数学笔记（004）康托尔的无穷数理论

今天的数学家都公认，集合论是现代数学的基础。集合论的创始人是德国数学家康托尔。

有限个元素的集合的理论是很容易理解的。集合论里，不考虑每个元素的具体性质。两个有限集合的元素数目如果相等，就可以建立元素之间的一一对应关系，因此可以把这两个有限集合定义为等价的。于是，有限集合可以按照元素的数目分类。

自然数集，整数集，有理数集，实数集等是无限集合的例子。它们的“大小”，或者说“元素数目”怎么定义和比较？

康托尔提出，应该用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则，并用一个术语：基数(cardinal number)，也叫势(cardinality)来标记无穷集合的“大小”。两个无穷集合之间如果能够建立一个一一对应关系，就说这两个集合有“相同数目的元素”/有相同的势/有相同的基数。

于是我们会得到一些奇怪的，“违反常识”的结论，例如：

1. 偶数集合，奇数集合，自然数集合，整数集合，有理数集合....有相同的“元素数目”/基数；

2. 全体实数集合，[0,1]区间内的实数的集合有相同的“元素数目”/基数；

3. 正方形和它的一条边有相同数目的点。

如此等等。

违反了什么常识？违反了“整体大于部分”。在几何原本里，这可是5条公理之一。

无论如何，康托尔的无穷数理论如今已为数学家广泛接受。“最小的”无穷集合，自然数集合的势称作“可数无限”。比自然数集合更大的，[0,1]区间内的实数的集合--“连续统”的“势”的符号是希伯来文的第一个字母“aleph":$\aleph$。

如果我们承认康托尔的基本假定：用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则，那么由此假定经过逻辑推理得出的一切结论也就不能反对。

剩下的一个问题是：康托尔的无穷数理论尽管看上去很美，它适合我们吗？

我们对物理和数学的关系的基本观点是：数学是物理学家的工具。那么，康托尔的无理数理论，是对我们很好用的工具吗？

请留意博主即将发表的物理数学系列。

以下为参考阅读材料，来自网络：

(1) 康托尔和无穷集合论

格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845-1918）

康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

　　集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。

　　大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。

　　1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。

　　在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877 【注：此处原文缺若干字】

　　说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。

　　康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。

　　康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。

　　在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。

　　19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。

　　他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。

(2) 集合论的创立者康托尔的遭遇

    节选自  解恩泽主编 《科学蒙难集》

　　19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G.Cantor，1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论----集合论。它的内容是如此与常识格格不入，以至于一出世就引起了一场轩然大波。

　  康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891）是这些人中言辞最激烈、攻击时间最长的一个。他认为，康托尔关于超限数的研究，是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在许多数学家看来是很过分的事情。克隆尼克的影响还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之，克隆尼克的专横无理令人震惊，他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。

　　除了克隆尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）也不赞成集合论的思想。数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。

　　在克隆尼克等人的围攻和反对下，康托尔的精神逐渐崩溃了。从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了严重的忧郁症。1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。一位数学家为自己创立的理论付出这样大的代价，这种事情在数学史上还是不多见的。

   集合论的创立和康托尔的遭遇，给后人留下的历史教训是很深刻的。它告诫人们，要坚持和发展科学真理，决不能离开实践。科学理论的对象和内容越是抽象，就越需要深深扎根在现实土壤之中。它还告诫人们，当一种新的科学发现或发明出现的时候，不要凭借直观的、常识或以往的经验来下判断，更不要给科学成果施加某种主观的、人为的标准。真理的唯一标准只能是人们的实践。它告诫那些创造科学新成就的人们，要有充分的精神准备听取各种反对意见，承受可能出现的冷遇、嘲讽和打击，克服前进道路上的各种困难。要充分认识到，获得科学发现是艰苦的，使科学发现为人们理解同样的艰苦的，两者都要经历一个奋斗的过程，决不可能一蹴而就。它还告诫那些评价科学新成新的人们，要冷静、客观、全面地看待每一项科学发现或发明，要善意地对待科学新成果发展过程中难免的缺点和弱点。科学工作者要注意科学道德修养，避免再出现克隆尼克那样的事情。像集合论这样的科学成果，在科学发展中应是越来越多的；而像康托尔这样的悲惨遭遇，则是不应该再出现了。