今天想与大家谈谈学习几何学的问题。我的学习，教学和科研主要与代数接触更多一些。对于几何学应该说我基本是门外汉。前些日子科学出版社与南京师范大学举办了一个几何课程的研讨会，他们也让我去参加了，并在会上做报告。今年恰逢陈省身先生诞辰百周年，陈省身数学研究所举办了纪念活动，我也回南开大学参加了这个活动。因此应该向大家汇报一下我在南京研讨会上的发言，也是我学习几何的一些体会，请大家指教。

1. 数学之源

中国的古书《易经》的第一卦是乾卦，这是古人对宇宙形成及宇宙的认识，在进一步的阐述中有这样的语句：“品物流形”。人类对品物流形的认识就是科学，数学其实也是对品物流形的认识。所以几何与（代）数是数学的源泉，也是科学之源泉。数学（主要是几何和代数）就自然地成为教育的重要内容。例如，中国的教育，大约是周朝，所教“六艺”，也就是礼（礼仪），乐（音乐），射（射箭），御（驾车），书（识字）和数（计算）。说勾股定理，也称为商高定理是属于几何学的范围大家不会反对。这个成果是第一个得到国家级奖励的科学成果。被称为周公的周朝的开国“总理”去请教商高，先给商高戴高帽子。《周髀算经》记载：

昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也……请问数安从出?”商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治，此数之所生也。”

周公曰：“大哉言数！请问用矩之道。”商高曰：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。”

这里的“勾三股四弦五”就构成直角三角形边长的关系。这是很了不起的。在周朝初期，要成方圆，就得有规矩。矩的要害在画出直角，3，4，5就解决了这个大问题，所以应该受到奖励“大哉”。

长期的观察，实践积累了一个经验：“直觉不可靠，量度不精密”。真正要认识图形的性质，总结为规律，提升为科学需要逻辑推理。逻辑推理出现在几何学中，就是欧几里德几何学的产生。这就使数学由经验转向了理性。因而几何学成了数学科学的基础，甚至说科学的基础。说几何是数学的基础是指两方面的意思：一是几何学中的知识是数学的基础知识；另一个意思是说几何学的思维是数学思维的基础。数学的思维大致分成形象思维与逻辑思维。人类首先具备的思维能力是形象思维的能力。形象思维（包括对空间关系的理解力和想象力）是与生俱来的，是更自然、更有力的思维。几何学突出地体现和表达了形象思维。而且几何的看法常常使复杂的数学结构变得简单，一目了然。

数学一个非常重要的发展是几何与代数的结合——解析几何的建立。线性代数成为一门独立的学科是相当晚的事情了。现在是大学数学教育的重要内容。不少同学感觉线性代数比解析几何与数学分析抽象得多，内容太多，不太好学。其实，大家如果把线性代数与解析几何比较一下，就会看到：

1. 线性空间中的基本运算恰好是向量的线性运算；

2. 线性代数中线性相关的概念不过是向量共线、共面的一般化；

3. 欧氏空间的内积只不过是向量内积的推广；

4. 二次型理论则是源于二次曲线，二次曲面，等等。

现代的数学从表面看是演绎的科学。演绎似乎就是逻辑的推理。例如，代数学起先是以计算和解方程为主，后来学到了逻辑推理，更是以此为主要的思维方式了。希尔伯特更把公理化引入几何中，真所谓“得意忘形”。公理化，也就是逻辑思维乃至影响到整个数学。

几何为数学不仅提供了知识（问题）的源泉，也提供了形象思维和逻辑思维的源泉。这是我的第一个体会。

2. 有容乃大

几何学能吸纳各科之长，用于自身的研究，促成几何学本身的不断发展。

几何学是研究各式各样的形体（流形）的，研究的方法也是多种多样。如直接考察图形的综合几何法或纯粹几何法，主要研究点、直线、平面和圆、球面、圆锥曲线等。大家熟悉的初等几何自不待言。不考虑点之间的距离而得比欧氏几何更广泛的仿射几何。如果连平行性也不考虑则得到由画家最早提出的射影几何。射影几何的一个基本出发点是平面上任何两条不同的直线一定交于一点。如果要在平面上表现立体的图形需要仿射几何、射影几何等。“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”很好地体现了射影几何的意境。

以（线性）代数为工具的解析几何，研究的范围有很大的扩展，如二次曲面、柱面、锥面、旋转面等。

以数学分析为工具的几何学是微分几何（积分几何）。有了分析的工具，几何学不仅研究的对象扩大了，而且研究也更加深入了。例如，曲率、挠率、测地线、第一基本形式、第二基本形式等概念比以前更加深刻。研究通常空间（三维空间）中曲线、曲面的微分几何现在称为经典的微分几何。

在以上的研究中无论是逻辑思维还是形象思维都是很重要的。这些几何学著作的一个显著特点是图文并茂。

微分几何（不仅是微分几何）由研究具体图形到研究抽象的几何对象——流形。不仅是由低维到高维形式的推广，而且有了本质的发展。例如，从讨论一点处的切向量，而改为讨论切向量场，由用导数等表示切向量，而改为用微分算子来表示。如此等等就将微分算子理论、张量理论、外代数理论等引进来了，充分体现了几何的宽大胸怀。

在这种发展中，逻辑思维当然是很重要的。形象思维还没有用呢?其实仍是大有用武之地。

例如，现代微分几何（抽象微分几何）“流形”这个最基本的概念恰好是缝衣服的抽象。将一块一块的布缝在一起就可以做成漂亮的衣服。将欧氏空间中一个一个邻域光滑地粘在一起就成了一个流形。

另一个重要的概念是“纤维丛”。在一块大地上长满了树，称为树丛；长满了稻子，称为稻丛。树、稻子都是纤维。如果把一个流形比成大地，每一点都长着一根纤维，那就是纤维丛了。如果纤维是直线（数的集合）称为“线丛”，如果纤维是流形在该点的切空间，称为“切丛”等。

顺便提一下，陈省身先生生前在他的演讲和举办的几何讨论班中不止一次说过：“微分几何的要害是微分。”

以多项式代数为工具的代数几何，主要研究由代数曲线、代数曲面推广而来的代数簇。现在有的学科分类将代数几何放在代数学中。

几何学可以用于各个学科促进它们的发展。

几何学不仅吸收各种各样的科学思想和方法，而且注意建立与它们的联系，广泛用于生活、生产和科学研究中。

初等几何、仿射几何和射影几何在机械工业中是必不可少的。以前工科专业有两门课程：画法几何和机械制图都是必修课。这两门课的公共基础就是初等几何、仿射几何和射影几何这三门几何课。建筑学更离不了射影几何。

微积分的建立就是两条途径，一是运动学：速度、加速度、动量、力、路程等；另一是几何学：曲线的切线、斜率、曲率、面积等。几何与物理本来就是亲家。

另一个经常举的例子是电磁学与几何的联系。爱因斯坦因相对论而在科学上立下了丰碑。从狭义相对论到广义相对论用了十年时间，最终能得以突破，陈省身先生说是因为他由不懂黎曼几何，到掌握了黎曼几何。几何学最早的理解是研究图形的科学，与《易经》中流形联系起来了。那么与《易经》中的“品物”有没有关系呢?物体是由分子构成，分子由原子构成，原子由质子、中子和电子构成。不仅如此，以后相继又发现，发展了基本粒子、振动着的弦、超弦等。这些学科都是在研究“品物”。弦、超弦从数学上看是特殊的流形（卡拉比-丘流形），当然与几何密切相关。

李群最早是群与微分方程的结合，但是没有得到很大的发展。将李群与理论物理最早的结合促进了原子物理学的发展。将微分几何与李群相结合得到了黎曼对称空间的分类。而且还得到有限维实单李代数和复单李代数的分类。促进将李代数的基域从实数域，复数域扩展到一般的域；将李代数的维数由有限维扩展到无限维。因而产生了模李代数，Kac-Moody代数等许多新分支。当然几何对代数学的影响不仅仅局限于李代数。几何学在科学中的巨大作用的例子一千零一夜也是说不完的。这是几何学“有容乃大”的另一方面。

几何学家在几何学的宽大胸怀也有益于培养几何学家的宽大胸怀。例如，几何大师陈省身先生不仅学问博大精深，而且也是为人处事的表率。晚年回国后为中国整个数学而不仅仅是几何学的发展作出了不可磨灭的贡献。举一个教学的例子。为自己的课争学时，似乎是人之常情。但是陈先生在指导南开大学数学试点班的教学改革时，不仅没有增加几何课的学时，而是建议大幅度增加抽象代数的学时和内容，由一个学期改为两个学期。真所谓“有容乃大”。

学习数学就要像几何一样要宽大一些，不要局限在一个小圈子中。这是我学习几何的第二个体会。

3. 几何会被“吃掉”吗?

科学技术的进步必然引起教育的变革。这种变革从基本教育也就是小学、中学就开始了。自然，数学教育也免不了。于是各种各样的改革方案都出台了。几何课内容被删减，体系被分裂。在高等教育中，解析几何、高等几何（射影几何与仿射几何）课被删除，微分几何只在部分学校讲授。因此几何课确确实实面临被其他课程“吃掉”的危险。

从长远说几何学因为其重要性和内在的魅力是不会被吃掉的。但是在一定的时期内被忽视是完全可能的。中国的科学发展史就足以说明这点，而且这里的“一定的时期”可能是几百年甚至上千年，对一个民族、一个国家这不是一个短时期了。

缺乏几何课的训练，形象思维的能力和逻辑推理的能力的培养都受到严重的削弱。特别中学学生证明能力的培养主要来自几何课。有同学就感觉做计算题还可以，做证明题（无论是几何的或是代数的）就比较困难。

因为数学是演绎的科学，逻辑推理固然有非常重要的作用。但是形象思维也是不可或缺的。形象思维虽然是与生俱来的，好的几何直观却不是天生的，需要养成、摸索、磨练。教育有重要的作用，也是需要“从娃娃抓起”的。

《道德经》中说“治大国若烹小鲜”，就是说不能瞎折腾。教育也一样不能瞎折腾，要顺其自然。这里的自然主要有两个自然，一是科学体系的自然，要符合其本身的规律，不能任意割裂。一个是人认识能力发展的自然，教育要循序渐进，循循善诱。当然顺其自然，烹小鲜不是一成不变，一成不变就不用“顺”了，不用“烹”了。希望有关人士考虑考虑这个意见。当然教师们也要在力所能及的范围内努力不让几何被“吃掉”。

同学们经过学习就会认识到几何的重要性和无穷的魅力，进而弘扬几何，弘扬数学。中国成为数学强国就会指日可待！

本文由刘四旦摘编自孟道骥著《代数之管见——漫谈代数学习》一书，根据作者在宜宾学院给本科生和研究生的报告整理而成。

ISBN号：978-7-03-047251-9

《代数之管见——漫谈代数学习》是根据作者退休后在一些学校、场合有关数学的一些讲话整理出来的，一个讲话列为一讲。前面12讲主要是与本科生和研究生的座谈：内容涉及介绍伟大的国际数学大师陈省身先生在中国改革开放之后，回到祖国促进中国数学走向大国、强国之路；如何提高学习数学的动力，学习数学的方法；如何提高数学能力；几何学的重要性；代数学的一些特性；通过函数的泰勒展开得到欧拉公式及其推广体会微分学的精要；由河图、洛书到幻方、正交拉丁方介绍一点组合数学；用连续5次报告向同学介绍李群的产生、成长和发展。这12讲的内容都在宜宾学院讲过。第13讲则是作者在宜宾学院发展高峰论坛上的发言，说明这些讲话的初衷。第5讲与第14讲、第15讲是在科学出版社主办的有关课程研讨会上的发言。第16讲、第17讲是在黑龙江省高校教学发展示范中心“大学数学基础课程”骨干教师教学技能培训班上的讲话；最后一讲则是与教师们座谈培养学生的话题。本书还收集了一些有关照片和图片与大家分享。

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