这学期的课有点乱，前几周从周二一直到周五都有课，好几门课都是若干老师分担着上，每人讲一部分，这样的课我一人就分别担任了本科、硕士、博士各一门，不乱才怪。这不，前两周的周四上午给硕士生共上了八节课，以为这周还得上，结果搞错了。应该是这周与下周星期四的下午给本科生上，好在记成了上午，不至于出教学事故。

博士生的课程名称叫《数学前沿问题》，可惜只给了我三节课的时间，仅仅三节课面对不同专业的学生讲清楚前沿无异于天方夜谭，与其让学生听天书，不如现实一点，来个通俗点的讲座，尽可能赶到前沿。可惜的是当我兴味正浓地讲到实分析时，时间已经到了，我只好告诉学生：“我只带你们到门口转了转，还没来得及进去，以后有机会再说吧。”

按方法论分类，数学可分成罗素的逻辑主义、布劳威尔的直觉主义与希尔伯特的形式主义，我简单介绍了三大主义。按内容分，数学可以分为三大类：代数、几何、分析，我简单列举了这三大类所涵盖的分支。我按历史发展的主线将数学分成了三个阶段。第一阶段：古典数学，以欧氏几何为代表；第二阶段：近代数学，以微积分为里程碑；第三阶段：现代数学，以集合论为标志。其中古典数学主要倡导形式逻辑，微积分则倡导辩证逻辑，现代数学倡导的则是形式主义。当然，这是自己的主观认识，未见得准确。

相信所有人对代数与几何很清楚，但不是所有人都知道什么叫分析。实际上，分析学的产生远在代数与几何之后，代数与几何有着数千年的历史，欧几里德几何原本在公元前300年就出现了，而分析学只有几百年的历史。代数、几何、分析不是相互孤立的，勾股定理便是几何与代数的完美结合。那么什么叫分析学？简单地说，以微积方法为主要研究手段的数学理论就叫分析学，其典型的特征就是无穷小分析。分析学开始于微积分，早期以科学计算为主，所以英文叫“Calculus”。微积分对数学与自然科学的影响是深远的，其思想方法已经渗透到数学、自然科学乃至社会科学的每个角落。近代分析包括《复变函数》、《实变函数》、《微分方程》、《调和分析》等，我简单介绍了这些分支的起源与来龙去脉，特别是勒必格积分的出现给数学带来了又一次深刻的影响。遗憾的是，当我把勒必格积分的基本思想介绍完，还没来得及进入现代数学，已经到下课时间了。

课堂上花点时间闲侃是我的习惯，我们很多人读书比较呆板，缺少联想与直觉，看不到不同学科之间在思想或方法上的相通之处，也看不到理论与现实的内在关系，这与老师的教学不无关系。很多貌似无关的学科其实有着深刻的内在关联，例如，线性代数与解析几何之间就有着密切关系。我曾经在介绍《泛函分析》时讲到了博弈论，博弈论的核心概念“均衡点”其实就是泛函分析里讲的不动点，事实上，它就是用不动点定理来证明的。我再一次采用了发散式思维，在另一个班上向同学介绍了博弈论是如何来的，讲到了Von.Neumann向学生介绍博弈论时用到的“决斗”例子。指出为什么博弈论几乎成了现代宏观与微观经济学的核心理论？我调侃式地将博弈论用到家庭关系中，关于这个问题我曾经专门写了一篇博文《数学无所不在--男人偷懒的最高境界》，博文链接：

（http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-40151.html）

这里就不多说了。

有时候形象化的类比既可以帮助学生理解艰深的理论，又可以活跃气氛，可谓一举两得，但要注意两个问题：1、把握好度，不能让课堂成为不着边际的胡言乱语；2、现实中的例子有时与严格的数学理论不完全一致，虽能在一定程度上解释理论，但要同时注意它们之间的本质差别，以免对数学概念与理论产生误解。