tianrong1945的个人博客分享 http://blog.sciencenet.cn/u/tianrong1945

博文

科学的诞生-5-微积分和科学 精选

已有 3924 次阅读 2018-10-9 06:48 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦

微积分是数学上的伟大创造,对科学发展异常重要。人类最终发明了微积分,也算是思维发展过程中的一个奇迹。微积分的发展过程基本有三步:极限之概念、求积的方法、微积分思想。前两步的发展历史都可远远追溯到2000多年前的古代,最后一步,微分积分思想之统一,两者互逆关系的建立,则要归于17世纪牛顿和莱布尼茨两位科学家的功劳。

·古代的极限概念

极限是微积分学中最初的也是最重要的核心概念。古希腊时代,芝诺提出的几个著名悖论,首先揭示了无限和连续等概念所引起的人类认识上的困惑,亦为极限思想的萌芽。

大约比芝诺晚100年左右,中国春秋战国时代的庄子提出“一尺之锤,日取其半,万世不竭”,可以说这句话已经包含了现代数学中无限数列收敛的概念。“万世不竭”,说明序列是无穷的,但加起来不过仍然只是“一尺之锤”,则说明了该无穷级数的收敛性。

虽然极限和无穷的思想在古希腊和古中国都已经萌芽,但理论的完善却是到了19世纪的事,得归功于法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。

并且,直到现在,数学家们对与极限相关的“实无穷、潜无穷”概念,仍然有所争执,可见极限概念的深奥,以及“无穷”在人类思想进展中造成的混淆。剖析一下芝诺悖论的历史,可加深对极限概念发展和完善过程的理解。

有关阿基里斯与乌龟的悖论,芝诺说:如果乌龟一开始就以(1米)领先于跑得最快(比如:比乌龟快1倍)的阿基里斯,那么阿基里斯永远也追不上乌龟。为什么呢?因为要想追到乌龟,阿基里斯必须先到达乌龟所在的(1米)处;而等阿基里斯到了1之后乌龟已经又前进了一段距离(1/2)。然后,阿基里斯到了1/2后乌龟又前进了1/4……,如此无限地进行下去,阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离。

正如罗素所说,这个悖论为有关时间、空间、无限大、无限小的理论研究提供了丰富的土壤。在试图给这些出人意料的结论以合理解释的过程中,极限及无穷的概念被深入研究下去,理论也因此而逐步发展起来。

亚里士多德的解释是:追赶者与被追者的距离将越来越小,所需的时间也越来越小,无限个越来越小的数加起来的和是有限的,所以阿基里斯可以在有限的时间内追上乌龟。阿基米德更进一步,使用类似现在对几何级数求和的方法,证明了上例中的距离之和1+1/2+1/4+1/8+……,或者对应的时间之和,是一个有限值。

具有现代数学知识的读者,一眼就看出上一段中两位古希腊学者的解释是不严格的。以上的结论是基于那个递减几何级数收敛的基础上。如果对于级数不收敛的情况,他们的解释便不能成立。例如,对不收敛的调和级数,芝诺悖论可以被如下叙述:

阿基里斯始终比乌龟跑得快,但它们的速度不是固定的,按如下规律变化:乌龟开始时领先1,之后,阿基里斯走完这1,乌龟前进1/2阿基里斯再走完这1/2,乌龟前进1/3;阿基里斯到1/3后乌龟又前进1/4……,如此无限地进行下去,阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离1/n。并且,虽然调和级数 1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一项都递减,可是它的和却是发散的。所以,总时间也是发散的,结果为无穷大,即:阿基里斯追上乌龟的时间为无限大,因此,他不可能在有限的时间内追上乌龟。

也就是说,在如上的调和级数情况下,尽管阿基里斯总是比乌龟快,但就是永远追不上乌龟。不过,这种情形下,无“悖论”可言。所以,我们将它排除在芝诺悖论的范围以外不于考虑,仍然只研究收敛级数的情形。

如果仅限于收敛级数的话,芝诺悖论是否就已经被完美解决了呢?某些数学家和逻辑学家认为并非如此。因为根据他们对无限的理解,无限不是一个存在的实体,只是一个不断逼近却永远完成不了的过程,因为这个过程完成不了,阿基里斯便不可能到达那个极值点,既然路线中有某个点永远都到不了,又如何可以追上乌龟呢?芝诺悖论仍然是“悖论”!更多有关芝诺悖论,参考维基百科,及应行仁老师科学网的文章1

以上述方式理解无限的观点,被称为“潜无穷”,反之,将无限作为实体,便是“实无穷”。两种观点的争论从古希腊一直持续至今。

曾经看到有人举一个通俗例子来理解两者的区别,不一定准确,但写在下面给诸位做参考。幼儿园两个孩童拌嘴争执比较谁的财富更多:“我有100”,“我有1000”,“我有10000”,最后,一个孩子想出另一种说法:“不管你有多少,我永远比你多1!”,这个似乎包含了某种永远达不到的潜无穷思想。

无穷的观点之“实、潜”之分,从古希腊、古中国就开始了。例如,中国的惠施曾说“至大无外,谓之大一;至小无内,谓之小一。”,意思是“无穷大之外别无他物,无穷小之内不可再分”,这是一种实无穷的观点。而“一尺之捶,日取其半,万世不竭。” 中的“万世不竭”,又显然是“永远不会完”的潜无穷观点。

后来的数学大师们也有不同的观点。高斯认为无穷只是潜在的,坚决反对实无穷;康托尔支持实无穷;希尔伯特则认为,在分析中我们研究的潜无限,不是真的无限。真的无限是实无限。

不过,“潜无穷或实无穷”毕竟是数学或逻辑上的争论。笔者认为,对与实证密切相关的科学而言,只有实无穷,没有潜无穷,因为宇宙中的一切都是现实存在的。那么,科学是否就不需要潜无穷了呢?也不能这么说,因为数学对科学的发展往往有出乎人们意料之外的效果。考虑一下现实世界中似乎并不真实存在的“虚数”概念对科学的作用,便能理解这点了。

·古代求积例子

现在的微积分课程,都是从极限开始,引入导数、微分,后来再学到积分。但在人类思维发展的漫长历史中,却很早就有了类似积分法的应用。

在现实科学应用中,导数和微分表示的是曲线的斜率、运动物体的速度等等,是与“动态、变化”有关的事物,而积分法则方便用于计算物体的面积、体积一类物体的固有性质。人类对客观世界的认识显然是始于固定的事物,所以,对积分法的需求和探究从远古时候就开始了。

古希腊的科学始祖泰勒斯就研究过球的面积、体积等问题。公元前5世纪,古希腊数学家安提峰及欧多克斯(Eudoxus,公元前408年-355年)提出了“穷竭法”,之后成为了一种合格的几何方法,用来求圆形的面积和立体的体积,可算是积分法的先驱。

古希腊最伟大的数学家阿基米德(前287年-前212年)对微积分的贡献毋庸置疑。他利用和发展了穷竭法,计算过抛物线下的弓形面积、球和球冠表面积、双曲线旋转所得图形的体积等等,他在解决这些问题过程中的若干思想,真正成为积分学的基础。

几乎同时或稍后,古代中国的微积分概念也在独立发展,可说其成果毫不逊色于西方。三国时期刘徽(225年-295年)研究的割圆术,用以求圆面积和方锥体积,是一个突出的例子。祖冲之(429500年)用割圆术求得圆周率,精度很高(在3.14159263.1415927之间)。

17世纪的意大利几何学家卡瓦列里(Cavalieri1598年-1647年)(早于牛顿时代50年左右),对微积分贡献了一个著名的不可分量方法,或被称为卡瓦列里原理。中国人不十分熟悉这位高人,其原因之一是因为该原理的基本思想早在11百多年之前就被中国数学家发现了,那是祖冲之和他的儿子祖暅。所以,在中国,卡瓦列里原理2一直被称为祖暅原理。

卡瓦列里认为,线由许多点构成,面由许多线构成,立体是由许多个平面构成。点、线、面分别是线、面、体的不可分量。祖暅原理则提出“夫叠棋成之积,幂势既同,则积不容异。”,就是说,如果所有等高处的截面积都相等,二立体的体积必相等。 “夫叠棋成之积”一语中,则包含了与卡瓦列里类似的“不可分量”的思想。

                 祖暅原理.jpg                        

1:用不可分量方法求积

 

如图1所示,根据祖暅原理(或卡瓦列里原理),体积(或面积)的计算可以由计算许多个小体积(面积)之和而得到。从现代微积分的概念来理解,就是由无限多个无限小的体积之和构成。这个表现了朴素积分思想之原理是定义微积分的前提之一。之后,又有无数数学家(欧拉、拉格朗日等)在极限和无限的概念上做了若干杰出的工作,最后一步则由牛顿和莱布尼茨完成。

·微积分的发明

祖暅原理的历史远远早于西方,这点令华夏民族骄傲,却又再一次地给我们提出一个令人迷惑的问题:微积分的系统理论为什么没有早早地诞生于中国呢?

考察牛顿和莱布尼茨研究微积分的过程,是与当时科学技术发展的需求密切相关的。数学促进了科学思想的发展,科学的发展又反过来促进数学,这两者相辅相成,互相促进,密不可分。特别是牛顿发明微积分,一开始完全是为了解决他所热衷的运动学问题而考虑的。

人类早期研究的问题大多是“静态”的,诸如上面所说的求面积求体积的问题,积分思想帮忙解决不少难题。17世纪初期,伽利略和开普勒在天体运动中所得到的一系列观察和实验结果,涉及到物体的动态规律,导致科学家们对新一代数学工具的强烈需求,也就是说,如何从大量的数据中,抽象出物体的精确而瞬时的、随时间变化的动态运动规律来呢?

在伽利略的时代,已经有了速度的概念。那时的科学家们已经知道运动距离与运动时间相除得到速度。如果物体运动的快慢始终一样,那就叫匀速运动,否则就是非匀速运动。伽利略在实验中发现,在地球引力持久作用下物体的运动,快慢并非始终一致的,开始时下落得比较慢,后来则下落得越来越快。伽利略又发现,无论是在下落的开始还是最后,速度增加的效果是一样的,这也就是我们现在所熟知的说法:“地面上自由落体的运动是一种等加速度运动”。

速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度……现在学生很容易理解这些名词,在当时却曾经困惑过像伽利略这样的物理大师。从定义平均速度,到定义瞬时速度,是概念上的一个飞跃。平均速度很容易计算:用时间去除距离就可以了。但是,如果速度和加速度每时每刻都在变化的话,又怎么办呢?

可以相信,开普勒在总结他的行星运动三定律时,也曾经有类似的困惑。开普勒得出了行星运动的轨迹是个椭圆,他也认识到行星沿着这个椭圆轨迹运动时,速度和加速度的方向和大小都在不停地变化。但是,他尚未有极限的概念,也没有曲线的切线及法线的相关知识,不知如何描述这种变化,于是,便只好用“行星与太阳的连线扫过的面积”这种静态积分量来表达他的第二定律。

伽利略和开普勒去世后,两位大师将他们的成果和困惑留在了世界上,激励像牛顿和莱布尼茨这样的杰出的物理学家和数学家,对新一代数学工具发起了总攻。

牛顿使用他发明的这个强大的数学工具,建立了牛顿力学的宏伟大厦,同时也发展完善了“变量”的概念,为微积分在各门学科的应用开辟了道路。在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中,微积分起到了决定性的作用,包括数理化天地生基础科学,以及工程应用、计算机和信息等技术学科,所有的现代科学技术,都离不开微积分。

就数学理论而言,牛顿和莱布尼茨的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题:微分学的切线问题,和积分学的求积问题联系在一起,开创了微积分理论。

可以说,牛顿是在他对物理科学规律研究的驱动下发明微积分的。换言之,这个数学成就多少包含了某些“服务于实用”的因素。中国从古到今的学术研究不是有明显的“实用”倾向吗?为何没有为解决实用的问题而发明微积分呢?

需要澄清的是,当我们说:微积分的出现直接来源于物理学和工程方面的需求,说的是科技理论上的需求,并非小工匠式技术发展的需求,特别不是那种被利益所驱动的“实用”之需求。中国古代数学,过分拘泥于直接使用而企图快速得利,并不重视理论思维,也不重视抽象的数学观念和数学体系,连函数的概念都没有抽象出来,更无法发明系统的微积分了。这也就是为什么有人说中国古代并无“数学”,只有“算学”的原因,这种说法或许有一定的道理。当然,算学也有它先进发达的一面,有关更详细的“中国算学”,请参考3

参考文献:

1】阿基里斯与乌龟的悖论解决了吗?http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-642105.html

2Cavalieri's principlehttps://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

3】沈康身编 《算数书解说》,吴文俊主编 《中国数学史大系》副卷第一卷 北京师范大学出版社 2004




http://blog.sciencenet.cn/blog-677221-1139722.html

上一篇:科学的诞生-4-科学的皇后
下一篇:科学的诞生-6-教育的作用

5 胡洪涛 钱大鹏 迟延崑 鲍海飞 杨金波

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-10-17 18:21

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部