10. 为宇宙膨胀建造模型

即使是在封闭而严峻的政治环境下，前苏联也还是有不少在世界范围内顶尖的科学家，那段时期，苏联先后出了14位诺贝尔奖得主。卡皮察、金斯基、朗道等都是物理学家中杰出的例子。大爆炸宇宙学说的两位主要奠基者：伽莫夫和他的老师弗里德曼也都是苏联人。伽莫夫虽然未得诺贝尔奖，但物理学界公认他做出了好几个诺奖级别的贡献：量子隧道效应、大爆炸宇宙模型、及最早对生物学DNA螺旋结构的研究。

上世纪20年代，伽莫夫和朗道等是列宁格勒大学的同学兼好友，被戏称为物理系的“三剑客”，弗里德曼当时则已经是数学系的教授。迷上了“两个相对论”的伽莫夫选修了弗里德曼“相对论的数学基础”课程，准备跟弗里德曼进一步研究宇宙学问题。

弗里德曼从纯数学的角度研究爱因斯坦的广义相对论，找到爱因斯坦在场方程中加进的宇宙常数一项是没有必要的，并且，他发现爱因斯坦在证明稳态宇宙解的过程中犯了一个错误。最后，弗里德曼从场方程解出的宇宙模型是随着时间而变化的，这正好和当时哈勃公布的观测结果相吻合，这两件事实使得爱因斯坦懊恼不已，以至于在一次谈话中对伽莫夫表示加入“宇宙常数”是他平生所犯的最大错误。

弗里德曼从理论上设想的膨胀宇宙后来成为大爆炸模型的理论基础。可惜弗里德曼于37岁那年在一次气球飞行中得重感冒转肺炎而致死，使他没能对此作进一步的深入研究，也让当时雄心勃勃的伽莫夫中断了他的“宇宙学之梦”，不得不暂时转到其他研究方向。但弗里德曼为宇宙建造的数学模型，一直沿用至今。

我们在本系列第4篇和第6篇中都曾经介绍过弗里德曼模型，这儿再重点重复一下，加上少量简单的数学内容。

弗里德曼模型是爱因斯坦场方程在宇宙学原理特定假设下的简化模型，因而我们首先再重温惠勒有关广义相对论的名言：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动。”弗里德曼模型正是从这两个方面，用两个参量来描述宇宙，如图10-1所示：右边框图中描述的三种空间几何形状说明了物质总量决定了空间的弯曲性质（曲率k）；左图表示的是空间随时间的膨胀，也就是说，空间弯曲性和物质密度一起，决定了物质的运动（随时间变化的尺度因子a(t)）。

图10-1：弗里德曼的宇宙模型

简单地说，弗里德曼的宇宙模型包括弗里德曼度规和弗里德曼方程两部分（图10-1）。弗里德曼度规由决定空间整体几何性质的曲率因子k（取值-1、0、1）和尺度因子a描述，弗里德曼方程则给出了空间度规随时间演化的微分方程。一般来说，假设k不随时间变化，弗里德曼方程便只是尺度因子a(t)所满足的微分方程：H= a’(t)/a(t)，这儿H是哈勃常数，a’(t) = da/dt是尺度因子的时间导数。因而，可以用一句话来表达弗里德曼方程：宇宙尺度膨胀的速度与其尺度之比等于哈勃常数。

然而，所谓的哈勃常数H，实际上并不是一个与时间无关的常数，可以认为它对整个空间而言是常数，但对时间而言则不是。因而，我们不妨将它称之为“哈勃参数”更为确切些。实际上，哈勃参数H是由空间的各种物质密度之和Sum（r_i）所决定的，而物质密度一般而言随宇宙的空间尺度而变化，也就是随时间变化，见图10-1中的弗里德曼方程。宇宙的物质密度主要来源于4个方面：尘埃物质r_d、空间曲率r_k、辐射r_r、真空r_v。这4种密度随着空间尺度因子a(t)的变化而变化，因而使得哈勃参数也随之变化。物质密度的变化规律可分别简述如下：

a）尘埃物质能量密度r_d，指的是运动速度远小于光速的非相对论物质，包括明物质（原子类）和暗物质：

当a(t)变化时，宇宙空间的体积增长正比于a³，物质是守恒的，因而其密度便反比于a³变化。即r_d = r_d,0 / (a(t))³；

b）与曲率因子k有关的能量密度r_k：

当a(t)变化时，宇宙空间的曲率因子k不变，即空间整体弯曲的几何性质不变，但除了k=0的平坦宇宙之外，宇宙的曲率半径会改变，半径的增长正比于尺度因子，相对应的密度反比于a²。即r_k = r_k,0 /  (a(t))²；

c）与辐射有关的能量密度r_r（静止质量为0，或接近0的相对论粒子，如光子、中微子等）：

当a(t)变化时，与辐射有关的能量密度反比于a⁴而变化。即r_r = r_r,0 / (a(t))⁴；

d）真空能量密度（暗能量，与宇宙常数L有关）r_v：

当a(t)变化时，宇宙的真空能量密度不变，保持为一个常数。即r_v = r_v,0。

一般来说，影响宇宙膨胀速度的四种密度同时存在，使得弗里德曼方程难以求解。但我们可以分别考虑某一种密度为主导（其它三项为0）时的简化情况而求解并得到以下结论：

a）如果尘埃物质（明+暗）起主导作用，a(t)～t^(2/3)；

b）如果曲率k起主导作用，a(t)～t；

c）如果辐射起主导作用，a(t)～t^(1/2)；

d）如果真空能量密度（暗能量）起主导作用，这时的哈勃参数是时间的常数，a(t)～e^Ht。

弗里德曼毕竟是数学家，其理论涉及的仅是宇宙的几何性质以及空间随时间的膨胀动力学。伽莫夫在此基础上提出的宇宙热爆炸理论，则包含了更多的物理内容，描述了宇宙演化和膨胀中的物理过程，从而成功解释了宇宙中的轻元素物质丰度问题。根据热大爆炸理论，宇宙中的物质密度从大爆炸早期的“辐射为主”，过渡到“物质为主”，再变成“暗能量为主”。图10-2a中的三条曲线，分别代表辐射密度、明暗物质密度，及暗能量对应的物质密度，在宇宙不同年龄时的变化趋势及相对比例。

图10-2：用弗里德曼模型解释宇宙膨胀过程

早期一片混沌时的宇宙，是以辐射为主，之后随着温度下降，原子形成，原子类物质和暗物质逐渐成为主导部分。但无论是辐射相关的密度，还是明暗物质相关的密度，都随着宇宙空间尺度的膨胀而迅速下降，如图10-2a中的蓝色红色曲线所示。因为暗能量密度（绿色曲线）始终保持在一个常量，不随空间膨胀而变化，最后成为宇宙膨胀的主导因素，使得宇宙尺寸随着时间指数增长。图10-2中没有讨论曲率k的作用，k只能取-1、0、1三个数值，分别代表图10-1右图描述的三种不同宇宙的几何形状，并不影响宇宙膨胀的基本特征，此外，根据天文观测资料证实，宇宙是基本平坦的，即k等于0。

根据在每种特例下求解弗里德曼方程得到的结论，不难定性地画出宇宙膨胀的时间曲线，如图10-2b所示。当辐射起主导作用时，宇宙大小按照时间平方根（t^(1/2)）的规律增长，当尘埃物质起主导作用时，宇宙大小按照时间的三分之二次方（t^(2/3)）的规律增长，这两种情形都是减速膨胀，即尺度因子a(t)对时间的二阶导数为负值。因此，在1998年之前，科学家们认为，虽然宇宙在膨胀，但膨胀的速度会越来越慢。直到1998年，物理学家索尔·珀尔马特、布莱恩·施密特和亚当·里斯“透过观测遥远的超新星而发现了宇宙加速膨胀”的事实后，才改变了人们的看法，三位学者也因此而荣获2011年诺贝尔物理奖。之后十几年的观测数据，也证实了宇宙膨胀的速度并非越来越慢，而是越来越快。加速膨胀意味着尺度因子a(t)对时间的二阶导数为正值，在弗里德曼方程的4个解中，只有（d）“暗能量密度”一项，符合这点要求。也就是说，爱因斯坦原来加到场方程中的宇宙常数L不能为零，将它请回来便有可能解决这个问题，这便是大家知道的宇宙常数死灰复燃的故事，暗能量的来龙去脉。

伽莫夫1948年提出热大爆炸模型时，老师弗里德曼早已去世。伽莫夫1933年借一次参加国际学术会议的机会，离开了斯大林专制时代的前苏联，在居里夫人的帮助下从事物理研究，最后定居美国。在西方自由宽松的学术环境下，伽莫夫如鱼得水，取得了一系列重要的研究成果，达到事业的顶峰。根据热大爆炸宇宙学模型，宇宙从高温高密的原始物质状态，逐渐演化成了现在的星系，由此伽莫夫和他的几个学生一起，建立了太初核合成理论，预言了微波背景辐射，我们在上一篇中介绍了太初核合成，下一篇中将叙述微波背景辐射。