今天基本修订完成一年制《数学分析》的教学大纲，以下按“课程性质”、“教学目标”、“教学方法”、“教学内容”进行叙述，敬请批评、意见及建议，不胜感谢。

（一）课程性质

本课程主要面对复旦大学技术科学大类的一年级本科生，设置为一年制课程，实际理论授课周学时为6，习题课单列；以陈纪修等编著《数学分析》为主要教材。每轮约500位学生修读，一般分8个平行班授课（采用统一的教学大纲与主要教材，考试统一命题、批阅与评定成绩；每位教师按自身情况在讲授进度与风格上略有不同）。

本平行班任课教师先前为力学类（现主要已归入技术科学、自然科学大类）一年级学生讲授一年制《数学分析》，期间作为项目负责人执行2011年度上海市教育委员会重点课程项目 “‘数学分析’（一年制，面对力学等技术科学专业）”，执行期2011－2013年。经持续性教学研究与实践，目前已基本形成适合非数学类专业学生的微积分知识体系构建及其传授方式。知识体系构建上主要表现为将微积分作为认知世界的基本思想与方法而非仅限于逻辑过程，同时注重微积分对后续相关数理课程的基础性作用；传授方式上逐步开始注重引入现代网络技术及其基于其上的新兴教学方式。

现已基于复旦大学精品课程网站建设有课程体系网站“微积分的一流化进程”，http://jpkc.fudan.edu.cn/s/354/包含一年制《数学分析》所涉及的一元微分学、一元积分学、高维微分学、高维积分学、级数，其中高维微分学、积分学与级数已在课程网站上发布有按知识点剪辑的课程录像。目前已基本完成配合课程讲授的《微积分讲稿》，综合理论体系、方法事例、提高深化等功能，可作为辅助性参考资料。

（二）教学目标

     为符合复旦大学争创世界一流大学的宏伟目标，本课程以期追求具有国内外一流水平的教与学的程度，对此进行如下叙述：

1．追求课程广度、深度与理念的一流化

1.1 为追求具有一流水平的数理知识体系所进行的课程体系设计

研习当今具有国内外一流水平的微积分教程，以我国北大张筑生著《数学分析新讲》、俄罗斯卓里奇著《Mathematical Analysis》等为代表，此处的“一流化”可以表征为以下特点：（1）在讲述一元微分学基础上（第一学期），多元微分学则直接建立在有限维Euclid空间之间向量映照之上。卓里奇书还进一步讲述一般赋范线性空间之间映照的微分学；（2）在讲述一元函数Riemann积分的基础上（第一学期），多元积分学则沿用有限维Eucild空间上Lebesgue积分建立的思想和方法，甚至直接进行。（3）基于有限维Euclid空间之间微分同胚的知识，发展微分流形上的微积分。

上述一流化做法的必要性及可行性，可归纳如下：

☆ 必要性（1）建立于有限维Euclid空间之间映照的微积分以及一般赋范线性空间之间映照的微分学将真正全面地展现微积分在认识自然及非自然世界中的作为；相关的系统思想及方法不仅为力学、物理学等广大基础科学和技术科学而且也为经济管理等学科提供深厚的知识基础。（2）讲述一般赋范线性空间之间映照的微分学，有限维Euclid空间上Lebesgue积分建立的基本思想和方法，为进一步研习测度论以及泛函分析做了十分有益的铺垫；有限维Euclid空间中微分流形的初步理论为今后研习现代数学、力学、物理以及数理经济等较为高深的学问（相关系统思想及方法的集合）提供必要的基础。需指出，随着我们所研究事务的复杂度的提高，测度论以及泛函分析、微分流形等基本思想和方法是我们研究和认识复杂事务所必然需要的，而非仅限于数学类专业。

☆ 可行性（1）一元微分学（面对一般实函数）建立的思想和方法，可很大程度地直接应用于有限维Euclid空间之间映照；而有限维Euclid空间之间映照的微分学建立几乎可以“一模一样”的应用于一般赋范线性空间之间映照的微分学的建立。由此，我们可以将新知识的学习过程作为“温故而知新”的过程。（2）有限维Euclid空间中微分流形的初步理论实质性地基于微分同胚的相应结论，由此我们又可以实践“温故而知新”的过程。

按上所述，我们对“具有一流化的微积分的知识体系”的追求对于今后高层次的学习以及研究等具有基础性的深远作用。在明确目标后，结合复旦现有的课程及其学分设置，我们设想了“微积分一流化进程”的教学路径，现研究及实践的主要内容如下：①大学一年级必修《数学分析》：陈纪修等《数学分析》、张筑生著《数学分析新讲》（共三册，基本内容）→ ② 大一暑期选修课程《经典力学数学名著选讲》（有关高等微积分）：卓里奇著《Mathematical Analysis》有关一般赋范空间之间映照的微分学，有限维Euclid空间之间微分同胚的深化内容（包括秩定理、Morse定理等）；有限维Euclid空间中微分流形的初步理论；有限维Euclid空间中Riemann积分理论的深化内容（积分换元公式等）等 → ③ 大二、三选修课程《流形上的微积分》，④《应用实变函数论与泛函分析基础》等，使得相关教学的深度和广度能持平甚至超越国内外一流的微积分或数学分析的教程，如俄罗斯数学教材选译之一的卓里奇箸《Mathematical Analysis》。此教材被Wolf奖获得者V.I.Arnold誉为迄今为止最好的现代分析学教程，极力体现现代化的知识体系及其在认识自然及非自然世界中的作用。

1.2 数学通识——各课程间融会贯通与触类旁通的纽带

追求正本清源，不断加深各课程知识体系间的关系，有助于“融会贯通、触类旁通”，切实加深对各课程所提供的知识的理解。一定程度上，知识体系应该是由核心思想向外辐射，数理知识体系的核心可谓微积分及线性代数。

事例1：微积分核心思想：动态逼近程度的刻画（点列极限）→整个微积分体系的发展（包括导数、积分、级数）。学生学习微积分，仅需依赖极限这一唯一的核心概念，导数是一种特定的极限，积分、级数也是特定的极限，这些知识学习体现“温故而知新”的效果，而非总是在不断地学习“全新”的内容，有助于加深认识。

事例2：基于有限维Euclid空间之间微分同胚理解张量分析中的曲线坐标系，从参数区域至物理区域间向量值映照的Jacobian阵直接给出局部协变基→基于非奇异阵其逆阵的唯一存在性，获得协变基之对偶基（亦即逆变基）的唯一存在性→基于向量值映照其Jacobian阵的每列即为此向量值相对于相应曲线坐标的变化率，导出Christoffel符号的意义及其计算式等——教学实践表明，简单应用有限维Euclid空间之间映照的微分学可对力学中广泛应用的曲线坐标系的基本概念给予十分清晰的阐述。

事例3：基于线性代数中“同时对角化”的结论，亦即存在非奇异阵，可将一个对称正定阵和对称阵同时分别合同于单位阵和对角阵。这一常作为习题的结论，其构造性证明过程以及相关线性变化的意义（在力学实践中有着明确的意义），可以系统清晰地定义曲面的Gauss曲率、平均曲率并获得相关基本性质。理论力学课程中，藉上述同时对角化的结论，可以清晰推导保守系统在平衡位置附近作微振动时所具有的数学性质及其力学解释。

事例4：基于有限维Euclid空间之间映照的微分学，结合矩阵基本运算，可以完整清晰地推导微积分中的Stokes公式。最终结果的获得，基于一个三阶反对称阵左乘一个列向量等于此反对称阵对应对偶向量叉乘此列向量，这一熟悉、简单的数学性质。理论力学中，又是藉此数学性质，获得任意运动向量相对于绝对坐标系和运动坐标系关于时间变化率之间的基本关系，此种关系的一个基本应用就是速度、加速度合成关系式的推导。由此可见，上述简单的数学性质可能就是“刚性旋转”的共有数学机制。

我们生活的世界丰富多彩，但上帝可能就拿一样东西创造了这些，这就是“数学机制”，反映为某种数学结构。课程中的定理或性质可能并不是归纳程度最高的东西，更高的会有上述数学机制，往往可以跨课程，甚至跨学科。本文将上述数学机制称为“数学通识”，对此进行研究并在微积分等基础课程中强调这些将有助后续专业课程相关内容的学习，便于展现和理解“数学的作为”，有助于融会贯通、触类旁通。

1.3 数学与自然机理之间的关系

 将数理知识体系认识为：以严格的量化观点，认识自然及非自然世界的系统的思想和方法，而非纯粹逻辑过程，此处强调理论联系实践的能力。另一方面，往往对深层机制或规律的理解需要数理知识体系。

事例1：基于无穷小量的比较及运算，我们可以进行如下估计：（略）

 这个例子中反映了“抓住主要矛盾忽略次要矛盾”这样一个哲学道理，这也是力学等基础科学和技术科学从纷繁复杂的研究对象中提炼被研究事务其本质特性的最为重要的思想和方法。藉此事例，可以展现严格的数学，从方法论角度所表现的灵活性。

事例2：二阶导数联系于法向（向心）加速度，故转轨设计的原则应该是保证二阶导数连续；另一方面，由于二阶导数无法直观观测，所以数学本身起到了认识自然规律的作用。

事例3：众所周知的阿基米德浮力定律在物理上可以被无数的实验证实，但基于微积分中的Ostrogradskii－Gauss公式可以非常简便的得到证明。需指出，对此情形Ostrogradskii－Gauss公式的应用形式为：（略），此处（略）为标量场，而非一般教程中出现的关于向量场的散度形式。实际上述标量场的梯度形式，不久是基于Newton－Leibniz公式推导Ostrogradskii-Gauss公式所得的最初结果，而且也是在力学中广泛应用的形式，特别在流体静力学方面。

对数学（数理知识体系）的作为的认识，取决于对于数学本身的认识。力学等具有长久发展历史的学科，真正的创新应该源于坚实的基础；研究者工作层次，决定于研究者知识体系的层次，如数理知识体系的微积分层次和实分析与泛函分析层次就有本质的差异，后者又是质上的飞跃。

2. 追求理想的教与学的成效

☆ 课程讲授 ①注重知识体系建立的脉络清晰清晰且完整。②注重基于已有的知识发展新的知识。③注重以正向思维获得新知识，以探知的形式进行体系发展。④注重基于数学通识实现本课程内部知识点之间的融会贯通，实现与其它课程知识点之间的触类旁通。⑤注重图示化研究与应用，课程讲授上尽量利用图示阐述基本概念与分析的实质。⑥讲授形式杜绝照本宣科，而尽量阐述自身认识与体会。⑦坚持并进一步提升基于完全板书的全程脱稿讲授的水平与效果，包括对于各色彩粉笔的实际使用等。

☆ 课程支持 ①继续建设课程随堂录像，按知识点或知识要素进行剪辑，单片长10-25分钟。②继续推进图示化研究，将微积分主要概念与分析通过图示进行表示，既在课堂讲授中使用，也可作为总结性复习。③计划建设图示化内容的音频讲解。④继续推荐《微积分讲稿》撰写，《讲稿》同时具有基本理论、应用事例、深化提高三方面功能，可作为主要的课程辅导。

上述各项支持将录像发布于课程体系网站：

“微积分的一流化进程”，http://jpkc.fudan.edu.cn/s/354/

另，考虑基于合适的在线课程平台建设在线课程。

（三）教学方法

基于十年的微积分以及其他相关数理教学，谨归纳如下教学研究与实践的心得与体会。这些观点直接指导了本课程等教学。

☆ 数理观点

     数学及其协同于力学、物理等专业数理知识体系为认知自然与非自然世界提供了系统的思想与方法，可成为认知世界的一种方式与方法/世界观。就此，讲授数理课程应该充分地展现其相关思想与方法在认知世界中的作为。让学生清晰地认识到学习这门课程的意义——这门课程为我们认识什么样的事物提供了什么样的思想与方法。按这样的思路开展教学，也有助于学生实现知识至能力的升华。

     按数理观点，在数理课程的教学中，需要深入研究知识体系，尽量选择或构建能充分联系或者揭示自然或事物本质的分析过程以及结论形式。

☆  体系研究

     知识点与知识要素  以“知识点”分解“知识体系”，知识点为具有一定独立性的知识（思想与方法）的集合。每一知识点再由若干“知识要素”组成，“知识要素”为特定的数学结构或者特定的处理思想与方法。

     数学通识与相似结构  值得指出，隶属同一知识体系甚至不同知识体系的知识点可能包含相同的知识要素，称为“数学通识”。此外，知识体系之间亦可能存在“相似结构”，如一元微分学、高维微分学具有高度相似的知识点构成，如点列极限、映照极限、映照可微性、无限小增量公式、有限增量公式、逆映照定理与隐映照定理，主要结论的分析思想与方法具有高度的统一性。

    数学通识与相似结构可为实现“同一知识体系之内的融会贯通”、“不同知识体系之间的触类旁通”提供一种高成效的途径。值得指出，数学通识亦可服务于不同课程之间的衔接。

☆  讲授方式

     复杂分析过程的要义分解  对于数理方面的课程，学生感到困难以至于“跟不上”的主要原因在于课堂上被一些推导或者结论“卡住”，往往自己还在思考，教师已经涉及后续内容。就此可考虑“将复杂分析过程分解为若干要义”，“要义”包括：①分析的总体思想与方法，②分析涉及的基础性结论，③分析涉及的特定概念与技巧。讲授时，首先澄清各个要义，然后在进行整体性的分析。对于复杂分析过程进行要义分解，亦表示了对复杂事物的认识过程与认识程度，需要尽量做到“正本清源”，揭示事物的本质。

如此处理，具有如下益处：①可以有效降低学生对于复杂分析过程整体性与局部性理解上的困难，提高听课的流畅性，保持学习兴趣。②有些要义为基础性结论，就此再做澄清可起到“温故而知新”的效用。对于复杂事物，往往第一遍难以理解，但第二、第三遍就能迅速提升理解的程度。课程讲授也需要恰如其分地回顾已有的内容，不仅能“承上启下”，而且需要时再做回顾可以有效地帮助学生提高认识程度，提高学生听课的流畅性。

     值得指出，微积分等数理知识体系的基本思想与方法，往往蕴含于分析过程，而非具体的结论；不同的分析过程往往也会导致不尽相同的结果。就此，数理课程需要细致剖析相关复杂分析，基于要义分解提升学生的理解程度。

     面对复旦大学等的本科生，应该注重向其传授基本的思想与方法，培养其具有理论联系实际的能力；而不能停留于“依葫芦画瓢”式的做题，主要为了应付考试。学习一门知识体系，如不能利用其思想与方法以认识世界、应用于生产与实践，那就失去了意义。

     图示化研究 我们对于图形有着与生俱来的亲和性与认同感。由此，非常值得进行知识体系的图示化研究，可以包括：①概念的图示化。如高维微积分中，点列极限、映照极限以及向量值映照可微性的图示化。② 分析过程的图示化。我们将复杂分析过程进行要义分解，而对于要义的澄清可充分基于图示化澄清或揭示相关处理的“实质”；当然对于一般的分析过程也可以充分利用图示表现“到底是怎么回事”。看书时往往会迷惑于某句话、某一结构或者某种作法，对此往往可以在教学中通过图示澄清缘由，由此可有效地提升学生对基本思想与方法的学习效率，也让其感受到认真听讲的意义。③知识体系架构的图示化。指基于框图表示知识体系的知识点及其知识要素，就此可清晰呈现整个知识体系的脉络，包括数学通识。学生进行阶段性或者期末总结时可以利用知识体系架构既进行“查漏补缺”，亦建立总体性的认识。

     值得指出，数理课程教学上，可基于板书充分地进行概念与分析过程的图示化阐述，不仅可以使得课程讲授生动、清晰而避免乏味的照本宣科，而且可以深入地揭示事物的本质。

☆  课程讲稿

撰写并出版《微积分讲稿》，主要以讲稿的形式阐述一元微积分、高维微积分的基本思想、方法及应用，包括微积分同其它数理知识体系之间的关系。

讲稿架构 将微积分知识体系分为若干个“知识点”，每一“知识点”包含若干知识要素。以“知识点”分讲稿，亦即每一知识点对应一个教案。讲稿（知识点）包括：（a）知识点所对应的知识体系的发展，可直接用于授课；（b）知识点所包括知识要素的汇总，包括复杂分析过程的要义分解；（c）应用事例，主要包括可作为课程辅导；（d）深化内容，涉及本知识点同其它知识体系的关系。——总体而言，讲稿兼具教程、辅导及深化这三方面的功能。

讲稿特点 （a）注重利用数学通识，追求微积分知识体系内部的融会贯通，表现为基于一元微积分发展高维微积分，由高维微积分发展一般赋范线性空间上微分学；追求微积分知识体系同其它知识体系之间的触类旁通。（b）注重理论联系实际，注重表现数学与自然之间的关系。（c）注重通过图解展示微积分的一些重要概念、结论及其分析方法，以期加强课程的讲述效果。——总体而言，本讲稿反映的微积分知识体系的广度与深度应当可以类比于国内外具有一流水平的教程，且讲稿阐述清晰、反映了作者系统性的认识与体会。

《微积分讲稿》的书面与电子文本可作为主要的线下与线上学习资料。

☆  教学视频

教学视频，计划分随堂录像 与 专门录像 二类：（1）随堂录像，具有讲述完整，各知识点之间具有链接处理等特点，适合初次学习时使用。（2）专门录像，概述性与归纳性阐述各知识点所属知识要素，复杂分析的要义分解，针对某类问题的方法等，适合具有一定基础后使用。二类视频都按知识点及其所属知识要素进行划分。

☆  在线支持

     现今迅速发展的网络技术为教学带来了新的形式，由此也可能将引发原有教学形式的革新。现主要有课程网站、慕课/MOOC二类形式。相比而言，课程网站可更侧重于知识体系的传播，而慕课则更侧重于线上教学。

     课程网站 相对于传统教学形式，可以建设课程网站甚至课程体系网站，在网站上发布的课程讲稿、教学视频，对此可按知识点或者知识要素为单位进行文件分割，以供学生课前预习与课后复习。

     慕课/MOOC基于课程网站的基本要素（包括课程讲稿、教学视频）可以基础性地建设慕课。慕课注重“翻转教学”，主要包括二个环节：①基于合理编排的课程讲稿、教学视频，学生首先进行自我学习。② 基于自我学习的基础，在师生见面课上学生间、师生间进行研讨等。这一点区别于传统的教学方式——学生在定时定点的课堂上听取教师讲课，事实上只有少数学生会进行课前预习，就此很大程度上制约了课堂讲授的成效。慕课希望将学生的“被动式学习”转化为“主动式学习”，强调学生自我学习的环节。值得指出，尽管不同的课程应该有不尽相同的“翻转程度”，然而促进学生“主动学习”是非常有效且有意义的教学理念与措施。对于微积分等数理课程也值得研究翻转程度及翻转内容，特别对于学时有限的情况。

     计划逐步实现如下线上与线下学习流程：

（四）教学内容

我们将微积分“知识体系”分成若干个“知识点”，而每个知识点由若干“知识要素”组成。以下按知识体系的发展安排教学进度。可能会由于假期或者教与学的实际情况对进度稍作调整。

一年制数学分析 上部

Ⅰ.一元微分学 主要提供面对一元函数的微分学

1. 微积分研究的主要对象、基本研究思想及方法①函数（映照）的基本概念，映照为微积分研究的主要对象。②微积分知识体系的层次，本一年制课程将主要包括一维Euclid空间上的微积分，有限维Euclid空间上的微积分以及级数。③建议学习方法：（a）坚持“正本清源”，要求澄清各个知识点的来龙去脉以及整个知识体系间的融会贯通。（b）坚持“温故而知新”，基于微积分知识体系辐射型发展的特点，努力以已有的知识发展新的知识。（c）坚持“将学问升华为能力”，微积分知识体系可谓我们认识自然及非自然世界系统的思想及方法之核心，在对知识体系融会贯通的基础上追求触类旁通。这将有二方面的作用，其一具有自我学习（吸取）更深入知识体系的能力，反映为具有好的学问；其二将知识体系融合精神，使其真正成为我们认识自然及非自然世界的能力。

2. 数列极限概念 概念引入或提取可基于阿基米德曲边梯形之面积计算过程。①引入数列极限的概念，亦即对“逼近行为”给予严格的刻画方式。②点列极限的分析及运算性质。

——第1周（叙述上述内容，下同）

3. 确界 ①上、下确界基本概念；分别作为最小的上界和最大的下界。②确界存在性定理。③基于确界存在性定理系统性获得：单调有界必收敛得：闭区间套定理 → Bolzeno-Weierstrass定理 → 点列收敛的Cauchy原理。④点列收敛的Cauchy原理的一则应用，一维Euclid空间上的Banach压缩映照定理（不动点原理）及其应用。相关事例体现“高等数学”的意味。注：限于实际的学时，教学具体对象及目标等，暂不考虑实数构造理论的细节，故承认确界存在性定理，且籍此开展所有的分析。

4. 函数极限 ①函数（映照）的概念。②将函数极限理解为函数的某种局部行为，给出Cauchy叙述及Heine叙述；通过引入广义邻域，给出数列极限的统一叙述（包括当自变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形，因变量趋于有限值，正、负无穷及无穷情形）；需要掌握相关局部行为的图示表达。③函数极限的Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性；函数极限的Cauchy收敛原理。④函数的连续性作为函数极限特殊情形处理。⑤复合函数极限定理；叙述统一形式并加以证明。

——第2周

5. 若干重要的函数极限 ①主要通过不等式估计获得若干重要的函数极限。②无限小分析的Landau方法（带小o的分析）。Landau的无限小分析方法可谓是经典哲学观点“抓住主要矛盾，忽略次要矛盾”的具体体现。注：现尚未引入基于无限小增量公式的系统方法，但基本的分析思想及方法可见一斑。

6. 函数导数 ①一元函数的导数定义为因变量相对于自变量的变化率，理解为一类特殊的函数极限。②函数可微性的概念，通过Landau符号说明导数的几何意义（引入函数切线）。③基于Landau的无限小分析获得导数的基本运算性质（四则运算）。④基于Landau的无限小分析获得基本初等函数的导数。⑤基于复合函数的极限定理获得复合函数的可微性定理。基本初等函数的导数以及复合函数的可微性定理为计算复杂函数的导数提供了基本方法。⑥高阶导数：定义为第一阶导函数的导数。

——第3周

7. 有限闭区间上连续函数的基本性质 相关结论隶属闭区间上连续函数的全局行为；需指出，就整个微积分知识体系而言，所发展的相关思想及方法多数仅适合函数局部行为的研究（如导数），而对全局行为的研究缺乏系统的思想及方法。本部分知识体系的发展，可分为二类：（1）非导数相关结论（仅有闭区间上连续）：闭区间套定理（核心基础，基于单调有界必收敛）→（a）有界性定理（闭区间上连续函数必有界）→确界可达性定理（最值定理，函数在某些点取值即为上下确界）；（b）介值定理（朴素及一般形式）；（c）一致连续性。（2）导数相关结论（闭区间上连续，且内部可导）：Fermat引理（核心基础，如函数在其极值点可导，则导数为零） → Rolle定理→平面曲线的等斜率定理/Cauchy中值定理，Lagrange中值定理作为特殊情形。此处，引入反函数及其导数的相关结论，藉此澄清平面曲线的局部Monge型表示、参数形式函数的求导、曲率等概念。

——第4周

8. 无限小增量公式基本理论及应用 无限小增量公式为研究函数局部行为的主要方法。①无限小增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式。②基于无限小增量公式研究函数局部行为的基本方法。其知识要素包括：（a）若干基本初等函数的无限小增量公式，可通过公式直接获得；（b）复合函数极限定理；（c）“逐项可求”以及“逐项求积”二个技术性引理；（d）Landau符号的运算（反映抓住主要矛盾，忽略次要矛盾）。③无限小增量公式的应用。主要包括以下二方面：（1）获得复杂函数的多项式逼近，籍此亦成为处理复杂函数极限的重要方法。（2）力学或物理学等学科中往往采用“微元分析法”获得对所研究事务的控制方程（现为常微分方程，亦即可含有函数本身及其导函数的等式），其分析过程可分为三步骤：（a）基于力学或物理学规律对“微元”建立模型；所建立的模型往往含有“小量”（常包含在函数的自变量中）。（b）对模型中的“小量”按无限小增量公式展开，然后在等式两边取令“小量”趋于零的极限以获得常微分方程。（c）对所获得的常微分方程的分析。具体应用可选取“牧童绕树牵牛”机理；悬链线方程推导等。

——第5周

9. 有限增量公式基本理论及应用 有限增量公式为研究函数全局行为的主要方法。①有限增量公式可源于Cauchy中值定理，且具有朴素及一般形式，此时余项为Lagrange型。②有限增量公式的一般形式：（a）Schlomilch－Routh型，其特殊情况包括Lagrange型以及Cauchy型余项；（b）积分型余项。③基于有限增量公式研究函数的全局行为。主要包括以下二方面：（1）误差估计。主要基于对各种形式余项的估计。（2）函数或其某阶导函数在区间上的界的估计。其知识要素包括：（a）选取特殊点对建立有限增量公式，以此获得函数或其某阶导函数的估计形式；（b）一般可基于最值问题的处理方法获得上述估计形式的界。④相关应用事例。注重同实际问题的结合。

——第6周

10. 基于导数定性研究函数的全局行为 主要包括以下二方面：（1）体现为函数定性作图。其知识要点包括：（a）斜渐近线。基于最值问题获得点到直线的距离公式；基于上述距离公式的极限引入渐近线；基于上述极限获得渐近线的确定方法。（b）单调性同一阶导数（符号）间的关系。（c）凹凸性同二阶导数（符号）间的关系。此处，需给出单调性以及凹凸性的定义。（2）基于单调性及凹凸性获得一些重要的不等式，包括：（a）凹凸性的Jensen不定式刻画。（b）基于对数函数的凹凸性获得Young不等式，籍此获得Holder不定式→ Minkowskii不等式。（c）调和平均、几何平均和算术平均间的关系。

-——第7周

“一元微分学”阶段性考试及相关补充内容

——第8周

Ⅱ.一元积分学主要提供面对一元函数的积分学

1. 闭区间上Riemann积分的基本概念 ①Riemann积分的实际来源。归纳出，相关问题之数学模型建立的分割、选取、求和、求极限的分析过程。②Riemann积分理解为部分和的极限定义。对此极限可按Cauchy叙述、Heine叙述以及Cauchy收敛原理理解，且三者等价（此过程也为温故而知新）。

2. 闭区间上Riemann积分的分析性质 ①Darboux大和及小和的基本分析性质，主要形式为“和谐式估计”。②Riemann积分的充分必要性条件（判别法）：（a）基于Darboux和的表示；（b）基于振幅和的表示，此处需引入振幅的概念及基本性质（作为确界分析的一个事例）。③Riemann积分的Riemann判别法（充分必要性条件），通过振幅和分析。④Riemann可积函数类，包括：单调函数、连续函数、连续函数复合可积函数（基于Riemann判别法）。⑤Riemann积分的基本分析性质，主要包括：（1）分析性质，包括：（a）在有限离散点上改变可积函数的取值，则此函数仍然Riemann可积，且积分值同原函数积分值一致；（b）将任意闭区间分成若干互不相交的闭子区间，则函数在整个区间上可积性等价于各闭子区间上的可积性，且整个区间上的积分值等于各闭子区间上积分值的和；（c）单调性等。（2）运算性质：四则运算性质。可基于振幅和分析获得可积性；或直接基于部分和分析获得可积性及积分等式。

——第9周

3. 定积分的应用理论 定积分的应用表现为分割、选取、求和以及求极限的数学建模过程。①基于定积分的分析理论，定积分的应用可以分为二类：（1）“数学分析所得结论可直接确认为真理”；此时经分割的各微元的真实几何量值之和可以由相应的Darboux小和和大和控制。主要包括： 平面曲边梯形面积计算；平面曲边扇形面积计算；旋成体体积计算等。（2）“数学分析所得结论需要实践检验才能确定为真理”；此时经分割的各微元的真实几何量值之和不能由相应的Darboux小和和大和控制。主要包括：有限维Euclid空间中曲线弧长（折线逼近），此处曲线可为以参数形式给出的一般空间光滑曲线；旋成体侧面积计算（利用圆台侧面积计算），此处旋成体的母线可为以参数形式给出的一般平面光滑曲线。②基于定积分的建模思想及方法，对力学及物理学等学科方面的对象进行建模。基本的思想为获取微元上的“近似”的量，然后对部分和取极限，即得定积分；建模的正确性往往需要经实践检验。

——第10周

4. 定积分的计算方法 定积分即为闭区间上的Riemann积分；其计算方法，按结论的获取方式可分成以下二类：（1）直接基于部分和的极限定义，表现形式有积分换元法。此时，被积函数仅要求在闭区间上可积。（2）基于Newton－Leibniz公式，表现形式有积分换元法，分部积分法。（a）Newton－Leibniz公式要求被积函数在闭区间（积分域）上连续，由此一定存在原函数；按原函数的构造形式（基于变动积分上限）即可获得定理的结论。（b）基于Newton－Leibniz公式的积分换元法，要求被积函数在闭区间上连续。

——第11周

5. 不定积分 原函数的获取往往可基于不定积分（导数的逆运算）。求不定积分具有较为系统的方法，（1）按求解方式，包括：第一类积分换元法，第二类积分换元法（真正意义的换元法），分部积分法。（2）按求解策略，可分为：（a）基于被积函数的特定结构（可掌握若干事例，一般而言，特定技巧性较强而系统性较弱）。（b）有理化过程。按不定积分获得的“原函数”，可能需要再做些“修正”，而成为符合严格定义的原函数；然后可基于Newton－Leibniz公式计算定积分。

——第12周

6. 广义积分 ①广义积分可分为二类：（1）积分限为无穷的定积分；（2）被积函数在积分域上的某些点发生奇性的定积分，常称为瑕积分。对于上述二类广义积分均通过引入变动积分限的函数，并研究其相应的极限以定义广义积分的敛散性。②函数极限的Cauchy收敛原理成为研究广义积分敛散性的基本方法。最为基本的形式可为被积函数的绝对值由某正值函数控制，故当正值函数收敛时广义积分必收敛。进一步，广义积分收敛性可分为绝对收敛和条件收敛。③通过Abel和式推导一般形式的定积分中值定理；将此联系与广义积分的Cauchy收敛原理，可以获得广义积分敛散性的一般判别方法；相关方法适用于收敛性的直接研究而非通过控制函数。注：作为一种特定技术，Abel和式及其估计在后续的级数理论中仍将起到重要的作用；由此，我们将Abel和式及其估计作为“数学通识”中的一例。

——第13、14周

“一元积分学”阶段性考试及相关补充内容

Ⅲ.常微分方程基础

1. 实变量复值映照（函数）①引入复数赋范线性空间，亦即一维复空间；涉及线性结构，范数及其诱导的距离。两复数间的乘法运算成为复空间的特有性质。②复指数函数的极限定义及其表示的Cauchy公式。Cauchy公式可为微积分拓展至复空间的重要基础。③实变量复值映照的极限，可微性，Riemann可积性等定义及结论；即自变量空间为一维Euclid空间，应变量空间为一维复空间的映照的微积分。可完全参照一维Euclid空间中的微积分展开；此过程也作为温故而知新的实践。

——第15周

2. 实变量复值映照的常微分方程 ①一阶变系数线性非齐次常微分方程的求解，利用常数变易法的思想。②二阶常系数线性微分方程的求解，利用算子分裂的思想。③若干事例。可取由Kepler行星运动定律推导Newton万有引力定律；由Newton万有引入定律推导Kepler行星运动定律；此过程所需的平面运动方程在极坐标基的形式先前已有推导。注：第一学期的一元微积分以及此处的常微分方程基础将为大学物理（普通物理）的学习提供必要而充足的数学基础。

——第16、17周

    一年制数学分析 下部

Ⅰ.多元微分学

1. 有限维Euclid空间（Cartesian空间） ①按等价性观点（一一对应）理解公理化定义（包括定义加法及数乘，使其成为线性空间）、几何化（引入典则基，Cartesian坐标，加法的平行四边形法则等）。②有限维Euclid空间的实际背景，从具体研究过程中提取。

2. 有限维Euclid空间之间映照（常称为向量值映照）的极限 ①向量值映照的实际背景。②对比一元函数极限研究，引出Euclid空间中距离的概念，进而定义作为线性空间的Euclid空间的范数。基于距离，可定义球形邻域；籍此定义点列收敛。③基于球形邻域，可完全类比与一元函数情形，定义向量值映照的极限，包括Cauchy叙述、Heine叙述及其等价性结论，向量值映照极限的Cauchy收敛原理。连续性作为特殊的映照极限加以研究。④复合向量值映照极限定理，强调非接触性条件。⑤向量值映照极限等价于其各分量的极限（本性质由Euclid空间中距离性质决定），籍此结合多维函数极限的四则运算以及复合向量值映照极限定理，获得向量值映照极限的具体计算方法。

——第1周

3. 向量值映照导数Ⅰ ①向量值映照的可微性定义。可微性为映照的局部行为，其实质为基于线性映照来“逼近”因自变量变化而引起的因变量的变化，误差为因变量变化的一阶无穷小量。由此，首先需要澄清不同维数Euclid空间之间线性映照的定义及其表示形式（引入线性映照矩阵）；然后分析的可微性定义的表示，引入作为线性映照矩阵的Jacobian矩阵，该矩阵的分量则为向量值映照各分量相对于自变量各分量的偏导数；上述整个过程对于理解可微性定义至关重要。②向量值映照方向导数，通过极限定义；当可微时，则对所有的方向导数存在；沿Cartesian坐标轴的方向导数定义为向量值映照对自变量各分量的偏导数，由此Jacobian阵的每一列可理解为向量值映照的各个偏导数，此概念直接服务于今后引入曲线坐标系（微分同胚）所诱导的局部基。③复合向量值映照的可微性定理。分析过程基于复合向量值映照的极限定理，注意有关非接触性条件的处理。④多维函数高阶偏导数。多维函数高阶偏导数的定义基于低一阶多维偏导函数之有关坐标轴的方向导数；本课程不拟引入向量值映照的“高阶导数”，因为这需要引入抽象空间之间的线性映照。⑤复合向量值映照可微性定理直接提供了复合映照导数的链式求导法则，要求掌握向量值映照复合向量值映照的一般情形，基于分块矩阵运算；这种形式对于今后处理由隐映照定理决定的隐映照之导数运算十分重要。⑥向量值映照导数的几何应用。（ⅰ）我们将m维Euclid空间中的曲线认识为单参数向量值映照，其Jacobian阵为列向量，即为曲线在当地的切向量；按可微性定义认识曲线当地切线的意义。（ⅱ）曲面认识为参数为m-1维的向量值映照，其Jacobi阵如为列满秩，则其各个列向量（值域空间中各坐标曲线切向量）构成当地m-1维切空间；说明曲面上曲线的切向量一定位于切空间之中；按线性代数中齐次线性方程组有关结论获得法向量的确定方法。

——第2、3周

4. 向量值映照导数Ⅱ ①多维函数在直线段上的有限增量估计，分析上基于一维函数的Lagrange中值定理以及多维函数方向导数的定义。②多维函数可微性的一个充分性条件。③多维函数混合偏导数相等的一个充分性条件（Schwartz定理）。上述结论②和③的分析过程，均基于①。

——第4周

5. 多维函数的无限小增量公式及有限增量公式 ①多维函数无限小增量公式及有限增量公式的获得都是将自变量变化限制在直线段上，由此应用一维函数的无限小增量公式及有限增量公式，结合复合映照可微性定理，以获得相关结论。②获得复杂多维函数无限小增量公式的系统方法，主要思想为基于一维函数的相关展开式以及多项式展开的唯一性结论。③多维函数有限增量公式的多种形式，Lagrange余项形式及积分余项形式。④多维函数有限增量公式在近似计算中的应用，余项直接提供了误差估计（无限小增量公式实际并未提供估计误差的方法）；具体应用事例可采用Lagrange插值公式等。

——第5周

6. 隐映照定理及逆映照定理 ①有限维Euclid空间中点集拓扑最为基本的概念，包括开集、闭集；闭方块套定理，有界闭集（紧致集）之开覆盖有限覆盖定理。②有限维Euclid空间中有界闭集上连续函数的基本性质，分析上主要基于闭方块套定理，结论完全类比于一维Euclid空间情形。③有限维Euclid空间中有界闭集上的压缩映照定理（不动点定理），籍此构造性地直接证明隐映照定理和逆映照定理；隐映照定理及逆映照定理的相互推导；上述分析过程较为系统和冗长，但提供了系统分析的实践事例，整个分析过程脉络清晰（关键技术仅涉及压缩映照定理以及向量值映照模的有限增量估计），实践全部细节对于深入理解和掌握定理显得十分重要。④隐映照定理应用，主要包括：（ⅰ）m维Euclid空间中k维曲面的隐式表示形式，主要给出了k维曲面的局部Monge型表示的存在性，但未直接给出曲面的向量值映照表示；给出了局部Monge型曲面的Jacobian矩阵。（ⅱ）m维Euclid空间中的1维曲面，即为一般意义下曲线，可确定切向量、切线；m维Euclid空间中m-1维曲面,即为一般意义下曲面，可确定各切向量、切空间及法向量。（ⅲ）条件极值问题。一般约束方程可理解为m维Euclid空间中k维曲面（1<k<m）的隐式表示形式；由于目标函数定义在曲面（约束）之上，通过曲面的局部Monge型表示，故原目标函数等价于直接定义在曲面定义域上的函数；进一步可获得其极值点的控制方程。Lagrange条件极值的系统性处理方法（Lagrange乘子法）可理解为一种形式化处理，使得Lagrange函数之临界点控制方程与原处理所得方程一致。⑤逆映照定理应用，主要包括：（ⅰ）确定全局意义微分同胚的一个充分性定理。（ⅱ）微分同胚提供了将“不规则区域”（物理域）变化为“规则区域”（参数域）的一般方法，籍此我们可以将发生在物理域上的事件“等价性”地转换为参数域上的事件，具体为将物理域上的偏微分方程转换为参数域上的偏微分方程；逆映照定理提供了全部的细节需要。

——第6、7周

“高维微分学”阶段性考试及相关补充内容

——第8周

Ⅱ.多元积分学

1. 有限维Euclid空间中闭方块上函数的Riemann积分 ①Riemann积分部分和的极限定义，澄清其Cauchy叙述、Heine叙述以及Cauchy收敛原理。②Darboux大和及小和的分析性质，主要为“和谐式估计”；引入振幅和。③Riemann可积的五种等价性判据，分为Darboux和与振幅和二类表示。以上内容完全类比于闭区间上情形。④闭方块上Riemann可积的Lebesgue定理（充分必要性条件），需引入Lebesgue零测集概念，给出证明细节（反映Riemann积分的本质性质）。

2. 允许集上Riemann积分 ①允许集的定义，籍此结合集合的特征函数定义允许集上Riemann积分，此过程需要利用Lebesgue定理。②Riemann积分的基本性质。

——第9周

3. Fubini定理 按Riemann积分的Darboux和分析，证明Fubini定理（不失一般性，可基于闭方块形式加以说明）。

4. 积分换元公式 ①微分同胚下零测集的基本性质。②积分换元公式的系统性结论：可划分为三个定理；清晰叙述相关内容，要求在实际应用中严格检验相关条件。③Lebesgue零测集的若干事例。④积分换元公式的系统性证明，主要技术要点为：（ⅰ）微分同胚下Jordan可测集的性质；（ⅱ）微分同胚局部可分解为简单微分同胚之复合；（ⅲ）有关零测集的处理。注：细节可暂不做要求。④高维广义积分定义及有关结论。

5. 重积分具体计算  ①积分换元公式及Fubini定理实质性地提供了重积分计算的解决方案。应用事例，包括（广义）球坐标系、（广义）柱坐标系、线性变换等基本变换形式；在建立微分同胚时，可以基于参数域至物理域或者物理域至参数域二种映照形式。②广义积分定义及其计算。

——第10周

6. 三维Euclid空间中曲面积分 ①以双参数向量值映照理解三维空间中的曲面，其上标量函数的积分（第一类曲面积分）通过参数域上相关函数的积分加以定义；对此定义给予几何解释。②曲面上向量场通量形式的积分，可以通过标量函数的积分加以处理。③曲面积分的实际计算，首先需明确曲面的向量值映照表示，然后在参数域上按相关积分进行即可；无需记忆一般教程中的公式。本课程不刻意区分第一类、第二类曲面积分。

-——第11周

7. 曲线积分、曲面积分及体积分之间的相互转化 ①Gauss--Astrogradskii公式，建立了曲面积分及体积分之间的关系。（ⅰ）其理论基础，即为一元微积分中的Newton-Leibinze公式；Gauss--Astrogradskii公式对相关向量场的正则性可有两种要求，其一为直至边界连续可微；其二为内部连续可微以及直至边界连续，此种情形需要体积意义下内部逼近。（ⅱ）按上述分析，Gauss--Astrogradskii公式可有二种形式，其一面上积分为向量值的通量；其二面上积分为标量函数数乘单位法向量的积分，后者提供了阿基米德浮力定理的直接证明。②Green公式，建立了平面上线积分同面积分之间的关系。（ⅰ）可在特定柱型体上对平面向量值应用Gauss--Astrogradskii公式，可获得二种形式的Green公式，其一线上积分为做功型，其二线上积分为通量型。（ⅱ）Green公式对平面向量场正则性的要求完全继承Gauss--Astrogradskii公式的相关要求。③Stokes公式，建立了三维空间中线积分同面积分之间的关系。理论分析上可从做功形式的线积分开始计算，作为曲面边界的三维曲线其原像为二维参数域的边界，对此可引入单参数向量值映照；由此通过复合映照形式给出三维空间中曲线的向量值映照；经曲面参数域上的Green公式，结合分块矩阵运算，可获得原向量值做功形式的线积分等于其旋度在曲面上的通量；三维向量值之旋度，为其Jacobian阵的反称化矩阵所确定的对偶向量。

8. 场论初步 基于上述三大积分公式，阐述场论的最为基本的理论。①场论的研究对象为标量场、向量场；按映照观点“场”可理解为自变量为空间位置刻画量的标量值或向量值映照；场论的主要内容即为利用微积分研究各种场及其间的关系。②标量场之梯度，向量场之散度与旋度的物理意义。③无旋场的标量势；一般向量场的标量势及向量势分解，亦即Stokes-Helmholtz分解

——第12周、第13周

Ⅲ.级数

1. 数项级数 ①数项级数，按极限观点，即为其部分和点列（序列）的极限；由此可按一维Euclid空间中点列极限的理论加以研究；特别地，按点列的Cauchy收敛原理，级数收敛等价于其部分和点列为Cauchy点列。②正项级数敛散性的各种判别法（充分性条件），可以“比较的思想”加以统领，具体内容包括“比较的形式”以及“比较的对象”。③一般数项级数的收敛性研究，主要将部分和点列的Cauchy收敛原理结合Abel和式估计。一般数项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其之间的关系。

——第14周

2. 函数项点列与函数项级数 ①函数项级数，按极限观点，即为其部分和点列（序列）的极限。②函数（项）点列的极限，可有共同定义域上点点收敛及一致收敛二种形式。对于一致收敛有相应的Cauchy收敛原理；点点收敛基础上可定义极限函数，籍此可进一步研究函数点列是否一致收敛于极限函数。③函数项级数的一致收敛辨别法（充分性条件），主要思想为将部分和点列一致收敛的Cauchy收敛原理结合Abel和式及其估计。 ④函数点列的分析性质。主要基于一致收敛性及相关分析（估计）方法；主要结论涉及极限函数的正则性，求极限同求积分或求导数的可交换性。⑤函数项级数的分析性质。基于函数点列的分析性质，即可获得函数项级数对应的分析性质。⑥函数的级数表示。（ⅰ）一般基于函数的有限增量公式，当其余项随展开项数趋于零，即得点收敛意义的数项级数表示；当数项级数表示可在一定区间上成立，即得函数在此区间的函数项级数表示，实际为多项式形式逼近。（ⅱ）结合函数项级数的分析性质可获得较复杂函数的函数项级数表示。

-——第15周

3. 幂级数 ①幂函数为特殊的函数项级数，故函数项级数的相关结论均适用于幂级数。②幂级数的收敛半径及收敛域；幂级数同其对应的“逐项求导的幂级数”以及“逐项求积的幂级数”具有相同的收敛半径，但收敛域可以互为独立。③幂级数的内闭一致收敛性，基于函数项级数一致收敛的判别法。④函数的幂级数表示。主要基于基本初等函数的幂级数表示；幂级数的分析性质（直接来源于一般函数项级数的分析性质）；幂级数内闭一致收敛性。⑤幂级数理论的应用。主要包括：函数积分的幂级数表示；利用常微分方程之解的幂级数表示等。

4. Fourier级数初步理论 ①一维实空间上周期函数的三角函数级数（Fourier级数）表示理论。②基于上述理论，获得某区间上函数的Fourier级数表示；正弦或余弦展开的相关方法。③函数内积意义下的三角函数逼近。需涉及抽象的内积空间（函数内积空间），单位正交系（包括Gram-Schmitz单位正交化过程）。本部分暂不要求理论分析细节，仅需掌握基本的结论及其应用。

5. 含参变量的积分 ①含参变量的常义积分。②含参变量函数序列的分析性质。③含参变量的广义积分。

——第16周、第17周

“高维积分学”阶段性考试及相关补充内容

谢锡麟 谨识

复旦大学 力学系

2015年9月5日