数学系师范本科生教育的真谛

王永晖

先介绍点儿背景，再切入到正题。我本人是1998年山东大学博士毕业之后，就到首都师范大学数学系工作至今。

期间刚开始的时候，主要是教外系的高等数学和线性代数，后来老一辈的教师退休之后，我就开始带数学系的本科生基础课。至今已经教过五六还是六七届学生了，其中有三届学生，每届带的时间都长些，从大一开始一直教到大三，是我院前院长李庆忠老师推动和提倡的一条龙教学。

今天刚考完试，是2016级学生，大三第一学期的复变函数课程。考完了之后，我有点感想，也许记录下来，可以作为推动中国教育改革的一滴小浪花。

数学系师范本科生教育的真谛，其实就是，我们怎样去实现“实事求是”的精神，真正落实到学生身上，而不是走形式。

我们首师大数学系的本科生，按照高考成绩的排名，还是可以的。北京市每年有6万个学生高考，我系录取的学生，能够在7000名--9000名这个档次，而且逐年还有提高。

即，排名在人群中前10%--15%。不算低了。现在，社会上商业培训机构盛行，似乎让人感觉到“全民奥数”的风潮，但是，就我的本科生教学的实际情况来看呢，我们这些排名在前10%--15%的同学们，绝大多数，可以说98%，是根本不会做那些小学奥数题的，甚至是，在数学基本能力方面，有很大的欠缺。

有时候，我也感慨，这些孩子们也真是挺可怜的，从小到大，没怎么学过正儿八经的数学。

“全民奥数”是瞎吹了。我们要看真实的数据，真正会做入门级奥数的高中生，倒底有多少比例？而真正又会做高阶水平奥数题的，又在多少比例？

更大的问题是在我们的师范生培养方面。有同事介绍，我系培养出来的同学，占北京市中小学数学教师的一半，但是问题很严重的是，这些学生，进来的时候，中学数学级别的能力就不强，这个不是用高考分数来判断，而是用大学数学系所需要的初等数学能力来判断的，我有一张自测题，能把里面的题做出5道以上的本系大一新生，人数应该是极少。

大一新生初等数学基本测验 

其实，里面的大多数题，都很基本，但因为高考不考，学生也就不会做。

学生们学上四年之后，实际上是三年，大四往往就荒废掉了，真正具有数学能力的同学很少，我今年带的就是大三的学生，大学数学知识也继续没有学好，考试卷子不敢出难了，但连基本的极限计算题，也仍然是有很多同学不会。

我系每届大约有180个学生，其中学得最好的当然是得到直博名额去做数学研究了，剩下来的，可能上一下硕士，会有不少接着去从事中小学教师工作。其中，真正具有优秀教师潜质，即具有相当的数学思考能力，同时又真地去从事中小学教师工作的，我们每一届学生里面，即使乐观估计，可能就两三个。

所以，北京市中小学校长们，会真地非常看重我们这些教授们的推荐信，因为这两三个学生，只有我们能挑出来。

每届只有两三个啊，极为稀缺。

其实呢，不用说以前，就是我这一学期带的班上的学生，总共46名同学，其中认真愿意学习的，挺努力的，我刚才掰了手指头，数了数，也有10人，不少了，皆是可造之才。

但为什么，到毕业的时候，却往往都没学成，学好呢？

我想说的是，我们的师范生教育，要真正做到实事求是，从实际出发，而不是从行政的官僚规则上对标。

我们，首先要照顾到当前的中国实际，中国的教师行业，目前尚不是第一流人才愿意去的岗位，就是我教过的本科生，但凡是教好了，他们考研或保研时，想的都是去读数学研究工作，不会去读师范。

为什么呢？我们本文不需要管为什么，只需要尊重这个事实就行了。

另一个实际，目前的大学本科，还不可能像美国大学那样采取真正的”宽进严出“，如果对标美国的同级别公立大学，本科生四年毕业率只在50%，六年毕业率会稍高一些，但也不会超过80%，但在中国实际情况下，我们还做不了。

是不忍心做呢？中国人更柔和一些呢？还是一些其他什么原因，仍然不是本文要讨论的内容。我们仍然是，只需要尊重这个事实就行了。我们以这些事实为讨论的出发点，看看我们还能做什么，对得起我们的良心，也促进中国的进步。

前人栽树，后人乘凉，一个国家的教师行业，不要自己搬砖头砸自己的脚。我系教出来的这些师范生，当老师之后，会去教我们的后代。

综合以上两个出发点，也就是说，我们的本科生，学习的时候，不会太用功，他们除了每天学习的时间，还是要有点娱乐的时间，社会性活动的时间。

那么，我们数学系师范生本科生教育，应该怎么做呢？

我曾经看过美国”可汗学院“的数学教学理念，他的创始人当时的想法是，如果一个学生，在数学知识上，这一部分内容如果没有达到100分，就不应该往下学，而是应该先达到了，然后，再接着往下学下一部分的内容。

我是很赞同其中的思想的，原因是，数学是一门叠加性学科。这一点，也在李大潜院士的大一新生教育的文章中，得到了强调。

大一新生入学教育资料：复旦大学数学系李大潜院士致辞数学系新生

当然，这个一百分，应该是一个虚拟词，就是指，对于这部分数学内容的最基本的那些题，学生应该是达到接近一百分的，比如98分以上。技巧性比较强的，则不可能人人都是高分。那么，什么叫最基本，双基，基本知识基本能力，可以再经过理论的，和实践的探讨，我们在本文只是先引进这个想法，然后接着往下说。

那么，我们在大学本科生教育的时候，也能不能够这样实事求是地去做呢？总比到了大三，大范围的同学连简单的求极限都不会，数学知识和数学能力都呈现空白状态要强吧。

师范生本科教育，如果我们教会了学生们，求真的严谨精神，哪怕他们学的东西不多，但都是真东西，岂不是比什么都强么。

学生们学到目前这种程度，他们自己肯定也要承担相当的责任，但我们也要知道，他们也就是普通人，不是伟人，他们正因为能力上相对比较普通，所以将来才会选择去从事中小学教师工作。

不过，我在想，我们的制度，我们的教学制度，制约我们教学制度的行政体系，是不是也应该负有责任，甚至是主要的责任呢？

就像我这个班，也有10个人，是挺用功的在学习的，虽然学习效果目前还不够好，但是，最可贵的是，这些学生愿意努力！

我们的制度，是不是可以考虑，从他们大一开始的时候，就给他们提供最佳的成长曲线呢？若是，他们现在的表现，是不是肯定会好得非常多呢？

我知道，凡事都不能从理想状态出发，本文也并不致力于解决实际问题，但是一点点心意，也许将来可以汇聚入江河，至少，这些学生的努力认真的态度，还是真实的。

我们的大学体制，因为不相信这些学生会认真学习，所以在制度上，给大一新生开的课比较多，反正想的是，如果不开课的话，你们这些大一新生不都去玩去了么。

对照一下，我了解到，牛津和剑桥大学的本科生教学，真正的课堂时间很少，每周课时平均下来，每天只有两小时。我去过的Stanford大学，数学系的课程设置也不多，四年平均下来每周不超过3门，每门课时为三小时/周。

这是因为，数学系真的有它的特点，至少是数学系吧。我们需要非常高的课下工作与课堂时间比，至少是4:1，这还是对那些比较聪明，有一定的数学天赋的学生。

如果是我这学期班上的那10个认真的学生，必然是，要投入的课下工作时间更高才行。说实在的，能考到首师大数学系的学生，具有两个特点，至少其中之一： 要么是挺聪明但不用功，要么是不太聪明但挺用功。

这种聪明，也不一定是指单纯的智商，也包括数学的学习习惯和思路方法，数学界称为数学成熟度。

既用功又很聪明的学生，就还轮不到首师大数学系这样的学校。至少是我所教授的学生中间是这样的，教书20年来，我遇到过几个不错的本科生，甚至其中有一个是级别非常高的数学天才，他们在人生阶段的某一时刻，甚至就是大学阶段的某一个学期，不那么用功荒废过时间，虽然后来，他们也都去名校直博了。

既不用功又不聪明的学生，一般也考不上首师大这一层次的学校了，毕竟我们的高考分数线，比重点线还要高上50分。

那么，我们能不能从实事求是出发，把这批学生真的教好呢？让那些有志于中小学数学教师的学生，不浪费这四年时光，真正地提高自己的数学能力呢？

很简单，就是要把课下工作与课堂时间比，提高，或者变相地提高，比如多开一些本科生研讲课，自我推进类的课时多一些。

行政部门会担心的是，像首师大这样的本科生，开的课少了，学生不学怎么办，毕竟不是牛津剑桥那样的学生，何况就是牛津剑桥，就是北大清华，也仍然是有上了大学不好好学的同学，比例可能相对更低而已。

我们不能因噎废食，还是一切要从实际出发。

既然是强调本科生教育，那么，能不能多配些助教呢，让本科生答疑，变成置疑，即，本科生答疑研讲成为一个制度性的专有设置，而不是光靠老师自愿付出。

我们首师大，好像是前几年出了个什么事，那次事之后，我们的本科生教育资源就锐减，这两方面不知道有没有联系，我人微言轻，不敢定论。

我们不看你领导是怎么瞎吹的，我们看的是，你领导是真正怎么做的，资源到位了没有？真正听取了我们这些一线教学的教授们的意见没有。

首师大数学系的学生们，每年的考研率大概在30%左右，谁来教都一样，每届都差不多是这个数值。这说明了什么，说明，真正愿意学的学生，也就这30%，只要愿意学了，肯定就能考上，也就是这30%。

领导的思路，至少曾经是吧，怎样提高这个考研率，弄了这么几年，其实就跟酿葡萄酒的年份一样，有的年头稍微好点，有好几个去名校如北大数学系的，如出国直博的（意味着有国外大学奖学金，不用自家父母掏钱了），有的年头稍微差点，没有去北大数学系的。但考研比率大致其实都差不多，说明不是人力之可为，因为真正爱学的学生，就那么多。

我们老师真正可以做的是，人力之所以可为的是，提高这30%学生的水平，虽然说都爱学，都能考上研究生，但如果从大一就开始认真学，最终的水平，还是不一样的。

这方面，我是有经验的。我教的一条龙学生，2011级最好，出现了一批学得好的同学，不是平常那种一两个，而是六七个人形成小小讨论班去冲击。2015级让我感觉失望一些，关键就是，虽然有个别学生，智商极高，比2011级那几个都要高，但就他一个，很孤独，不成事。首师大数学系这样的招生情况，将来如果届届都能像2011级一样，就会越做越好。

即使如此，2015级仍然有让我惊讶之处，有几位女同学，数学天赋不算好，但是比较努力，愿意听我的建议，就真地把笔记翻来复过去琢磨，琢磨熟了，每个定理能够自己不看书写出来，她们的考研结果也很不错。一个女生，去了北航，一个去了北师大，让我很惊讶了，因为我很了解她们的起点和资质，是一个什么样的水平。这一届没有同学能去最顶级的，因为毕竟资质在数学中还是很重要的，付出努力，也只能是得到一定的进步，不可能发生那么大的质变。

其实，这样也就可以了。如果我们的师范生，30%的能做到这种程度，风气也就会很好，也就有带动作用。这个世界上，不可能人人都努力的，也不可能人人都优秀的，这是生物界的定律。

数学就像一个金字塔，中国的中小学数学教师，按照我的估算，总人数应该在两百多万，是这个金字塔的塔身，塔基应该是普通家长。中小学教师，承前启后，这个人群的数学水平提高了，那么，我们国家的数学人才金字塔的建设，就了不得了。

关键，还是，我们能不能一切从实际出发，至少，关键的一些节点上，从实际出发。真正让学生们，按照数学的学习规律去学，即，真正学懂了，真正像可汗学院的教学理念那样，把这一部分学懂了，基本题能达98分以上了，然后再去学下一部分。

我们要教会这些师范生的，不是往前赶，去将来做数学研究，他们既然没有这个能力，那么，能不能就老老实实地学，把数学主干部分，一点一点，都学懂了。

所以，我实际上是很抵触教学计划的，每一周要教什么，这一学期要教到哪里，要弄个计划，至少是形式上的，可是，这有用么。

更麻烦的是，即使是愿意付出努力的学生，课程开的太多，课余可用配比自习时间太少，他们就不可能把那些数学系大一主干课程真正学懂。

要说，我也算是一个负责任的老师了吧。你看，我们这学期是怎么做的，我找资源，给我的复变课程配置了两个助教，从而每周有两次本科生答疑研讲课，期中之后，我发现情况不妙，本来课程是下午1:30上的，我改成1:20开始一个20分钟小测验，学生自愿早来，两道小题，难度是很基本的题目，比期末考试题还要更简单，甚至大多题目就是复习大一数学分析的基础知识，为了就是督促学生们平时都动起来，真正把基础搞懂。

现在卷子判完，成绩很差，全班没有一个上90的，其实出的题目都很简单，完全配不上我们“高大上”的教材，就是害怕不及格率太高不符合中国国情。

这不能算是我这个老师的责任了吧，我课堂讲授的时候，也是生怕学生听不懂，互动性挺强，不断注意他们的眼神，允许他们随时打断提问，学生听课的表情，还是让我挺满意的，就是考试成绩哎，有点儿那么差强人意了。

即使那努力的10个同学，成绩也不算好，这个可以理解，毕竟基础比较差，大一大二的数学分析都忘了。我们说要培养数学思维能力，但如果连这么基础的数学知识，都成绩很低，连基本的定义和定理，都记不住，就只是空谈了。

不过，我还是看好班上这几位同学的，她们在努力的过程中，刚开始进步的速度肯定是会慢些，只要坚持，只要真正做到严谨的学术标准，就会达到一个比较理想的程度。

她们也遗憾，如果是从大一开始就这样学，不就好了。

其实，这不是个人的问题，制度方面，确实存在问题的。我们要考虑到首师大学生的特色，他们既然不是最优秀的那批人，而且将来也只是致力于做一个普通人，更高理想一点儿的，致力于做一个优秀的中小学教师。

从这个角度来说，我们数学系的师范生，也不可能光学数学，他们的社交活动，对他们未来的成长也是有利的，可以锻炼相关未来的领导能力，毕竟去中小学，不是做学术，比较好的发展路线是，不仅成为名师，也成为年级组长--教学主任--副校长--校长--名校校长，我们首师大数学系应该有这样的校友，越多越好。

那么，我们能不能从他们的实际能力，和实际可能的投入出发，让他们把数学的每一步真正学懂了呢？

如果真正做到了，至少这种严谨的数学精神，他们会传达给他们未来的学生们，若如此，我国的数学金字塔，想必在那时，会熠熠生辉。

附注1. 我并不反对师范生去学习高阶的数学课程知识，我恰恰非常希望，首师大本科生教学体系中，能够把高阶课程真正开起来，而不是到了高年级，高阶课程没有人选修开不起来。

       我强调的是，凡事要量力而行，从实际出发。如果师范生现在还啃不下来高阶知识，我们可以通过国家体制，制造一个教师资格水平考试体系，其中存在着高阶课程的选项，老师们可以终生学习，不急在一时。当然，只要设置出来了，在校生们自然也就更有动力，在本科阶段就尽量去往前赶，把那些高阶课程尽量在学生阶段就拿下来，政治制度的设计，可以是非常有威力的。

       据有学者研究，我们人类之所以进入近代工业革命时代，产生出日新月异的加速度发展面貌，跟国家力量的形成及其注意力放到科技进步方面，有相当大的关系。

       光有市场经济，缺了国家体制，还真不行。

附注2.  有一种说法，一个国家，是靠它水平最高的那前5%的人群带领的。而我们首师大的学生，其实已经在10%-15%这个阶层了，而且他们将来会去做中小学老师，会去影响那些前5%，甚至前1%、万分之一的未来顶尖领袖级人才。

           由我这二十年的教学情况来看，我有相当大的理由，去怀疑我们国家那最前面5%的人群的数学水平，是不够用的。也就是说，虽然我们国家很大，人口很多，奥数热潮也很汹涌，但是，我们具有数学语言，数学工具的使用能力的人才，很可能仍然是非常不够用的。

           学好数学，绝对可以继续是未来的稀缺性人才资源，所以说，不是学不学数学的问题，而是怎样学好数学的问题。

           什么样的孩子适合进行高强度奥数训练？