上一篇用囚徒困境的两个不等式，解释了高速发展转型期，很多人无论出自贪婪还是自保，纷纷叛离社会合作现象的原因，和可能的应对办法。

这两个支付矩阵赋值的不等式，揭示了现实世界合作环境的许多秘密。有些读者希望对此作更详细的介绍，我就加写了这篇来讲解它们的推导和解读，演示如何应用博弈知识研究实际问题。这些推导演绎，只需要中学的数学知识和逻辑的头脑便能理解。

囚徒困境是这样的一个局势：明知合作可以双赢，利益的诱惑让人们背叛了合作，从可能的双赢走向双输。这是在生物界和人际关系中经常存在的一种局势，在现实中这种局势下的合作还是经常可见，人们常常把它解释为性善或者道德教化的结果，其实这两者只是表面上的一种现象，支撑着它们的背后，必定有着能让信仰者真正受益的道理，否则迂腐无用的教诲，必然会被人耻笑而束之高阁。

这前面两篇解释了囚徒困境，在重覆博弈时采用触发策略，就有可能走向合作。触发策略是一种对背叛行为报复的威慑性警告，它能让唯利是图的人从自己长远利益出发，克服眼前短期利益的诱惑，自觉地进行合作。但是面临着同样的囚徒困境局面，为什么有时候社会十分和谐，合作和诚信能被人们广泛地遵守，有时候则充满着背信和欺诈？这就必须深入考察触发策略促进合作的机制，从量的关系来理解它们的不同。

囚徒困境的支付矩阵表示如下。注意有T> R > P > S。T是背叛的获益，R是合作的收益，P是互斗时收益，S是被人背叛后的收益，这些收益也有可能是负值。

对背叛行为报复的威慑性警告能起作用，是因为人们在乎以后再次博弈的收益，所以能够抑制短期利益的诱惑，而继续合作。记W为下次博弈收益的折扣率，这是一个正数，它把下一次可能的博弈收益V折算到现在的收益为：V/(1+W)，这个W的数值越大，下次博弈的收益对现在越不重要，所以也称为近利诱惑率。

触发策略能够阻止背叛，是因为背叛比起合作，额外得到的好处T-R，小于以后从此对抗的损失(R-P)/(1+W) + (R-P)/(1+W)² + (R-P)/(1+W)³+ (R-P)/(1+W)⁴ + … = (R-P)/W，即T-R < (R-P)/W 

推得W < (R-P)/(T-R)。当这个不等式不能保持时，这就无法阻止自私的人们急功近利了。

TFT触发策略，除了对背叛报复外，比冷酷策略来得宽容。惩罚过后，当对方回归合作时也报以合作。但这互利的宽容有可能被反复无常的小人利用，时叛时和，从中牟取好处，为了阻止这种反复无常的行为，背叛得到的好处T-R必须小于下一次博弈时得到惩罚的损失R-S，

这就有 T-R <(R-S)/(1+W)，推出 W < (2R -S-T)/(T-R)。只有这个不等式成立时，TFT策略才能导致稳定的合作。

         $W < (R-P)/(T-R)$              （1）       触发策略能阻止背叛的条件

         $W < (2R-S-T)/(T-R)$     （2）       TFT能阻止反复无常的条件

这两个不等式是重复囚徒困境博弈能够保持合作的关键。这和博弈的局势和博弈人的处境都相关。当博弈中背叛比合作的好处T-R很大，合作与和互斗相差R-P不多，或受惩罚时损失R-S不大时，合作就容易瓦解。当局中人在近利诱惑W较大的处境时合作也不容易维持。

近利诱惑率W是由两个因素来决定的：一是下次还会相遇博弈的概率p，下一次见面的机会不大，急功近利做一锤子买卖的人就多；另一个是现在的收益放到下一次的利息r，利息越大，贪图眼前好处的就越多，这两个因子把下一次可能的博弈收益V折现为Vp/(1+r)，由W的定义不难推出：

$W = (1+r)/p – 1$         （3）近利诱惑率与眼前收益的效益及再次博弈机会的关系

在高速发展的转型期，新技术、新行业、新政策、新职位、新机遇很多，这意味着背离原来旧的合作关系有着很大的T-R收益。这让敢于突破旧思维，捕抓新机会的人脱颖而出，也让不守规矩，急功近利的人获得成功。这时许多博弈的局势恶化比较不利于合作。另一方面，迅速成功的获利者，其新获得的经济和权位上的资本，能在这充满机遇的时期能产生更大的后续效益，即利息r或者说眼前收益的效益很大。而且这迅速成功拉开经济或职位上的差距，使得下一次与同一个人再次博弈的概率p减小。这时期人员流动率高，也使得与同一个人再次博弈的可能性p减小。所以在高速发展的转型期近利诱惑率W很大。很大的近利诱惑率和恶化的竞争环境造成了人们急功近利，所以这时期社会道德沦丧，老实人吃亏，小人得意，很多人无论出自贪婪还是自保，纷纷叛离社会合作现象。

这三个关系式从微观机制上揭示出社会环境和社会现象之间的连系。制定政策者可以从中找出改变乱像的有效措施，个人也可由此知道趋避。这进一步的细节，也是个很好的应用博弈理论的课题，我就不在此详述了。

博弈的理论是用微观机制研究群体、社会宏观现象的数学工具。从理性经济人（有头脑的唯利是图者）的假设开始，研究他们间博弈的均衡。在现实中，生存竞争的淘汰会在竞技场上抹去不明智的失败者，所以群体众多的博弈，在时间的作用下会消除个体间决策的差异，得出由大多数理性经济人最佳选择产生的宏观规律。

是不是在这恶劣竞争环境和很高的近利诱惑力下，人人都必然沦落才得以生存？也不尽然。虽然这个诱惑很大，也能在相当长的时间内获得利益，造成社会群体道德的沦丧。但不少的人还是有着底线，有所为有所不为，君子爱财取之有道。博弈者的眼界、格局、气度和目标，决定了他所构造的博弈模型。这就有着不同目标、范围和时间长度。道德的底线经过历史长河的洗涤，流传至今，仍在人们思考和计算的盲区里闪烁着益人的智慧。焉知追求那些短视的成功都能够幸福？焉知那些成功者现在的作为，不会成为今后不利的原因？后面的章节会给读者更多的思考。

子曰：“不仁者不可以久处约，不可以长处乐。仁者安仁，知者利仁。”

（待续）