无极生太极，太极生两仪。

两仪生四象，四象生八卦。

惠更斯提出了波传播的一般性原理，即惠更斯原理：波面（波前）上的任意点都可以看作新的振动中心，它们发出球面次波，这些次波的包络面就是新的波面（波面）。利用这个原理，可以解释光的传播、反射和折射现象。

菲涅尔在惠更斯次波的基础上，引入了次波相干叠加的思想，这就是惠更斯-菲涅尔原理：波面（波前）上的任意点都可以看作新的振动中心，它们发出球面次波，空间任意点$P$的振动是该波面上所有这些次波在该点的相干叠加。这个原理可以很好的解释光的衍射现象，特别令人印象深刻的是，反对者泊松提出“光在圆盘后面有个亮斑”这个反直觉的结论，竟然被实验证实了（泊松亮斑）。

在波前上的任意点处，有两个特殊的方向：一个是该点的发现方向，一个是该点和“空间任意点$P$”的连线方向。这两个方向就决定了一个角度$\theta$，为次波相干干涉引入了“倾斜因子”$f(\theta)$，菲涅尔猜测了这个倾斜因子的形式。

基尔霍夫从波动方程出发，推导出一个衍射积分公式，并给出了倾斜因子的具体形式。基尔霍夫衍射积分公式是：

$U(P)=\int_{\Sigma} \frac{A \mathrm{e}^{i kr^{\prime}}}{r^{\prime}} \frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} \cdot \frac{1}{2}\left[\cos \left(\hat{n}, r^{\prime}\right)-\cos (\hat{n}, r)\right] \mathrm{d} \Sigma$

在这个公式里，$\frac{A \mathrm{e}^{i kr^{\prime}}}{r^{\prime}}$是光源发出的球面波，$\frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r}$是球面波前上任意点发出的球面次波，$\frac{1}{2}\left[\cos \left(\hat{n}, r^{\prime}\right)-\cos (\hat{n}, r)\right] $是倾斜因子，这些都是容易理解的，但是比例系数$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$很奇妙，单靠直觉是想不出来的。这个方程的推导不适合在大学普通物理课里讲，但是我们可以用这个公式来推导球面波的传播，从而验证这个比例系数$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$的正确性。

我们知道，半径为$R$的球面波$\frac{ \mathrm{e}^{i kR}}{R} $经过一段时间$t=d/c$后，会变成半径为$R+d$的球面波，$\frac{ \mathrm{e}^{i k(R+d)}}{R+d} $，我们就是要从基尔霍夫积分公式得到这个结果。

如图所示，$O$是球心（光源位置），$O$、$Q$和$P$点位于球的半径上，在$Q$点附近、与半径垂直的平面上，到$P$点的距离为$\sqrt{d^2+x^2}\approx d+x^2/2d$，到$O$点的距离为$\sqrt{R^2+x^2}\approx R+x^2/2R$。所以，基尔霍夫积分公式里的$r$就是

$r=d+x^2/2d+x^2/2R=d(1+ \frac{R+d}{2R}x^2)$。选取$R,d\gg \lambda$，就有$r\gg\lambda$，尽管$r$的变化并不大，但$ \mathrm{e}^{i kr} $是高速振荡的，也就是说，只有在$Q$点附近的球面波前才对$P$的振幅有贡献。因此，倾斜因子就可以近似为1，而分母里的$r$也可以用$d$来代替，

$U(P)\sim \int_{\Sigma} \frac{\mathrm{e}^{ik r}}{r} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} \mathrm{d} \Sigma \sim \int  \frac{\mathrm{e}^{ikd(1+x^2 \frac{R+d}{2R})}}{d} \frac{-\mathrm{i}}{\lambda} 2\pi x\mathrm{d}x$

只需注意到

$\int \mathrm{e}^{i x^2/2} x\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{e}^{i x^2/2}}{i}$

并把无穷远处取值为0，就可以看到，上面的积分确实等于一个半径更大的球面波$\frac{ \mathrm{e}^{i k(R+d)}}{R+d} $。所以，光源发出的球面波总是从小圆到大圆、再到更大的圆，以至于无穷（相当于平面波），源源不绝了。

这样我们还可以知道基尔霍夫公式中$ \frac{-\mathrm{i}}{\lambda}$的来源了。

如果你拿一个纯粹的黑体材料（能吸收所有的光），球形波前整个罩住，然后剪出一个（或者更多的）洞、让一部分光通过（这就是一个衍射屏），你就可以计算外面某点出的衍射光强了：挡住的部分，光振幅为零；没挡住的部分，光振幅不变；边界处的贡献忽略不计。（注意，这个说法等效于《光学》书上的基尔霍夫边界条件。）

这里有几件事情需要注意。

洞的尺寸应该远大于波长，这样才可以忽略边缘处的贡献；波长太长（比如无线电波）或者洞太小（现在的微细加工工艺太强大了），就必须考虑采用更为严格的电磁理论，并考虑衍射屏材料不会是真正的黑体（比如，在金属掩膜里，可能产生等离激发）。另外，基尔霍夫边界条件本身也不是完全自洽的。但是，这些都是枝节问题了。

从惠更斯-菲涅尔原理到基尔霍夫衍射积分公式，都可以看出来，光的衍射是典型的线性叠加效应：如果光的波前是两部分A和B之和，衍射的效果（$P$点的衍射振幅）就是二者分别作用的结果之和——这就是所谓的“巴比涅原理”。这一点显然可以拓展到任意多个的部分之和，其实就是傅里叶光学的基础之一。但是，因为我们通常观测的光学结果并不是光场的振幅，而是光的强度，也就是光场振幅的绝对值平方，所以多个部分的衍射结果通常不等于各个部分的结果之和。但是对于一种特殊的情况，巴比涅原理特别有用：

点光源经过一个几何光学系统后，在像平面形成一个点像。因为像平面其他部分的光场振幅一定是零（几何光学近似），所以，如果在光学系统中插入一个衍射屏A得到的衍射图样，与插入其互补屏B得到的结果是完全相同的（除了光源的几何成像点以外）。

西方科学文明常以奇技淫巧著称，竟然也能达到我东方神秘文化的至高境界：太极圆转如意，阴阳相生相克。这真是天道至简、殊途同归啊！