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1.48=?

已有 4630 次阅读 2017-1-12 13:10 |个人分类:科研随想|系统分类:科研笔记| Cantor集

看到这个题目,估计好多网友会说“你脑袋被驴踢了,还是闲的egg疼?这不是秃子头上的虱子——明摆着的事儿吗?”别急,看完了,就知道咱在说啥了。

一、1.48=?

若用阿拉伯数字和已知数学常数(pe $\sqrt{2}$ )表示,1.48=? 解答:

$1.48\approx \frac{\sqrt{2}}{3}\pi$

二、一类等比数列具有分形属性吗?

学过数学的人晓得,Cantor三分集(图1)是一个分形,其分维D=ln2/ln3


1 Cantor三分集

但估计好多人不晓得,Cantor三分集还是一个等比数列【1】呢。设原线段的长度为1,第一次挖去的线段长度为1/3,剩余线段的长度之和为2/3;第二次挖去的线段长度为(2/3 $\times$ 1/3, 剩余线段的长度之和为(2/3)2;第三次挖去的线段长度为(2/3)2 $\times " style="font-family:symbol;line-height:32px;$ 1/3, 剩余线段的长度之和为(2/3)3;如此,挖呀挖。

显然,剩余线段长度和挖去的线段长度分别构成一个公比q=2/3的等比数列,该等比数列具有分形属性。

若考虑挖去的个数,则第一次为1,第二次为1+2,第三次为1+2+22,这样进行n步后,挖去的总个数为:

N=1+2+22+…+2n-1

显然,这是一个公比q=2的等比序列。

此外,对下述大家熟悉的分形图形(图23)【2】,采用上述类似的方法,亦容易知道其可构成等比数列。


2 Koch曲线



3 Sierpinski地毯

我们提出的锁固理论,其应变比的表达式亦可视为公比q=1.48的等比数列,即

q=en+1/en=1.48

式中,en为第n个锁固段峰值强度点应变。综上类比,可认为其具有某种分形性质。

三、1.48与黄金分割数沾边吗?

直接用Cantor三分集,显然无法证明该问题。当然,活人不能被尿憋死,可构造如下广义的Cantor 三分集【3】:

K0= [ 0, 1 ]; 第一步将区间[ 0, 1 ]分成3 , 设其第1, 3 个区间的长度为ɷ(0< ɷ<1/2)

, 2 个区间长度为1- 2ɷ, 去掉中间的一个开区间(ɷ, 1-ɷ) , K1= [ 0, ɷ][1- ɷ, 1 ], 再将剩下的两个小闭区间[ 0, ɷ], [ 1- ɷ, 1 ]分别按同样的比例分成3 , 并各去掉中间的开区间。如此下去, 最后得到的集合就是广义的Cantor 三分集,其分维数D=-ln2/lnɷ

取满足0< ɷ<1/2ɷ值,令ɷ=1-(1/1.48),D=0.616≈0.618。看来1.48与黄金分割数0.618貌似有潜在的关联。尽管这种关联性的内涵咱目前尚不清楚,仍需进一步探索,但这可能说明自然对象的本质是有联系的、且是简单的。

四、1.618是分维数吗?

科学家经过广泛计算,发现自然界的1维分形维度大多集中在1.61.7附近【4】,这让人很自然想起神秘的黄金分割率1.618理论上讲,1维分形分数维度可以有无穷多个取值,但是大自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的取值.这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢?

如图4,这种长边与短边比值是黄金数1.618的矩形称为黄金矩形,是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形。剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去,会获得邻近边长比为黄金数,并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如将这些正方形内的14圆弧连接起来,会构成一个平滑的自相似螺旋,即黄金螺旋。张文卓与徐凤【4】采用盒维数法解得D=1.6193,很接近黄金数1.618

4 黄金矩形与黄金螺旋

不看不知道,世界真奇妙!这个世界有更多的“达·芬奇密码”需要有志者去破解,尽管科学探索之路蜿蜒曲折,但无限风光就在险峰。努力吧,童鞋们!

参考

1】沙国祥等比数列与分形, 2016(4):20-21.

2】杨金忠,分形几何在高中数学中的渗透举例,中学数学月刊, 2014(7):43-45

3】戴振祥,一类广义Cantor集的Hausdorff 维数,浙江师大学报(自然科学版),2001,24(2),143-145

4】张文卓,徐凤,达·芬奇密码"——黄金分割与分形几何学,《科学》,2006,(5),60-62.




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