最近在做一个关于函数逼近相关的课题，于是把我的理解顺便作为笔记，写上博客，希望可以给大家一些思考。

首先，我们要清楚，函数逼近主要干的事情是什么？

就是：在选定的一类函数中寻找某个函数F，或者某一簇函数{F_i}，使它在一定的意义下对已知函数G，作出近似表示，并且求出F，或者{F_i}表示G产生的误差。

那么这里的具体问题是那些呢？

就是：首先，F或者{F_i}，怎么去寻找？有什么样的法则，原则，和方法？  其次怎么定义“近似”？在离散情况下的欧氏距离，还是连续条件下的某种逼近原则？  最后，误差计算的方式和方法，计算公式或者计算思路是什么？有什么不同，在什么样的条件下，什么样的误差最合适？所以，总而言之，要是专门研究函数逼近，问题是非常丰富的，提法也是极具挑战富有多样性的，内容十分丰富。

首先解决第一个问题，就是选择逼近函数问题，给定函数G(x)，用来逼近G(x)的函数一般（这里我只是说一般，但是很多高手，包括那些已经被时间干掉的大神们，如切比雪夫，勒让德等，当时选择的就是自己构造的“秘密武器”）要在某个较简单的函数类中找，这种函数类叫做逼近函数类。

举例：我们在有限维条件下，思考傅里叶变换，其实就是一个函数逼近的思想，傅里叶变化的定义是这样的：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加！这里的无限叠加只是数学家的一种思维方式，从真实的数值和计算机计算来说，从没有无线叠加一说，所以我们“人类”考虑的，一般为有限维，也就是说，我们可以把傅里叶变换的思想，转化成：任何连续测量的时序或信号，都可以逼近地表示为不同频率的正弦波信号的有限叠加！

用公式表示一下就是：

当然这里的n就是有限维具体表现了。

逼近函数类有很多很多，毕竟宇宙这么大，想寻找毕竟函数这样的东西还是非常容易的，但是，寻找到合适的逼近函数集，是非常难得的！在一个逼近问题中选择什么样的函数类作逼近函数类，这要取决于被逼近函数本身的特点，也和逼近问题的条件、要求等因素有关。这里举几个在课本中当作模板用的几个函数集。

多项式：我们可以想象，在多项式的逼近中，可以用到泰勒大神提供给我们的定理：泰勒展开！非常美妙的发明！！！其实是发现，但在当时，无异于一场血雨腥风似的革命了。

切比雪夫：不说了，课本上都讲烂掉了，但是这个人会在函数逼近这条路陪伴你很久！

其他如由代数多项式的比构成的有理分式集，由正交函数系的线性组合构成的（维数固定的）线性集，按照一定条件定义的样条函数集等也都是很有用的逼近函数类。

然后就是“逼近”方法：给定G并且选定了逼近函数类之后,如何在逼近函数类中确定作为G的近似表示函数f的方法是多种多样的。例如插值就是用以确定逼近函数的一种常见方法。所谓插值就是要在逼近函数类中找一个f(x)，使它在一些预先指定的点上和g(x)有相同的值，或者更一般地要求g(x)和ƒ(x)在这些指定点上某阶导数都有相同的值。至于为什么，可以理解为，他的一种匹配条件吧，在大肆寻找对象的同时，设立一些条件来过滤一些磕碜的个体，也是非常必要的。那么至于这么去选取这种“匹配条件”，可以依靠先辈们提出的种种原则，或者是自己设立一个“关卡”，来寻找逼近的最佳思路。

在各种逼近问题中，线性算子也是广泛应用的一大类逼近工具。所谓线性算子是指某种逼近方法l，对于被逼近函数 ƒ、g，在逼近函数类中有l(ƒ)、l(g)近似表示它们，并且对于任意实数α、β都有l(αƒ+βg)=αl(ƒ)+βl(g)。线性算子逼近方法构造方便。

介绍完线性算子，还有非线性的，线性的，一次类推。也不必，因为很多情况下用不到。至少对我这种凡人来说。

接下来这里介绍几种的逼近方法：一个典型的例子是2π周期的连续函数f(x)的n 阶傅里叶部分和Sn(ƒ,x),它定义了一个由2π周期的连续函数集到n阶三角多项式集内的线性算子Sn。Sn(f,x)可以用来近似表示f(x)。

还有典型的切比雪夫的最佳逼近，属于比较简单的非线性逼近。

最后就是误差计算了，误差可以称为逼近度。为了衡量函数f对g的近似程度（逼近度），在逼近论中广泛应用抽象度量空间内的度量概念。对于在逼近问题中经常遇到的一些函数类，常用到的度量有很多种，比如定义在【α，b】上的全体连续函数C【α,b】中任何两个函数ƒ(x),g(x)的接近程度可以按照一定的误差范数公式来衡量，比如

那其实这个范数公式就是非常典型的“距离式”的计算思维了，在离散情况下，积分就是累加，逼近函数和被逼近函数在样本点的距离累加，当然的p是在一个维度上计算距离，欧氏距离等等。但是这并不是唯一的标准，聪明的读者也许会更聪明的误差计算，或者思路，引导最好的函数逼近效果。达到人生巅峰！