数学—科学的皇后

数学王子高斯（Gauss，1777年--1855年）有一句名言“数学是科学的皇后”，17世纪英国哲学家弗兰西斯·培根（Francis Bacon,，1561年－1626年）也说过“数学是打开科学大门的钥匙。”可见数学对科学的重要性。本篇文章中，我们就来探求一下，数学与科学的渊源到底有多深？数学是如何当上“皇后”的呢？

 

·毕达哥拉斯-打铁声启发灵感

 

古希腊科学家们寻求万物的本原，泰勒斯认为本原是水，他的门徒们有认为是“无形”、气、赫拉克利特（Heraclitus，前540年－前480年）则说是火，毕达哥拉斯（Pythagoras，前570年－前495）的观点最为奇特，他认为万物之本原是“数”。

 

毕达哥拉斯生于现属希腊的萨摩斯岛，离开现属土耳其的米利都很近。据说毕达哥拉斯是米利都学派阿那克西曼德的学生，也曾直接受到泰勒斯的影响。这位古希腊的哲学老祖宗建议他前往埃及。后来，毕达哥拉斯不但旅居埃及，还到其它各地漫游，传说也曾到过印度，受到各方文化的影响，最终形成了他的“万物皆数”的观点，对数字的喜爱和崇拜几乎到了走火入魔的地步，他创立的毕达哥拉斯学派把数的作用发挥到了极致，堪可称为“拜数字教”。

毕达哥拉斯发现了“毕达哥拉斯定理”，即“勾股定理”。古代巴比伦人和中国人都在更早的年代知道了勾股数，例如，公元前18世纪的巴比伦石板，就已经记录了各种勾股数组，最大的是（18541，12709，13500），之后中国的算经、印度与阿拉伯的数学书中，也均有所记载。但发现了勾股数，还不等于发现了勾股定理。作为普遍定理的发现，人们认为应当归功于毕达哥拉斯，而勾股定理的证明，则始于毕达哥拉斯，再由后来的欧几里德给出了清晰完整的证明。

毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割比例（1：0.618），公元前4世纪，欧多克索斯第一个系统研究。

毕达哥拉斯本人不仅是杰出的哲学家和数学家，对音乐也造诣颇深。

传说毕达哥拉斯有一天走在街上，被铁匠铺此起彼落、悦耳而和谐的打铁声所吸引，驻足聆听数日，由此而启发了他的灵感并进行研究。毕达哥拉斯光顾铁匠铺，对大小（重量）不同的铁锤发出的不同频率的声音进行观察和实验，发现了铁匠打铁的节奏遵循简单的比例规律，也就是如今音乐中称之为“和声”的规律。毕达哥拉斯继而萌生了宇宙中万物都遵循某种简单规律而互相“和谐”的概念，他认为，我们周围物体，包括地球、太阳及其它天体，一切运动和变化都是由一定的、永恒的数学规律控制的。所以，毕达哥拉斯学派认为，世间万物来源于“数”，数字的组合造就了物体运动的秩序，神圣而完美的几何图形（例如圆形和球形），是构成天体形状的最佳选择。将这个概念应用到我们脚下的土地上，毕达哥拉斯第一次提出大地是球体这一概念。

 

铁匠铺得到灵感之后，毕达哥拉斯又迷上了琴弦振动规律的研究，很快地发现了琴弦定律，即“在给定张力作用下，一根给定弦的频率与其长度成反比”：

f ∝ 1/L                                           （1）。

你可能看不上琴弦定律给出的这个简单公式，但如果你想想，毕达哥拉斯比我们早了两千五百多年，与你所具有的知识之丰富，当然不能同日而语。但如果将毕达哥拉斯的工作与他的前辈泰勒斯等米利都人比较，已经前进了一大步。毕达哥拉斯学派不仅仅满足于寻求万物的本原，而是将自然界运行的规律作为探求的目标。更为难能可贵的是，上述琴弦定律，将物理现象之规律用数学公式表达出来，开创了物理与数学结合的先例。

由此可见，毕达哥拉斯的琴弦定律（1），堪称一个里程碑式的公式，难怪俄裔美籍物理学家乔治·伽莫夫（Gamow，1904年－1968年），赞扬毕达哥拉斯这个定律，是理论物理学发展的第一步！因为它首次把物理规律用数学公式描述了出来，或者说，是物理系统的第一个数学模型。

毕达哥拉斯的思想深深地影响了柏拉图，以及一大批后来的哲学家和科学家。毕达哥拉斯为古希腊科学的种子注入了数学的基因，是促使科学和数学联姻的第一人。

 

·无理数在悲剧中诞生

 

毕达哥拉斯当时认为是世界本原的“数”，指的是整数和分数。毕达哥拉斯认为“1是所有数的生成元”，但是，1只能生成整数，显然还存在不是整数的数，这是很容易理解的。比如说，当你对木棍长度进行测量时，无论你以什么样的“尺子”作为“1”（单位），总会有木棍的长度无法用整数表示出来。于是，毕达哥拉斯说：那没有问题，不能用整数表示，那就用分数表示呀。分数不就是两个整数的比值吗？产生了两个整数，就能产生分数，就能产生任何比例。总而言之，这位古希腊的数学教皇认为：“宇宙的一切都归结于整数和整数之比”，整数和分数能解释一切自然现象，充分体现了自然规律的数学之美。毕达哥拉斯学派认为，两条几何线段长度之间的比值，其结果必然是整数之比。他们说，如果两根木棍的长度互相不是倍数的话，那么就会存在第三根木棍，用它做尺子，就能同时测量这两条木棍而得到两个整数m和n。毕达哥拉斯学派称这个性质为两个长度的“可通约性”。实际上就是说，两木棍的长度之比a=m/n，是一个整数或分数（有理数）。出于他们对宇宙万物和谐美的崇拜，他们认为任何两条线段都是可通约的。

 

上文中我们曾经说到，毕达哥拉斯发现了以其命名的毕达哥拉斯定理的一般形式。如果应用此定理到两个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边的长度是多少呢？根据毕达哥拉斯定理，这个长度的平方等于2。显然，我们不可能找到一个满足条件的整数，但是，是否能够找到一个分数适合该条件呢？这个课题引起了毕达哥拉斯一个学生希帕索斯的兴趣并进行了深入研究。

 

                                               

假设2的平方根为a，那么，它可以写成一个分数a=m/n吗？根据毕达哥拉斯的理论，答案是肯定的，因为除了整数分数，没有其他的数。因此，希帕索斯开始时信心满满，下定决心一定要把结果找出来。他折腾了很长时间，用不同的整数对(m,n)试来试去，最终却一无所获。试验失败令希帕索斯对a这个数的性质产生了怀疑，2的平方根好像不可能表示成一个分数！

 

于是，希帕索斯想到了使用反证法，也就是说，首先假设a是一个分数，然后看看是否会得到不合理的结果。例如，假设a=m/n中的 m、n是化为最简分数比后的整数，即m、n互质，根据勾股定理，1²+1²=a²=(m/n)²=2，化简后为m²=2n²，从这个算式可以看出，m²是偶数，那么m也是偶数，因为m、n互质，所以我们得到第一个结论：n应该是奇数。

 

然后，因为m是偶数，则可以表示为m=2b(b是自然数)，代入m²=2n²中，得4b²=2n²，或n²=2b²。那么便可得到，n²是偶数，n也一定是偶数。这个结果与“n应该是奇数”的第一个结论矛盾！

 

所以，希帕索斯用毕达哥拉斯派经常使用的反证法，证明了√2不能表示成两个整数之比，2的平方根既不是整数，也不是分数，那它是一个什么数呢？希帕索斯为发现了一种新类型的数而兴奋，但却使得老师惊慌不已，因为这个发现让毕达哥拉斯感觉自己原来宣扬的“万物皆数”的理论似乎失去了根基而岌岌可危，于是，他便将希帕索斯囚禁起来，最终甚至下令将这个“叛逆学生”丢进大海淹死了。（注：对希帕索斯的死因有不同的说法）

 

尽管这是个数学史上的悲剧，但结果导致了无理数的发现，并且引发了所谓的“第一次数学危机”。后来（公元前300年左右），仍然是毕达哥拉斯学派的一个弟子--欧多克斯(Eudoxus) ，将“可通约”的概念扩展到“不可通约”，为无理数找到了存在的基础，暂时解决了这个矛盾。

 

无理数的发现过程，使古希腊科学家明白经验的局限性，只有严密的推理和证明，才能确保理论的可靠。同时，几何学的地位被提升，此后的欧几里得几何公理体系便是建立在这些思想认识的基础上，也使得古希腊科学家走向了逻辑论证之路，成为科学之先驱者。

 

也可以说，发现无理数的“悲剧”，对科学的发展有着不可磨灭的贡献。体现了数学对科学及其重要的作用，没有数学的发展，现代科学的进步是不可能的。

 

数字的概念原本是从人类的生活和生产活动开始的。人类为了更好地生存，发展了农耕文化，他们需要记录日期和季节，计算谷物数和家禽数，还需要度量长度、面积、体积等等。随着文明的发达，整数和分数的概念都毫无困难、顺理成章地发展起来。例如在上文例子中所说的，为了测量两根木棍的长度，人们可以建立起整数及分数的概念。但是，仅仅凭着这种物理测量的实践活动，无论你的测量技术达到多么地精确，也不可能产生出类似√2的这种“无理数”的概念来。“无理数”概念的建立，完全不同于有理数，它需要数学的抽象、思维的升华，包含着“无穷”、“极限”等概念。数学家柯西说过：“无理数是有理数序列的极限”。这也就是数学对科学作用之关键所在。看起来，科学的这位数学“皇后”真不简单！甚至可以说，数学思维高于科学。因为数学自身可以靠逻辑发展，而科学不行，数学是科学不可或缺的一部分。

 

（下一篇：微积分和科学）

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