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我的研究工作

已有 451 次阅读 2018-8-8 16:26 |个人分类:数学|系统分类:科研笔记

转眼来北大就一年了,抽空对目前的状态做一个总结。

 

按照数学哲学家的观点,数学可以粗略地分成两类:存在性数学和构造性数学。我研究的领域属于构造性数学。所谓构造性数学就是,证明的过程或研究的对象,必须能够一步一步在有限步内构造出来。一般说来,只有构造出来的东西,才能在现实中应用。因此,构造性数学是连接纯粹数学与应用数学的桥梁。由于计算机的巨大发展,数学与计算机的关系越来越密切,数学意义上的构造可以通过在计算机上实现来体现,故构造性数学也可称为计算机数学。

 

数学分为代数和几何,相应地就有计算机代数和计算机几何。我研究的领域属于计算机代数。代数中最重要的、应用最广的对象就是多项式。按照来源,多项式分成很多种,有通常的多项式、微分多项式、差分多项式等。一组多项式的解集定义了一个几何对象,叫做簇。比如直线、平面是由一个一次多项式定义的簇,椭圆、抛物线、双曲线是由一个二次多项式定义的簇。从几何的角度来研究多项式,就叫做代数几何。相应地,还有微分代数几何、差分代数几何。研究多项式的实数解,叫实代数几何,研究复数解,叫复代数几何。我研究的是代数几何中构造性的部分,称为计算代数几何。

 

博士期间,我跟随高小山老师从事差分代数几何的研究。由于差分算子的特殊性和复杂性,这是一个非常艰深的领域,可用的工具少,许多基础性的问题尚待厘清,一言以蔽之,举步维艰。我主要做了三方面的工作:环差分簇的推广,二项式情形的Hrushovski问题,差分指标定理。

 

环簇是最简单又具有非常丰富性质的一类簇,也是被研究得最充分的一类簇。简单地说,环簇就是可以用单项式参数化的簇,多项式可以视作环簇上的线性函数。环簇和多面体有着密切的联系,并且在很多领域都有应用。

 

Hrushovski问题考虑的是差分理想的有限生成问题。不同于在通常的多项式环中希尔伯特基定理告诉我们理想都是有限生成的,差分理想的有限生成性没有保障。

 

差分指标定理是关于有界版的差分理想成员问题。

 

博士后我来到北大,和夏壁灿老师合作,继续从事计算机代数的研究。由于夏老师的研究兴趣在于实代数几何,我逐渐转向实代数几何的研究。实代数几何中一个核心问题是判断多项式的非负性。比如多项式

                                               

当x,y取任何实数时都是非负的,称为非负多项式。要说明一个多项式的非负性一般是很困难的,但如果我们可以把它写成平方和的形式,其非负性就是显然的,即如果有


则f是非负的。希尔伯特证明,在单变元情形、二次情形、二元四次情形,非负多项式一定能表示成平方和的形式。

 

取定一组基M后,寻找f的平方和表示等价于寻找半正定阵Q使得


如果f规模巨大,那么Q的阶数也会很大。为了减少计算量,有必要利用f的结构(稀疏性和对称性),缩减Q的大小。这是我目前正在进行的工作。计算表明,我的新方法可以显著减少计算量,处理规模相当巨大的多项式,如10个变量、40次、5000多项,甚至更大。

 

除了将f表示成平方和,还可以将f表示成一些其他显然非负的多项式之和,如电路多项式。电路多项式是形如


的多项式,其中由算术-几何平均值不等式易知电路多项式是非负的。如果可以将f写成电路多项式之和,则f也是非负的。我今年初完成的一个工作刻画了哪些多项式可以写成电路多项式之和。

 

接下来的研究计划包括:

1.     应用新的稀疏平方和方法,证明其他领域中出现的大型多项式的非负性。

2.     同时利用电路多项式和平方和,继续降低矩阵Q的规模。

3.     利用电路多项式和平方和多项式的联系,刻画在哪些支撑集上,非负多项式可以写成平方和,扩展希尔伯特非负等于平方和的范畴。

4.     稀疏有理平方和。

5.     利用环簇来研究平方和多项式。

6.     多变元笛卡尔法则。

 

在北大的这一年是我工作的第一年,也是我独立展开研究的第一年。再过一年,我的学术生涯会进入一个新的阶段。在这个转折点上,我顾往追昔,从差分代数几何到实代数几何,对怀尔斯所说的做研究就像在一个黑暗的房间里摸索有了深深体会。很多时候都在瞎摸索,但所幸慢慢地就会找到出口。最后一句格言送给大家:

一个习惯黑暗的人对光会格外敏感。





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GMT+8, 2018-8-18 23:48

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