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我给博士生上数学史课 精选

已有 12453 次阅读 2013-3-14 13:03 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦|关键词:的,门,office,博士生,本科生| 博士生, 本科生, office

这学期的课有点乱,前几周从周二一直到周五都有课,好几门课都是若干老师分担着上,每人讲一部分,这样的课我一人就分别担任了本科、硕士、博士各一门,不乱才怪。这不,前两周的周四上午给硕士生共上了八节课,以为这周还得上,结果搞错了。应该是这周与下周星期四的下午给本科生上,好在记成了上午,不至于出教学事故。

博士生的课程名称叫《数学前沿问题》,可惜只给了我三节课的时间,仅仅三节课面对不同专业的学生讲清楚前沿无异于天方夜谭,与其让学生听天书,不如现实一点,来个通俗点的讲座,尽可能赶到前沿。可惜的是当我兴味正浓地讲到实分析时,时间已经到了,我只好告诉学生:“我只带你们到门口转了转,还没来得及进去,以后有机会再说吧。”

按方法论分类,数学可分成罗素的逻辑主义、布劳威尔的直觉主义与希尔伯特的形式主义,我简单介绍了三大主义。按内容分,数学可以分为三大类:代数、几何、分析,我简单列举了这三大类所涵盖的分支。我按历史发展的主线将数学分成了三个阶段。第一阶段:古典数学,以欧氏几何为代表;第二阶段:近代数学,以微积分为里程碑;第三阶段:现代数学,以集合论为标志。其中古典数学主要倡导形式逻辑,微积分则倡导辩证逻辑,现代数学倡导的则是形式主义。当然,这是自己的主观认识,未见得准确。

相信所有人对代数与几何很清楚,但不是所有人都知道什么叫分析。实际上,分析学的产生远在代数与几何之后,代数与几何有着数千年的历史,欧几里德几何原本在公元前300年就出现了,而分析学只有几百年的历史。代数、几何、分析不是相互孤立的,勾股定理便是几何与代数的完美结合。那么什么叫分析学?简单地说,以微积方法为主要研究手段的数学理论就叫分析学,其典型的特征就是无穷小分析。分析学开始于微积分,早期以科学计算为主,所以英文叫“Calculus”。微积分对数学与自然科学的影响是深远的,其思想方法已经渗透到数学、自然科学乃至社会科学的每个角落。近代分析包括《复变函数》、《实变函数》、《微分方程》、《调和分析》等,我简单介绍了这些分支的起源与来龙去脉,特别是勒必格积分的出现给数学带来了又一次深刻的影响。遗憾的是,当我把勒必格积分的基本思想介绍完,还没来得及进入现代数学,已经到下课时间了。

课堂上花点时间闲侃是我的习惯,我们很多人读书比较呆板,缺少联想与直觉,看不到不同学科之间在思想或方法上的相通之处,也看不到理论与现实的内在关系,这与老师的教学不无关系。很多貌似无关的学科其实有着深刻的内在关联,例如,线性代数与解析几何之间就有着密切关系。我曾经在介绍《泛函分析》时讲到了博弈论,博弈论的核心概念“均衡点”其实就是泛函分析里讲的不动点,事实上,它就是用不动点定理来证明的。我再一次采用了发散式思维,在另一个班上向同学介绍了博弈论是如何来的,讲到了Von.Neumann向学生介绍博弈论时用到的“决斗”例子。指出为什么博弈论几乎成了现代宏观与微观经济学的核心理论?我调侃式地将博弈论用到家庭关系中,关于这个问题我曾经专门写了一篇博文《数学无所不在--男人偷懒的最高境界》,博文链接:

http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-40151.html

这里就不多说了。

有时候形象化的类比既可以帮助学生理解艰深的理论,又可以活跃气氛,可谓一举两得,但要注意两个问题:1、把握好度,不能让课堂成为不着边际的胡言乱语;2、现实中的例子有时与严格的数学理论不完全一致,虽能在一定程度上解释理论,但要同时注意它们之间的本质差别,以免对数学概念与理论产生误解。



http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-670246.html

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