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一道逻辑热题的再思考 精选

已有 6592 次阅读 2015-4-26 23:35 |系统分类:科研笔记|关键词:逻辑,自我指涉,反馈环,悖论| 悖论, 逻辑, 自我指涉, 反馈环

   一直潜水,除了看到感兴趣的文章加些自己的评论,基本不太愿意写些东西专门讨论一些话题,不过前几天网上刚刚热炒了一道新加坡中学的数学逻辑考题,科学网应行仁老师也专门写了长篇博文做了很多延展性的讨论,恰恰触动自己长久以来的一些思考,所以写点文字求得一些共鸣。

有关这个数学逻辑题,网上太多了,为方便进一步解读,把原题翻译成比较简洁的数学题格式:

A 与 B 刚认识 C,他俩想知道她的生日,她给了十个日子让他们猜,其中真正的生日隐在里面:

5/15,5/16,5/19,

6/17,6/18,

7/14,7/16,

8/14,8/15,8/17。

C 然后分别告诉 A与B她出生的月份与日子。

1.A说:我不知道 C 的生日是哪一天,但我知道B 也不知道。

2.B说:我本来是不知道 C 的生日的,但我现在知道了。

3.A说:那么,我也知道 C 的生日啦!

求解: C 的生日是哪一天?

有关解题的思路,应老师的博文和网上的讨论足够详细,这里不做添足的分析。不得不说,这样一个逻辑题的确设计得精彩,简单的对白和出乎意料的结论,直接冲击一般人的直觉,而对于那些通过自己推理分析都到答案的人,将再次领略逻辑的风采。

然而除此之外,就没有人对推理本身产生疑问吗?相信很少会有人能够跳出这个逻辑题之外来审视这个推理过程的奇诡之处,至少从所有解题的文章和评论中我没有看到任何质疑,这才是我心中隐隐的忧虑。

通常来说,我们的常识告诉我们,在给定初始条件的情况下,逻辑推理的结果不该有推理路径的依赖,也就是说,如果从一组初始条件出发,沿不同的有限步骤的推理路径,应该获得同样一个确定性的推理结果,否则,逻辑体系的有效性就应该受到质疑,比如下面两个推理路径:

A => A1 => A2 =…=>An => B  

A => B1 => B2 =…=>Bn => not B  

这就是一个矛盾的产生,出现这样结果的原因就是命题A本身的真假具有时序性。回到上面的那个逻辑推理过程,我们观察推理的第1,3两步骤:

1.A说:我不知道 C 的生日是哪一天,但我知道B 也不知道。

3.A说:那么,我也知道 C 的生日啦!

为了突出一些,我们把这两句话矛盾着的部分写成下面句子:

1. A说:我不知道 C 的生日是哪一天。

3. A说:我知道 C 的生日是哪一天。

我们是否能够坦然接受这样的推理过程呢?有人说,这其实是因为推理1的结论并不是最终的结果,那么就带来另外一个必须回答的问题,什么是推理的最终结果?如果要得到A是否知道最终的生日,那么他的第一次回答可不可以算是最终的回答?

就这个逻辑题而言,他能够有另外的答案,但是其实那只是一个个案,如同我们不能把三个边都相等的三角形看做所有的三角形一样。再举个例子,当张益唐证明了无穷多素数对的差都小于7000万这个结论后,你不能说,等等,我承认你的证明过程和结论都是对的,但是不要着急,我顺着你的思路继续往下就可以证明其实有素数对的差大于7000万的情况存在。如果发生了这样的事情,数学大厦早就倾覆了。

细心的人会发现,其实这个逻辑的推理过程包括3个不同角色视角的不同场景,第一个就是A的推理过程,第二个是B的推理过程,第三个才是我们这些局外人的推理过程,当然A与B的掌控条件要比局外人多那么一小点,A知道月份,B知道日子,这细微的区别导致B在得到A的第一句话就完成自己的推理过程,A需要B的第二句话才能完成自己的推理过程,而局外人的我们就必须参考第三句话,才有足够的信息唯一确认完整的生日。

回到刚才谈到的发现的矛盾,我们需要思考几个问题:

A.  逻辑推理的结论是否应该具有稳定性,是否有推理路径依赖?

B.  推理是否有终极点?

C.  上述逻辑的矛盾如何产生?

D.  为什么几乎没有人质疑这样的矛盾?

回答A和B的问题应该是信仰的范畴,如果逻辑不具有稳定性,如果推理的结论循着不同的思路得到不同的结果,那么这样的逻辑就没有存在的必要。有关推理的极限问题需要谨慎对待,这涉及到实无穷与潜无穷的论争,不在我们的讨论范围,但是就这个逻辑题来说就简单多了,因为都是有限步骤的推论。我们是否在推论的过程中认同每个阶段性逻辑推论的正确性?回答也必然是肯定的。

但是我们如何解释C的合理性?简单的回答也许能够让一般人满意,比如,因为推理的过程中,条件发生了变化,B从A得到了更多的信息,这是B从初始条件中无法获得的,同理A从B的回答中获得初始条件也没有提供的信息,因此这些条件的获得是等待出来的,不是一开始就能够呈现给推理各方的的,推理的结论发生改变不足为奇,结论发生改变的原因就是因为在推理的过程中条件发生了变化。相信这样的回答足够令所有的人满意了,包括逻辑学家们。

这倒让我想起了古希腊赫拉克利特的那句经典名言:人不能两次踏入同一条河流,因为无论这条河还是这个人都已经不同了。哈哈,是不是跟上面的分析有点共鸣了?因为时间的变化,导致条件的变化,因此无论是主体还是客体都已经不再是过去的那样了,所以从前的获得的知识未必是可靠的知识。一直以来,赫拉克利特的这个哲学观点就视为不可知论不被主流所认同,从古希腊一直批驳到马克思,连同我们的政治教材都要把这个可怜的老先生从坟墓里挖出来示众一番,讽刺的是,上面的逻辑题告诉我们,在普遍的意义上,赫拉克利特是对的,甚至在逻辑学如此讲究严谨确定性的领域,也无法将赫拉克利特的幽灵驱逐出去。

为什么会发生这样的事情?为什么A或者B能够得到初始条件所没有的信息?表面上这个问题问得很傻,但实际上这不并是看起来有点傻的问题。从A的视角来分析问题,这个逻辑体系中除了给定的十个候选生日之外,还有一个具有某种不确定性的条件就是B。B属于推理系统中的一员,但是在开始的时候B的作用是无法体现出来的,他是初始条件中的黑洞。想想推理的过程,当A给出第一个推论时,如果B不能有效互动,那么game over,幸运的是B给了一个回馈信息,这就导致新的条件的发生,而如果A没有第一个推论,B也不会有进一步的回馈的,这样,A的逻辑形成了一个时序依赖的反馈环路。为什么会发生条件变化,因为逻辑推理链条上出现了反馈环,为什么会有矛盾的推理结论产生,因为逻辑推理链条上出现了反馈环,这个逻辑反馈环的设计是这个逻辑题隐藏的真正的奥秘。

依据逻辑推理构建的数学大厦,其体系结构基本呈现树形,有限的公理和推理规则,就能够不断延展成一个体系的参天大树,但是逻辑体系的设计从来就没有任何可能排除反馈环的存在,历来的数学大厦的建造者们,都出于本能直觉将可靠性建立在非反馈信息的基础之上,期待这样的构建不会出现推理结果产生路径依赖的现象,但是不幸的是没有任何手段能避免出现这样的问题,尤其当一些复杂定理的证明动辄几百页纸,其中是否会发生反馈回路的现象实在不好保证。

反馈回路的特例就是数学中的自我指涉,这是产生悖论的重要根源之一,也是形式化系统无法自洽的原因,哥德尔不完备定理所指出的形式化系统不完备的根源就是自我指涉+无限。

反馈回路的存在并不意味着错误,相反,这其中孕育着矛盾的和解。就这个逻辑体题而言,正因为反馈环的存在才有可能推理出最终正确的结果,同样博弈理论的基础就是构建在反馈环的运动变化中,同时也让我们认识到反馈环的存在导致事物变化的复杂性和难以预测性。

这个话题可以进一步延展到罗素悖论的解决,通俗的描述就是理发师悖论,下面的来自网络:

在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸

解决这个悖论有策梅洛的ZF公理系统和冯.诺依曼的NBG公理系统等等,这些系统通过扩展公理的方式将罗素命题中的自我指涉产生的矛盾,排除出集合论的讨论范畴,这是通常的数学操作,可是这并不令人满意,这有点像我不喜欢你做我的朋友,所以你不能加入我的朋友圈那样,但是我无法否认你的存在性。

循着这个逻辑题的解题思路,我们将罗素命题的解决拆解成两个步骤:

·        初始条件是理发师没有给自己刮脸,因此下一步的动作就是可以给自己刮脸

·        推理条件变化成理发师已经给自己刮脸,因此下一步的结论是理发师不能给自己刮脸

我们这次并没有放弃理发师的逻辑悖论,而是将这个命题融入一个新的体系中。幸运的是这样的解决方案其实在计算机行当中是司空见惯的小事一桩,比如,下面的几个小语句就是罗素悖论的计算机表达方式:

理发师=没给自己刮脸;

FOR(TURE)

{

  If(理发师==没给自己刮脸) THEN

  {

        理发师给自己刮脸 ;  

理发师=给自己刮脸;

     }

}

在这样一个无限循环的指令顺序中,给定了理发师可以给自己刮脸这个初始条件,那么第一个循环的操作结果就是理发师给自己刮脸,同时将理发师变成不给自己刮脸,如此之后的无限循环中,理发师将再不给自己刮脸,这样在分离的时序中,解决了罗素的理发师悖论。

顺便提一句,在逻辑中,命题的否和命题本身的地位在推理证明的角度上相同,但实际上两者的地位并不在等量平齐的中点,命题本身具有内敛性,能够将问题集中到一个具体的事物判定上,具有点的性质,而否命题不具有确定性的预见性,具有面的性质。如果反馈环并不包括否定性命题,那也就形成不了悖论。

说到D是个比较难回答的问题。我经常在看到一个问题的解答后,会不禁问自己,这个问题跟自己关注的事情是否有某种关联?是否从问题的解答过程和答案中汲取一些有益的养分?这个逻辑题就恰恰触发了我一直以来思考的逻辑反馈环和自我指涉的问题。对我而言,联想到这些问题是自然而言的,但是对于其他人我想就不尽然了。

人类认知的心理有极大的局限性,我喜欢讲一个笑话来说明这个局限性。

有一个醉汉半夜在路灯下徘徊,路过的人奇怪地问他:“你在路灯下找什么?”醉汉回答:“我在找我的KEY”,路人更奇怪了:“找钥匙为什么在路灯下?”,醉汉说:“因为这里最亮!”。

我们喜欢用自己最熟悉的领域知识去找到解决问题的KEY,所以灯影之外那些黑暗的未知领域,是我们无法关注到的,甚至我们只能看到别人的手电亮光下的那点天地。我们手里缺少一个能够四处照照的手电,在陌生的领域发现别样的KEY。当我们看到这个逻辑题的时候,我们只是在路灯下,在别人的手电光下找到一把钥匙,我们手里没有自己的手电,所以我们没有找到新钥匙是不奇怪的。遗憾的是其实我们不得不承认,我们多数人从来手里就没有拿过属于自己的手电,照亮他人从未照亮过的暗野。

我们的认知还有另外一个很大的误区不为人所关注,就是想当然地为付出辛苦而获得的收获怡然自得,不知道其中可能蕴含的风险。解答这个逻辑题是需要点拐弯的脑筋的,因此当获得了一个收获后,我们的心理自然而言的有一种舒畅感,落地的踏实感,然后就把这当做一个终点,而不是一个普普通通的过路驿站。科学研究这样的误区很少会被人注意到。不幸的是,现代科学领域的分工越来越细致,在其中每个领域中工作的人也许并不太多,这样的领域里工作的人,对自己工作努力的成果不免有一种溺爱的心理,拒绝他人的反驳,质疑反驳人的资格,无视存在的那么多的盲点而不自知,外人却又难以窥知,因此科学健康发展所必需的实验验证过程,变成了少数人的自说自话,于是可能就偏离现实越来越远。望月新一是日本的数学奇才,他的ABC猜想证明全世界只有他自己懂,他人连入门的门槛都摸不到,这就成了一个认知的极端的典型。

很多的时候不是没有问题,而是即使问题摆在我们面前,我们既缺少发现问题的眼睛,又缺少自我否定的见识。




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