看到这个题目，估计好多网友会说“你脑袋被驴踢了，还是闲的egg疼？这不是秃子头上的虱子——明摆着的事儿吗？”别急，看完了，就知道咱在说啥了。

一、1.48=?

若用阿拉伯数字和已知数学常数（p，e， $\sqrt{2}$ ）表示，1.48=? 解答：

$1.48\approx \frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

二、一类等比数列具有分形属性吗？

学过数学的人晓得，Cantor三分集（图1）是一个分形，其分维D=ln2/ln3。

图1 Cantor三分集

但估计好多人不晓得，Cantor三分集还是一个等比数列【1】呢。设原线段的长度为1，第一次挖去的线段长度为1/3，剩余线段的长度之和为2/3；第二次挖去的线段长度为（2/3） $\times$ （1/3）, 剩余线段的长度之和为(2/3)²；第三次挖去的线段长度为(2/3)² $\times " style="font-family:symbol;line-height:32px;$ （1/3）, 剩余线段的长度之和为(2/3)³；如此，挖呀挖。

显然，剩余线段长度和挖去的线段长度分别构成一个公比q=2/3的等比数列，该等比数列具有分形属性。

若考虑挖去的个数，则第一次为1，第二次为1+2，第三次为1+2+2²,这样进行n步后，挖去的总个数为：

N=1+2+2²+…+2^n-1

显然，这是一个公比q=2的等比序列。

此外，对下述大家熟悉的分形图形（图2和3）【2】，采用上述类似的方法，亦容易知道其可构成等比数列。

图2 Koch曲线

图3 Sierpinski地毯

我们提出的锁固理论，其应变比的表达式亦可视为公比q=1.48的等比数列，即

q=e_n+1/e_n=1.48

式中，e_n为第n个锁固段峰值强度点应变。综上类比，可认为其具有某种分形性质。

三、1.48与黄金分割数沾边吗？

直接用Cantor三分集，显然无法证明该问题。当然，活人不能被尿憋死，可构造如下广义的Cantor 三分集【3】：

设K₀= [ 0, 1 ]; 第一步将区间[ 0, 1 ]分成3 份, 设其第1, 3 个区间的长度为ɷ(0< ɷ<1/2)

, 第2 个区间长度为1- 2ɷ, 去掉中间的一个开区间(ɷ, 1-ɷ) , 记K₁= [ 0, ɷ]∪[1- ɷ, 1 ], 再将剩下的两个小闭区间[ 0, ɷ], [ 1- ɷ, 1 ]分别按同样的比例分成3 份, 并各去掉中间的开区间。如此下去, 最后得到的集合就是广义的Cantor 三分集，其分维数D=-ln2/lnɷ。

取满足0< ɷ<1/2的ɷ值，令ɷ=1-(1/1.48)，,则D=0.616≈0.618。看来1.48与黄金分割数0.618貌似有潜在的关联。尽管这种关联性的内涵咱目前尚不清楚，仍需进一步探索，但这可能说明自然对象的本质是有联系的、且是简单的。

四、1.618是分维数吗？

科学家经过广泛计算，发现自然界的1维分形维度大多集中在1.6～1.7附近【4】，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，1维分形分数维度可以有无穷多个取值，但是大自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的取值．这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢?

如图4，这种长边与短边比值是黄金数1.618的矩形称为黄金矩形,是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形。剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如将这些正方形内的1／4圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。张文卓与徐凤【4】采用盒维数法解得D=1.6193，很接近黄金数1.618。

图4 黄金矩形与黄金螺旋

不看不知道，世界真奇妙！这个世界有更多的“达·芬奇密码”需要有志者去破解，尽管科学探索之路蜿蜒曲折，但无限风光就在险峰。努力吧，童鞋们！

参考

【1】沙国祥，等比数列与分形， 2016(4):20-21.

【2】杨金忠，分形几何在高中数学中的渗透举例，中学数学月刊, 2014(7):43-45。

【3】戴振祥,一类广义Cantor集的Hausdorff 维数，浙江师大学报(自然科学版),2001,24(2),143-145

【4】张文卓，徐凤，“达·芬奇密码"——黄金分割与分形几何学，《科学》，2006，（5），60-62.