有人说“一本书中多一个数学公式就会减少一半读者。”咱这篇博文以公式推导为主，看看能有多少点击量。

以前的某些研究认为地震效率h为常量，据此我们建立了锁固段累积Benioff应变（CBS）与剪切应变的联系——线性比例关系。然而，某些研究认为地震效率并不总为常量，对较大地震可认为是常量，而对较小的地震为变量。既然有争议，那就搁置争议，把地震效率h视为变量好了。那么，怎样建立在h为变量的情况下CBS与剪切应变的关系，当然采用老办法行不通了，得另辟蹊径哦。

由于锁固段属于硬岩，其塑性变形（孔隙和软弱胶结物剪切变形）很小，可忽略。这样，锁固段沿断层面的滑移应变=锁固段的剪切应变≈锁固段的弹性剪切应变。下面，看看咱是如何算这个弹性剪切应变滴。

锁固段被加载至某一点C（图1），第i次裂纹扩展将释放一部分储存的弹性应变能。为简化分析，设卸荷为线性方式。显然，三角形ACD面积S_ACD代表裂纹扩展前锁固段储存的弹性应变能密度。裂纹扩展导致应力降产生，这等效于沿路径CB卸载，则梯形BCDE面积S_BCDE代表释放的弹性应变能密度。假设锁固段内部剪应变均匀分布，则相应的弹性应变能U_i= S_BCDEV（V为锁固段体积）。

图1 锁固段破裂过程中的能量转换关系示意图

设裂纹扩展前的剪应力(CD)为t₁,扩展后的终止剪应力（BE）为t₂，则:

U_i=0.5(t₁+t₂) De_iV                            (1)

式中，De_i为第i次裂纹扩展对应的弹性剪切应变增量。

U_i中的一部分将转换为地震波辐射能J_i，其可表达为：

J_i=h U_i                                             （2）

式中, h为地震效率。

根据Wyss and Molnar(1972)的研究，若终止剪应力等于摩擦应力，则：

h=(t₁-t₂)/(t₁+t₂)= Dt_i/(t₁+t₂)        （3）

式中，Dt_i为第i次裂纹扩展对应的应力降。

代式（3）入式（2）得：

J_i =0.5Dt_iDe_iV                                    (4)

从式（4）和图1知，地震波辐射能正好等于梯形区域中小三角形面积表示的应变能，这说明式（3）正确。

从大量加卸载循环试验（黄达等，2012；梁昌玉等，2012）知，卸荷模量近似等于剪切弹性模量G。又因为Dt_i =GDe_i，则上式可写为：

J_i =0.5 G V De_i²                              （5）

因为对同一个锁固段，0.5GV为常量，则上式可变为：

J_i ^0.5=CDe                                      （6）

式中，J^0.5为Benioff应变，C=(0.5 G V)^0.5。

若在每个构造应力加载步下锁固段都有一次裂纹扩展，即有一次地震发生，则累积Benioff应变（CBS）可表达为：

CBS=åJ_i^0.5=CåDe_i=Ce                 （7）

式中，e为锁固段的弹性剪切应变。

由此看出，CBS与e成线性比例关系，其可近似表征锁固段的剪切应变或锁固段沿断层面的滑移应变。这下，CBS的“盖头”被掀掉了，其物理意义昭然若揭啦。

我们已经导出单锁固段峰值强度点与体积膨胀点剪切应变的关系为：

e_f/e_c=1.48                                           (8)

将式（7）代入式（8）得：

S_f/S_c=1.48                                          (9)

式中，S_c和S_f分别为锁固段体积膨胀点和峰值强度点处的CBS值

对有k个锁固段的情况，经过几步推导得到：

S_f(k)=1.48^kS_c

式中，S_c为第一个锁固段体积膨胀点处的CBS值，S_f(k)为第k个锁固段峰值强度点处的CBS值。

总结下，人们在推导理论公式时，难免会引入某些假设。需注意的是：（1）要尽量减少假设；（2）要去除冗余的假设；（3）不要采用可能有争议的假设。如此，可增强理论的强壮性。

参考（略）