[笔记，科普，数学] 素数（173）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第十步，黎曼 ξ(s) 函数的奇异性 singularities

非平凡零点： nontrivial zero

对数积分： logarithmic integral, Li(x)

默比乌斯函数： Möbius function, μ(n)

欧拉 ζ 函数： Euler zeta function, Euler ζ function

欧拉 η函数： Euler eta function, Euler η function

欧拉乘积： Euler product

黎曼ζ函数： Riemann zeta function, Riemann ζ function

解析延拓： analytic continuation

素数计数函数： prime counting function ,  π(x)

素数定理： prime number theorem

黎曼假设： Riemann Hypothesis

默比乌斯函数： Möbius function

对数积分： logarithmic integral

算术基本定理： fundamental theorem of arithmetic

   关于黎曼假设，以

   Harold Mortimer Edwards, Jr.. Riemann’s Zetu Function [M]. Academic Press, New York San Francisco London, 1974.

   为准。

   下文里的页码，就是该书的页码。

一、黎曼解析延拓 ζ(s) 第十步，黎曼 ξ(s) 函数的奇异性 singularities

图1   Edwards 1974年第 20页：黎曼 ξ(s) 函数的奇异性 singularities

图2  Edwards 1974年第 21页

二、黎曼 ξ(s) 的“非平凡”零点，到底有多少个？

图3   Edwards 1974年第 20页局部

   The first is the determination of the imaginary parts of the logarithms it contains.

   第一个是确定它所包含的对数的虚部。

   这个问题不大（not a very serious）。

   The second problem associated with the sum (1) is its convergence.

   与求和(1)相关的第二个问题是它的收敛性。

   It is in fact a conditionally convergent sum, and the order of the series must be specified in order for the sum to be well determined.

   事实上，它是一个有条件收敛的和，为了很好地求和，必须指定级数的阶数。

   网传：黎曼假设是“当今世界数学第一难题”。

   每向前学习一步，都十分困难！！

   打听：

   （1）图3公式(1)里默认 ρ 只是“可数无穷 countably infinite, denumerably infinite”多个吗？

   （2） 假如 ρ 的数量比“可数无穷”还大，图3里公式(1)的求和，怎么理解？

参考资料：

[1] 科普中国，2021-12-31，算术基本定理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=289929

[2] 算术基本定理(数学定理) - 百度百科

https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%97%E6%9C%AF%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86/10920095  

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[1] 2026-09-01 22:25，[笔记，科普，数学] 素数（172）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第九步，黎曼 ξ(s) 函数的零点

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550557.html

[2] 2026-08-31 22:38，[笔记，科普，数学] 素数（171）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第八步，黎曼 ξ(s) 函数的推导

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1550388.html

[3] 2026-08-30 22:14，[打听，科普，数学] 素数（170）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第七步，ζ函数方程的推导（4），第二种方法

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[4] 2026-08-28 22:16，[笔记，科普，数学] 素数（168）：黎曼假设中各个公式推导的条件及其变化（1）

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[5] 2026-08-27 22:51，[汇报，科普，数学] 素数（167）：信息的表示与传播（信息论）、推理过程的有效性（逻辑学），我学习黎曼假设的主要思路

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[6] 2026-08-26 23:11，素数关键词博文网址（2026-03-04 ~ 2026-07-31）

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[7] 2026-08-25 23:33，[打听，科普，数学] 素数（166）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第七步，ζ函数方程的推导（2）

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[8] 2026-8-24 23:50，[打听，科普，数学] 素数（165）：黎曼解析延拓 ζ(s) 第七步，ζ函数方程的推导（1）

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[9] 2026-07-27 00:42，[小结，科普，数学] 素数（137）：黎曼 1859 论文阅读笔记（16），感慨与疑问，以及德文、汉译、英译 （全网址）

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