集合的概念，把无穷个元素和无穷个元素组成的集合分开，自然语言中“所有”和“全部”就可能有两种不同的解读，既可指这些元素任何一个，也可以指它们整体的集合。而人们习惯很多是按潜无穷观念数学证明的解读，一但越过这个限制，混淆便起。

Stephen Willard《General Topology》在证明了数学归纳法原理后，介绍一个悖论。

集合{1}是有限集，假如{1,2,…,n}是有限集，那么多一个元素的{1,2,…,n,n+1}也是有限集，根据数学归纳法，这对所有的自然数都成立，所以所有自然数{1,2,3…}是个有限集。

有人觉得这是谬论，这结论明显是错的，没人会这样地证明。但悖论的目的是让你思考，要准确指出逻辑错在什么地方，才会避免类似的错误。这本教科书面向的读者是读过实变和泛函等数学系的学生，训练严谨的数学基础。我读这悖论没看到解释前，愣了很长时间迷惑这里的逻辑。实际上，这悖论里前面的“所有”指集合里任意的某元素，后面是“所有”元素构成的集合，是两个不同的含义。数学归纳法只证明对自然数集合中所有元素成立的性质，不能得出对所有自然数组成了集合的性质。

无论数学哪一派都不允许使用无限的推理过程。因为这是无法确定的结果。上一篇里对数学归纳法原理的证明，可以看出这是个有限步的证明。应用数学归纳法证明时，只要证明满足那两个条件，然后应用数学归纳法原理就可以得出对任何具体的n都成立的结论。这样也只涉及到有限步的证明。数学归纳法和康托的对角线证明都只用了一次的反证法，它们都是有限的推理过程。什么是无限的推理过程？比如说一个偶数能不能分解成两个素数的和，理论上逐个试过总是可以有个肯定或否定的答案。这就是个无限的推理过程，因为你无法判断这个过程中，什么时候可以得到结论。

也许有人还觉得这些都很简单，那么大家看看能否指出下面的悖论错在哪里。

我们知道自然数可以用一些汉字来准确地描述。比如说：1024是：“二的十次方”；997是：“小于一千最大的质数”。

定理：任何自然数都能用不多于20个汉字来描述。

证明：假设有些自然数不能用20个汉字来描述，这些自然数里一定有个最小的数。基于这个性质，这个数可以表达成“不能用不多于二十个汉字描述最小的数。”这与假设矛盾，反证法证明了定理成立。

反驳：全部的汉字是个有限的集合，设为N，20个汉字最多只能表达$N^{20}$个不同的意思，而自然数有无穷多个数，不可能由这些有限个意思来区分。所以定理不成立。

你认为哪一方对，另一方到底逻辑在什么地方出错？

【后记】写于评论32，点击1521时。

在篇末的悖论里，这句话“不能用不多于二十个汉字描述的最小的数”，就像博文里“比任何数都要大的数”的定义一样，是个自相矛盾的表达，不能作为描述数的合法表达。这句话的本身并没有什么不妥，问题在于用它来描述一个自然数会产生矛盾：它的字数少于20，如果用它来描述一个数，这个数就不符合它的描述。所以在证明里不能用它来表达那个数，这样证明就不能成立。

悖论里这句话是Berry paradox的中文版。这是个自我指涉（Self-reference）的悖论。自我指涉是在陈述中引用或牵涉了自己。在自然语言，数学和计算中自我指涉是个合法的和有效率的方法，只有在某些情况下会导致悖论。例如 $x = f(x)$ 是个自我指涉的表达式，它的含义可以直接通过一个递归的推理或迭代的计算来取得，这也许是个无穷的过程，也可以经其他途径来决定。比如说这表达式里的函数：$f(x)=0$ if $x \neq 0$, otherwise $f(x)=1$ 这时 $x = f(x)$ 等式永远是假的，无法确定x的内涵。当悖论发生时，规则的制定者经过取舍可能在论域里避免或限制使用它，而不是简单地认为自我指涉是非法的。在证明中也可以包含有悖论的环节，可以用它来否定引起悖论的假设，就像康托尔和哥德尔的定理证明那样。

潜无穷和实无穷这两者的区别在对待无穷的观念，潜无穷派基本是否认无穷的存在，只用无穷作为谓词来描述一种状态或进程，不允许有个实体。实无穷认为除了可以作为谓词外还能作为个体词。所以实无穷认为自然数的集合可以是个数学实体，潜无穷否认它是个数学实体。

博文中数学归纳法的悖论，数学归纳法只证明了{1,2,…,n}，n=1,2,3,… 都是有限集，而不能说{1,2,3,…}是个有限集。集合{1,2,3,…}只在实无穷观念里被承认，是个具有无穷个元素的数学实体。潜无穷派只承认作为状态或过程的n=1,2,3,…，不承认作为集合的{ 1,2,3,… }。