·极限概念和积分思想

古希腊的阿基米德，对“无穷” 的概念进行了许多超前研究，他通过分析几何物体的不同切面，成功地计算出物体的面积和体积。例如，他把球体体积看作无穷个圆的相加，成功地计算了这个无穷级数之和而得出了正确的答案。

比阿基米德还要早上七、八十年，中国春秋战国时期的庄子（約前369年—前286年），在其哲学名著《庄子》中，记载了惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”这句话充分体现了中国古代哲人的极限思想。

惠施（約前370年-前310年）是戰國時期的一位政治家、辯客和哲學家。庄周和惠施，既是朋友又是对手。他们两人都博学多才、犀利无比，经常调侃争辩、相互挖苦。之间的桩桩趣事，传为千古佳话。

其中最有趣的是两人有关“鱼之乐”的对话，令人体会到两位哲人机趣横生的思辨力量。

庄周和惠施，立场观点不同，气质性格迥异，庄周富于艺术想象，惠施更重视逻辑辩解。日常生活中，两人便经常互相抬杠，进行一些无休止的辩论。

据说有一天，庄子与惠子散步漫游于桥上。

见河中鱼儿有感，庄子曰：“水中鱼儿从容自在，真是快乐啊！”

惠子立即反驳：“子非鱼，安知鱼之乐？”

庄子也不甘示弱：“子非我，安知我不知鱼之乐？”

惠子又说：“我不是你，自然不了解你；但你也不是鱼，一定也是不能了解鱼的快乐的！”

庄子仍然要强词夺理：“你最开头问我：在哪儿知道鱼是快乐的？所以你已经知道我知道鱼的快乐了！那么现在我来回答你：我是在岸边知道鱼是快乐的。”

…………

遗憾的是，惠施没有专门的著作留下来。不过，他的哲学观点、逻辑思考、音容笑貌、妙语名言，在庄周所著《庄子》中多有记载和描述。在《庄子-天下篇》中，记载了惠施的20个著名命题，最后一个命题便是我们文章开头所说的“一尺之棰”。该命题的意思是说，一尺长的竿，每天截取一半，一万年也分截不完！有点类似于有关“鱼之乐”的对话，庄子的目的是：在书中借此命题调侃惠子并抒發己意，因此，他比喻说：如果有喜好争辩的人，用上述命题与提出命题的惠施本人辩论，那么他们的辩论会延续一辈子没完没了！

但从另一方面，惠子这段名言，表明了中国古代哲学家已经具有了“事物无限可分，但又不可穷尽”的极限思想之萌芽。每天被截取一半的竿子会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零，这正是不可穷尽的极限概念。

古代的数学家们，无论是西方还是东方，都将极限概念发挥用处，用于计算各种几何形状。

图1：用多边形来逼近圆周计算圆周率pi

例如，阿基米德计算圆的外接多边形和内接多边形的面积，来逐步逼近圆周率的近似值。当多边形边数为96时，他计算出的圆周率在3.140845和3.142857之间。阿基米德所使用的“逼近法”和“穷举法”，其实就是“微积分”的前身。他用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线和椭圆的面积等。而在使用无穷小量数学分析方式的“穷举法”中，阿基米德认为，这种方法可以让问题的答案达到任意精确度。

与阿基米德的方法类似，中国古代的刘徽和祖冲之，采用“割圆术” 来计算圆周率。所谓“割圆术”，就是在半径为R的圆中作圆的内接正多边形。如图1中所示，从4边形开始，再画8边形，16边形，32边形，……这些多边形的面积分别为A₄、A₈、A₁₆、A₃₂……如果把这个过程无限次地继续下去，当多边形的边数n增加时，面积A_n就有可能精确地逼近圆的面积。

刘徽在割圆术的计算中，令所采用的圆的半径总为 1，这样使得圆的面积在数值上就总等于圆周率。刘微由此创立了一种求圆周率的科学方法。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆和体，而无所失矣”。意思是说，割得越细，圆内接正多边形的边数越多，它的面积与圆面积之差就越小。

·古中国的算学

古中国和古希腊都有某些科学思想的萌芽，但即使在萌芽阶段，也各具不同的特点。特点之一便是科学家进行科学活动的驱动力。古希腊科学家所进行的是更为纯粹 理性的思考，很少顾及其后果和利益。而古中国科学活动的驱动力则显示更多的功利色彩，所谓“实用”，也是功利主义的表现。这一特点，在不属于科学范畴的数学领域，也有相对应的表现。

然而，数学毕竟是既迷人又有趣的思维活动，且中国古代数学家很多是属于士大夫之类有闲阶层。因此，中国古代数学的研究也不会完全是被“实用”目的所驱使，而很多是出自于对完美的追求和对研究的兴趣。例如，祖冲之曾经计算圆周率，一直精确到8位有效数字！这在当时看起来，应该不见得有多少实用价值。

我们无法得知古代数学家的主观愿望，但由于中国封建社会的客观现实，中国人脑海中根深蒂固的“学以致用”的传统观念，使得中国古代数学中仍然呈现 “实用为目标，计算为中心” 的特点。

以《九章算术》为例可见一斑。所谓“九章”，指的是九个分类标题：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。其中不少题目都是直接取自于实际生活的具体场景。例如，“方田”是有关田亩面积，“粟米”有关粮食交易，“衰分”关于分配比例， “商功”关于工程，“均输” 有关税收，等等。可见解决实际问题是此书之主要目标。

而究其具体内容，《九章算术》处理计算了大量复杂的问题。前面所列的九个分类中，包括了246个问题，以及202“术”。其中有多种几何图形（如线型和圆型图形）的体积算法、面积算法等；有开平方术、开立方术；二项二次、二项三次等方程的解法；还有应用勾股定理解决问题的各种算法等等。从这些例子可看出其以计算为中心的特点。

中国古代数学中并非完全没有理论，反之，有很多密切联系实际的理论。特别是有不少与算法相关的推理、证明、及理论。中国古代的许多算法，稍加改变就可以用到现代的电子计算机上。这也是为什么将其称之为“算学”的原因。

现代计算机中使用的二进位制思想，也据说起源于《周易》（也叫易经）中的八卦法，早于德国数学家莱布尼兹2000多年。

务实的观点造就了古中国的算学，使其具有独创性，自成一个完整体系，可总结如下三大特色。

实用性：其计算问题大部分都取材于天文、历法、农业、测量、工程等等实用领域。

机械化：朝适用于某些机械运算的方向发展，以便可以使用算筹、算盘等为工具来实现运算。例如，算盘就是当时的计算机，珠算口诀就是计算程序。

代数化：将实用问题（包括几何问题）转化为方程组，然后再转换成刻板的、机械的、用算具能实现的程序（例如逐次消元程序）来求解。

图2：从算盘到计算机

中国的算学当时也影响到一些周边国家的数学发展，如日本的和算，朝鲜半岛的韩算，以及越南、琉球的算学等等。

中国著名数学家吴文俊，早年在拓扑学上作出了奠基性的工作，后来又继承和发展了中国古代数学的传统的算法化思想，专攻几何定理的机器证明，在此领域颇有建树。他认为中国古代数学有两大特色：构造性与机械化。构造性是指从某些初始对象出发，通过明确规定的数学操作来展开理论，例如《九章》中的方程术、开方术等都是这样。而机械化，就是刻板化和规格化。实际上，这两个特性都有利于解析问题发展算法，便于使用现代电子计算机做数值计算。

中国古代数学的机械化思想，与古希腊数学中的公理化思想，是数学发展过程中的两套马车，都促进了数学的发展。古希腊数学以几何为主，古中国数学多用代数方法，几何比代数更容易公理化，代数比几何更容易发展成机器使用的算法。几何直观形象而易于被众人接受，代数在非专业人士眼中则显得枯燥。可以说当时的两者各具优缺点。但从历史发展之事实而言，西方的公理化思想很幸运，碰到了因工业革命而诱导出来的“实践精神”，与之结合而最后诞生了现代科学。然后，科学技术的发展基础上，人类发明了现代计算机，后又发展了比当年古中国数学中的算法高明不知多少倍的各种计算机语言和算法。

而代表古中国机械化数学思想的“算学”，则命运不佳，只在算盘这样的工具上施展功夫，虽然也活蹦乱跳了上千年，但没有突破难以发展，最终无法避免被淘汰的命运。

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