贴了上一篇后，有做博弈研究的看出我前几篇谈“公平”，讲的都是合作博弈的理论，他们用纳什的讨价还价模型来解决分配问题。这纳什谈判对于只有双方利益分配的争执时十分实用，其解也很简单。这启发我也要把这个简单实用的纳什谈判解法给大家普及一下。也再深谈一下，双方谁也奈何不了谁时该怎么分。

人们不知道什么时候被灌了一脑袋先验的概念，认定绝对平均才是公平。虽然现实世界有的确是这样的分配，但环境略一改变，差异又起。直让人嗟叹人心不古。这也让人疑惑，绝对平均是最公平吗？

谁都不否认公平最起码的要求是对称性，就是说这分配方案对相同条件的人，你把X和Y的名字对调，分配的结果都是一样的。那什么是相同条件呢？

有人说：“人生而平等……”，打住。这是美国1776年《独立宣言》中最让人激情澎湃的一句话，原文是“all men are created equal”，根据是上帝这样造的人。这虽然很神圣，但科学家自从拉普拉斯很牛逼地对拿破仑说了“陛下，我不需要那个假设”后，大家都不好意思让上帝再掺乎科学的公理了。

其实关于这个不均和平均，中国两千五百年前孔子就说过:“丘也闻有国有家者，不患寡而患不均，不患贫而患不安。盖均无贫，和无寡，安无倾。”后来的张角、李小波、李顺等人起义打出“等贵贱，均富贵”的口号，这些人都比现代人坦白，也不说平均是什么天理，只提醒大家，分得太少了的人熬不过去，心里一不平衡会出来造反。这平均主义是拿来当造反旗帜的。至于实际分配，造反时该怎么分还是怎么分，换了江山该怎么过还是怎么过。所以这个平均不是个严格的标准，只是用来争分配的口号。

分配该是怎么样？除了让上帝当裁判外，比较简单实际的是双方谈判来瓜分这合作的好处，谈判的手段不外乎威胁利诱：我分得太少了，不合作了，大家一拍两散谁也得不到。前面说过大傻和二傻合作可以分吃蛋糕，不合作大家耗着谁也吃不到，就是这情况。当时说在这种谁也奈何不了谁时，只好是平分。这说法还是粗糙了点，那是假设双方实力相当的情况，其实很多情况还要细究。比如你对老板说，我有个发明生产出来就是世界500强，咱只要求平分利润，不然……。你说这能行得通？

这细究相争两方合作中的分配叫“谈判博弈（Bargaining Games）”【1】，由非合作博弈的奠基人纳什在1950年提出，将非合作博弈的方法用在合作博弈上。他的结果叫纳什谈判解法【2】。

纳什说谈判的解必须满足四项基本原则。连“人生而平等”都不能作为公平的公理，还有什么更基本的？我们来看看这四项有没有破绽，能够找出毛病来，没准也能得个诺贝尔奖。

第一个是“对称性（symmetry）”，这要求解法与能用来谈判之外的其他因素无关。两个参与者谈崩了以后，如果他们的后果是一样的，那么他们的分配也必须是一样的。这是公平性。

这里的后果是威吓的支付，也就是谈崩了，不合作了，你最好替代方案（best alternatives to a negotiated agreement）的收益是多少。简单的情况是零，但也可能是把用于合作的资源做别的收益。这代表着你谈判的底气。比如说两人合作演戏挣大钱，如果不合作都只能给人跑龙套挣一样的辛苦钱，这叫威吓的支付相等，那分配就该是平均的。如果其中一人还能在别地方扮个角，这底气不一样了，谈出的结果也不一样了。道理很简单明白。这也给绝对平均的可行性一个注脚，对称性里的相同条件在博弈人的眼中是威吓的后果相同。“人生而平等”这理由在谈判中不给力。

第二个是“度量无关（scale invariance）”，收益的计量单位变了，谈判的结果不变。这个也叫做“线性变换无关（independence of linear transformation）”。好比在谈判瓜分合作利益时，是用美元还是用人民币结算，每人是不是先发一笔钱再说，这样谈出来不同的分配公式折算过去都是一回事。但凡学点算术的都明白，俗称懂得算数。

第三个是“独立于无关选择（independence of irrelevant alternatives，IIA）”，添上或删去纯粹凑数不会成为谈判结果的那些可行方案，谈判的结果不变。比如说谈判中有人建议：嗨，干脆咱哥们一起到夜总会把这钱花掉得了。有没有这不靠谱的提案，谈判的结果都不变。这是不受忽悠了。

第四个是“解的有效性（Pareto Efficiency）”，谈判的结果必须有帕累托效率性。也就是说谈完的分配结果，一方不变，另一方的收益没有增加的空间。如果这谈的是可转移的收益，比如说合作的利润，那么两者分配到收益的和要等于合作的总收益。这是有效率。

纳什证明了，谈判的双方如果遵守公平、懂算数、免忽悠、有效率的四项原则，那就一定有个符合这些原则的唯一结果。这结果是：最大化双方各自所得u与各自的威吓支付v差的乘积：Max[(u1-v1)(u2-v2)] 。各方的分配所得u与威吓支付v之差u-v是合作的好处（excess utilities），这两者的乘积称为纳什积（Nash product），纳什解是取得最大纳什积的那个分配（u1，u2）。

这四项原则除了有效率不吃亏，来谈判的人莫不认同外，其他三条都有些不同的提法，得出略有不同的解法【1】。我只在这儿略谈几句第一条“对称性”，这涉及到公平的看法。把这一条件稍微放宽一点，谈崩的后果不是威吓的支付，变成局中人的处境，这项改成：处境相同时分配平均。比如说一大公司和小公司谈合作，谈崩了双方威吓支付都为零，对大公司合作的好处也就是这项收益，对小公司处境有点困难了，合作好处对它而言可能是收益占资产比例中的某个函数。纳什解仍然是最大化这两方好处之积，具体的数值可以就此计算出来。定性地来看，有软肋的比较不利，common sense。

去掉这一条对称性原则，不公平也能谈判出符合其他三项原则的唯一结果，就如与强劫犯的谈判，这解是Max[(u1-v1)**h*(u2-v2)**k]，式中的指数h和k表示谈判力（bargaining power）。

有趣的是，虽然绝对平均不成为一条原则，但有人用纳什谈判来解释人性倾向于“分配公正（Distributive justice）”，这些作者们用演化博弈去解释人们是怎么倾向于认为绝对平均是纳什谈判博弈的公平解。这说明博弈方法是比相信什么不证自明的公理更符合理性。因为博弈不用任何说不出根据的“不言而喻”前提，只是用逻辑和无法免俗的利益来得出结论。

有人质疑这纳什的解。要是钉子户对建筑商说：我要是搬走，你就赚大发了，不搬大家都没得赚，而且你损失更大，咱们就平分这建楼的利润吧！

怎么说呢？不是纳什就是这应用的人脑袋被驴踢了。总是有人很奇葩地分不清状况地套用理论。我只能诚恳地说，博弈并不只局限在一个层次上来玩。理论只关心聪明人在假定局势下的均衡状态。现实中人们关心是博弈中的策略。现实中的人不一定都聪明，怎么应用博弈理论就看你聪明不聪明了。

下一篇是上一篇预告过的选举公平。

【参考文献】

【1】       Bargaining problem http://en.wikipedia.org/wiki/Bargaining_problem

【2】       MIT Asu Ozdaglar，Nash Bargaining Solution （含证明）http://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-254-game-theory-with-engineering-applications-spring-2010/lecture-notes/MIT6_254S10_lec14.pdf