前面帖子（1）的解答推理中“如果只有一个脏脸”，“如果只有两个脏脸” 里面的假设推理都是虚拟的，就是某一个真实或想象中的人在推测从别人角度会怎么想的假设推理，这个虚拟的假设推理的结果是上面一层推理所需要的。这个关系就像计算机程序中一个程序调用另一个程序一样。所以虚拟假设推理处在第几层中，就需要用多少阶彼此的知识作为推理的依据。显然，公共知识可以用在任何一层中。

到了这里，你能看出“如果只有一个脏脸”的虚拟假设推理，在这个故事中需要多少阶这个“至少有一个脏脸”的彼此知识吗？

原来故事解答中虚拟的假设推理被引用的关系比较隐晦，我们再从局中人的角度来看是怎么完成这个的推理。

这故事里有三个人脸脏了，分别记为甲，乙，丙。甲只看到乙和丙两个脏脸，他看不见自己的脸。甲想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸。甲再从这个设想中乙的角度来思考：乙要是觉得自己没脏，那么乙可以推测丙看到所有人脸就是干净的。这时甲猜测中的乙又从丙的角度来思考：丙知道“至少有一个人脸脏了”，他却看到所有人脸都是干净的，那他就知道自己的脸脏了。

注意上面“至少有一个人脸脏了”这个知识，是在甲从设想中乙，设想中的乙又从设想中丙的推理中被引用的。所以这个知识必须是：“甲知道（乙知道（丙知道的知识））”，这有三阶彼此的知识的深度。 “至少有一个人脸脏了”是三阶彼此的知识就足够了。如果是公共知识，当然是没问题被引用。我们后面再谈它怎么成了公共知识。

可是女招待催促后，丙没反应。这说明前面推理中的假设出错了，不管什么地方出错，丙一定是看到脏脸了，这样他才不能猜出自己。甲能够推想出乙有这个知识了。所以“甲知道（乙知道（丙看到一个脏脸））”。甲和他设想中的乙都知道丙的脸是脏的，所以“至少有两个脏脸”是甲知道（乙知道的知识）。

到了女招待第二次催促时，甲还想：我要是干净的，乙只能看到丙的那个脏脸，但乙知道至少有两个脏脸了，他该出来招认呀。结果等到第三次前还是没有。甲才知道自己的假设完全错了，自己的脸是脏的，乙也看到两个脏脸了。

上面甲乙丙的记号是随便取的，所以三个脏脸人，每个都按照甲的思路来考虑，他们也就同时明白了，在第三次催促中出来擦脸。至于其他脸没脏的人，他们看到的是三个脏脸，推理又深了一层，在第三次催促前还不能判断自己的状况。到了这三人都擦了脸才知道自己脸没脏。

那女招待说了一声后，这“至少有一个人脸脏了”是怎么成了公共知识？因为女招待的话是对大家说的，谁都有这知识了，谁也知道别人听到这知识了，这都能推测出“张三知道（李四知道（王五知道这知识））”，如此等等直到无穷，这就是公共知识了。

那大家眼睛都看到的事实，怎么不是公共知识呢？每个人都看到了脏脸，没错这“至少有一个人脸脏了”是“一阶彼此的知识”。脏脸的甲，从脏脸乙角度看去，也能确定乙看到脏脸丙。所以甲知道（乙知道这知识）。每个人都可以用这个逻辑推想，所以这也是“二阶彼此的知识”了。但是甲从乙，乙再从丙的角度来看，因为甲乙丙都不能确定自己的脸，而除此之外再无脏脸，所以这套在这里面的丙无法知道有没有脏脸，即“甲知道（乙知道（丙知道这个知识））”不成立。没有了这个知识，故事中女招待第一次催促前的的假设推理就不能进行到底。这大家眼睛看得到的知识，连三阶彼此的知识都够不上，就更不是公共知识了。这也解释了女招待没说之前，虽然大家都知道有人脸脏了，也能推测出大家知道有人脸脏了，却不能推测出自己的脸是不是脏了。

看三个帖子到了这里的人，要是对进一步了解公共知识的理论感兴趣，可以看下面。

【参考文献】

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology I: Knowledge. International Journal of Game Theory 28: 263±300

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive epistemology1.pdf

Aumann RJ (1999) Interactive epistemology II: Probability. International Journal of Game Theory 28:301±314

http://www.ma.huji.ac.il/raumann/pdf/Interactive epistemology2.pdf

Vanderschraaf, Peter and Sillari, Giacomo, "Common Knowledge", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.),

http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/common-knowledge/

【公共知识的一种定义】

We can now define mutual and common knowledge as follows:

Definition
Let a set Ω of possible worlds together with a set of agents N be given.

1. The proposition that A is (first level or first order) mutual knowledge for the agents of N,K¹_N(A), is the set defined by

K ¹ _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (A).

2. The proposition that A is m^th level (or m^th order) mutual knowledge among the agents of N,K^m_N(A), is defined recursively as the set

K ^m _N (A) ≡ ∩ _{i ∈ N} K _i (K^m−1_N(A)).

3. The proposition that A is common knowledgeamong the agents of N,K^*_N(A), is defined as the set