微积分是数学上的伟大创造，对科学发展异常重要。人类最终发明了微积分，也算是思维发展过程中的一个奇迹。微积分的发展过程基本有三步：极限之概念、求积的方法、微积分思想。前两步的发展历史都可远远追溯到2000多年前的古代，最后一步，微分积分思想之统一，两者互逆关系的建立，则要归于17世纪牛顿和莱布尼茨两位科学家的功劳。

·古代的极限概念

极限是微积分学中最初的也是最重要的核心概念。古希腊时代，芝诺提出的几个著名悖论，首先揭示了无限和连续等概念所引起的人类认识上的困惑，亦为极限思想的萌芽。

大约比芝诺晚100年左右，中国春秋战国时代的庄子提出“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，可以说这句话已经包含了现代数学中无限数列收敛的概念。“万世不竭”，说明序列是无穷的，但加起来不过仍然只是“一尺之锤”，则说明了该无穷级数的收敛性。

虽然极限和无穷的思想在古希腊和古中国都已经萌芽，但理论的完善却是到了19世纪的事，得归功于法国数学家柯西和德国数学家魏尔斯特拉斯的卓越工作。

并且，直到现在，数学家们对与极限相关的“实无穷、潜无穷”概念，仍然有所争执，可见极限概念的深奥，以及“无穷”在人类思想进展中造成的混淆。剖析一下芝诺悖论的历史，可加深对极限概念发展和完善过程的理解。

有关阿基里斯与乌龟的悖论，芝诺说：如果乌龟一开始就以（1米）领先于跑得最快（比如：比乌龟快1倍）的阿基里斯，那么阿基里斯永远也追不上乌龟。为什么呢？因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟所在的（1米）处；而等阿基里斯到了1之后乌龟已经又前进了一段距离（1/2）。然后，阿基里斯到了1/2后乌龟又前进了1/4……，如此无限地进行下去，阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离。

正如罗素所说，这个悖论为有关时间、空间、无限大、无限小的理论研究提供了丰富的土壤。在试图给这些出人意料的结论以合理解释的过程中，极限及无穷的概念被深入研究下去，理论也因此而逐步发展起来。

亚里士多德的解释是：追赶者与被追者的距离将越来越小，所需的时间也越来越小，无限个越来越小的数加起来的和是有限的，所以阿基里斯可以在有限的时间内追上乌龟。阿基米德更进一步，使用类似现在对几何级数求和的方法，证明了上例中的距离之和1+1/2+1/4+1/8+……，或者对应的时间之和，是一个有限值。

具有现代数学知识的读者，一眼就看出上一段中两位古希腊学者的解释是不严格的。以上的结论是基于那个递减几何级数收敛的基础上。如果对于级数不收敛的情况，他们的解释便不能成立。例如，对不收敛的调和级数，芝诺悖论可以被如下叙述：

阿基里斯始终比乌龟跑得快，但它们的速度不是固定的，按如下规律变化：乌龟开始时领先1，之后，阿基里斯走完这1，乌龟前进1/2；阿基里斯再走完这1/2，乌龟前进1/3；阿基里斯到1/3后乌龟又前进1/4……，如此无限地进行下去，阿基里斯和乌龟之间永远保持一段距离1/n。并且，虽然调和级数 1+1/2+1/3+1/4+…… 的每一项都递减，可是它的和却是发散的。所以，总时间也是发散的，结果为无穷大，即：阿基里斯追上乌龟的时间为无限大，因此，他不可能在有限的时间内追上乌龟。

也就是说，在如上的调和级数情况下，尽管阿基里斯总是比乌龟快，但就是永远追不上乌龟。不过，这种情形下，无“悖论”可言。所以，我们将它排除在芝诺悖论的范围以外不于考虑，仍然只研究收敛级数的情形。

如果仅限于收敛级数的话，芝诺悖论是否就已经被完美解决了呢？某些数学家和逻辑学家认为并非如此。因为根据他们对无限的理解，无限不是一个存在的实体，只是一个不断逼近却永远完成不了的过程，因为这个过程完成不了，阿基里斯便不可能到达那个极值点，既然路线中有某个点永远都到不了，又如何可以追上乌龟呢？芝诺悖论仍然是“悖论”！更多有关芝诺悖论，参考维基百科，及应行仁老师科学网的文章^【1】。

以上述方式理解无限的观点，被称为“潜无穷”，反之，将无限作为实体，便是“实无穷”。两种观点的争论从古希腊一直持续至今。

曾经看到有人举一个通俗例子来理解两者的区别，不一定准确，但写在下面给诸位做参考。幼儿园两个孩童拌嘴争执比较谁的财富更多：“我有100”，“我有1000”，“我有10000”，最后，一个孩子想出另一种说法：“不管你有多少，我永远比你多1！”，这个似乎包含了某种永远达不到的潜无穷思想。

无穷的观点之“实、潜”之分，从古希腊、古中国就开始了。例如，中国的惠施曾说“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。”，意思是“无穷大之外别无他物，无穷小之内不可再分”，这是一种实无穷的观点。而“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 中的“万世不竭”，又显然是“永远不会完”的潜无穷观点。

后来的数学大师们也有不同的观点。高斯认为无穷只是潜在的，坚决反对实无穷；康托尔支持实无穷；希尔伯特则认为，在分析中我们研究的潜无限，不是真的无限。真的无限是实无限。

不过，“潜无穷或实无穷”毕竟是数学或逻辑上的争论。笔者认为，对与实证密切相关的科学而言，只有实无穷，没有潜无穷，因为宇宙中的一切都是现实存在的。那么，科学是否就不需要潜无穷了呢？也不能这么说，因为数学对科学的发展往往有出乎人们意料之外的效果。考虑一下现实世界中似乎并不真实存在的“虚数”概念对科学的作用，便能理解这点了。

·古代求积例子

现在的微积分课程，都是从极限开始，引入导数、微分，后来再学到积分。但在人类思维发展的漫长历史中，却很早就有了类似积分法的应用。

在现实科学应用中，导数和微分表示的是曲线的斜率、运动物体的速度等等，是与“动态、变化”有关的事物，而积分法则方便用于计算物体的面积、体积一类物体的固有性质。人类对客观世界的认识显然是始于固定的事物，所以，对积分法的需求和探究从远古时候就开始了。

古希腊的科学始祖泰勒斯就研究过球的面积、体积等问题。公元前5世纪，古希腊数学家安提峰及欧多克斯（Eudoxus，公元前408年－355年）提出了“穷竭法”，之后成为了一种合格的几何方法，用来求圆形的面积和立体的体积，可算是积分法的先驱。

古希腊最伟大的数学家阿基米德（前287年－前212年）对微积分的贡献毋庸置疑。他利用和发展了穷竭法，计算过抛物线下的弓形面积、球和球冠表面积、双曲线旋转所得图形的体积等等，他在解决这些问题过程中的若干思想，真正成为积分学的基础。

几乎同时或稍后，古代中国的微积分概念也在独立发展，可说其成果毫不逊色于西方。三国时期刘徽（225年－295年）研究的割圆术，用以求圆面积和方锥体积，是一个突出的例子。祖冲之（429—500年）用割圆术求得圆周率，精度很高（在3.1415926与3.1415927之间）。

17世纪的意大利几何学家卡瓦列里（Cavalieri，1598年－1647年）（早于牛顿时代50年左右），对微积分贡献了一个著名的不可分量方法，或被称为卡瓦列里原理。中国人不十分熟悉这位高人，其原因之一是因为该原理的基本思想早在1千1百多年之前就被中国数学家发现了，那是祖冲之和他的儿子祖暅。所以，在中国，卡瓦列里原理^【2】一直被称为祖暅原理。

卡瓦列里认为，线由许多点构成，面由许多线构成，立体是由许多个平面构成。点、线、面分别是线、面、体的不可分量。祖暅原理则提出“夫叠棋成之积，幂势既同，则积不容异。”，就是说，如果所有等高处的截面积都相等，二立体的体积必相等。 “夫叠棋成之积”一语中，则包含了与卡瓦列里类似的“不可分量”的思想。

图1：用不可分量方法求积

如图1所示，根据祖暅原理（或卡瓦列里原理），体积（或面积）的计算可以由计算许多个小体积（面积）之和而得到。从现代微积分的概念来理解，就是由无限多个无限小的体积之和构成。这个表现了朴素积分思想之原理是定义微积分的前提之一。之后，又有无数数学家（欧拉、拉格朗日等）在极限和无限的概念上做了若干杰出的工作，最后一步则由牛顿和莱布尼茨完成。

·微积分的发明

祖暅原理的历史远远早于西方，这点令华夏民族骄傲，却又再一次地给我们提出一个令人迷惑的问题：微积分的系统理论为什么没有早早地诞生于中国呢？

考察牛顿和莱布尼茨研究微积分的过程，是与当时科学技术发展的需求密切相关的。数学促进了科学思想的发展，科学的发展又反过来促进数学，这两者相辅相成，互相促进，密不可分。特别是牛顿发明微积分，一开始完全是为了解决他所热衷的运动学问题而考虑的。

人类早期研究的问题大多是“静态”的，诸如上面所说的求面积求体积的问题，积分思想帮忙解决不少难题。17世纪初期，伽利略和开普勒在天体运动中所得到的一系列观察和实验结果，涉及到物体的动态规律，导致科学家们对新一代数学工具的强烈需求，也就是说，如何从大量的数据中，抽象出物体的精确而瞬时的、随时间变化的动态运动规律来呢？

在伽利略的时代，已经有了速度的概念。那时的科学家们已经知道运动距离与运动时间相除得到速度。如果物体运动的快慢始终一样，那就叫匀速运动，否则就是非匀速运动。伽利略在实验中发现，在地球引力持久作用下物体的运动，快慢并非始终一致的，开始时下落得比较慢，后来则下落得越来越快。伽利略又发现，无论是在下落的开始还是最后，速度增加的效果是一样的，这也就是我们现在所熟知的说法：“地面上自由落体的运动是一种等加速度运动”。

速度、加速度、匀速、匀加速、平均速度、瞬时速度……现在学生很容易理解这些名词，在当时却曾经困惑过像伽利略这样的物理大师。从定义平均速度，到定义瞬时速度，是概念上的一个飞跃。平均速度很容易计算：用时间去除距离就可以了。但是，如果速度和加速度每时每刻都在变化的话，又怎么办呢？

可以相信，开普勒在总结他的行星运动三定律时，也曾经有类似的困惑。开普勒得出了行星运动的轨迹是个椭圆，他也认识到行星沿着这个椭圆轨迹运动时，速度和加速度的方向和大小都在不停地变化。但是，他尚未有极限的概念，也没有曲线的切线及法线的相关知识，不知如何描述这种变化，于是，便只好用“行星与太阳的连线扫过的面积”这种静态积分量来表达他的第二定律。

伽利略和开普勒去世后，两位大师将他们的成果和困惑留在了世界上，激励像牛顿和莱布尼茨这样的杰出的物理学家和数学家，对新一代数学工具发起了总攻。

牛顿使用他发明的这个强大的数学工具，建立了牛顿力学的宏伟大厦，同时也发展完善了“变量”的概念，为微积分在各门学科的应用开辟了道路。在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中，微积分起到了决定性的作用，包括数理化天地生基础科学，以及工程应用、计算机和信息等技术学科，所有的现代科学技术，都离不开微积分。

就数学理论而言，牛顿和莱布尼茨的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题：微分学的切线问题，和积分学的求积问题联系在一起，开创了微积分理论。

可以说，牛顿是在他对物理科学规律研究的驱动下发明微积分的。换言之，这个数学成就多少包含了某些“服务于实用”的因素。中国从古到今的学术研究不是有明显的“实用”倾向吗？为何没有为解决实用的问题而发明微积分呢？

需要澄清的是，当我们说：微积分的出现直接来源于物理学和工程方面的需求，说的是科技理论上的需求，并非小工匠式技术发展的需求，特别不是那种被利益所驱动的“实用”之需求。中国古代数学，过分拘泥于直接使用而企图快速得利，并不重视理论思维，也不重视抽象的数学观念和数学体系，连函数的概念都没有抽象出来，更无法发明系统的微积分了。这也就是为什么有人说中国古代并无“数学”，只有“算学”的原因，这种说法或许有一定的道理。当然，算学也有它先进发达的一面，有关更详细的“中国算学”，请参考^【3】。

参考文献：

【1】阿基里斯与乌龟的悖论解决了吗？http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-642105.html

【2】Cavalieri's principle：https://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

【3】沈康身编 《算数书解说》，吴文俊主编 《中国数学史大系》副卷第一卷 北京师范大学出版社 2004