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三言两语话学习
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前些日子，对部份新入学的本科生和几个研究生谈到学习方法的事情。希望大家能注意方法论的学习，例如“数学方法论”。
数学方法论是自然哲学的一个重要组成部分，学习数学方法论对培养正确的数学思维方式有重要的作用。对数学方法论的学习有两种方式．一种是通过学习数学课程的具体内容来体会其中的方法论。这是一种由隐性的知识经潜移默化到显现的过程，需要一定的知识挖掘、归纳、总结的能力，是一种悟性。另一种是直接通过有关数学方法论的书籍来学习，这类书大多分为数学史、数学科普读物和数学学习方法等种类。
下面讲几点学习中的个见与体会。
1、阅读能力的培养
有人讲，大学培养阅读能力，研究生培养导师指导下的科研能力，博士生培养独立的科研能力，这是有一定的道理的。阅读能力是基本的学习能力，也是知识自我更新的基础，没有阅读能力就没有知识更新能力，也没有科研能力，有如苏轼云：“孔子圣人，其学必始于观书。”
所谓“观”就是“阅”，也是察看，而“读”是念诵，故“阅读”就是无声的察看与有声的念诵。“阅”又有汇合之意，如晋.陆机《叹逝赋》：“川阅水以成川。”故“阅读”就是察看念诵而汇之；然“汇”仅有聚集合并之意，而阅读却重在欣赏、理解、思索、领悟，如韩愈言“手披目视，口咏其言，心惟其义”。所以《论语.为政》又言：“学而不思则罔，思而不学则殆。”
在数学、物理等课程的阅读中，理解的一个要点是概念．不仅要懂得概念的含义(内涵)，而且要举出满足概念定义的实例(外延)、对象和反例．举例是重要的学习方法。尤其是反例，不仅可加深对概念的理解，而且可能成为新的研究对象。记忆是阅读的基础，阅读是理解的基础，理解可形成记忆的网络(联想)，网络上的联想有如吸引子，由一初始激发而收敛于吸引子，即是联想所及的对象。记忆是有选择性的，其过程可以是反复的，是故“温故而知新”。
古人云：“读书之法，莫贵于循序而致精。”中学学习的特点一是顺序型，讲究循序渐进；另一是精讲多练。而大学的阅读学习不会是顺序型的，而是立体的，就像互联网、电子期刊网一样，通过关键字搜索而获得相关知识。要学会使用参考书、参考文献进行分析、归纳、总结。要学会在知识缺省状态下的学习，知识缺省状态下的推理。
2、计算机工具的使用
欲要工其事，必先利其器。现代数学机械化的工具是以计算机为平台的仿真系统，如MATLAB、Mathmatic等，这是一种基于专用语言的程序编写与编译系统，可进行数值计算、符号计算和作图。掌握程序设计，要经过四个环节的学习与训练，即语言(语法)、算法、数据结构与程序设计实训。这里，掌握程序的结构是重要的。一般而言，软件设计分为软件架构与功能实现。
程序设计，同样有方法问题。在小型程序设计上，采用的方法主要是面向过程、面向目标、面向对象的程序设计方法。面向过程的方法，是一种描述计算处理过程的结构化程序设计方法，往往可用流程图来表示，如一元二次方程的求根程序(流程图略)。这种方法也是在一定数据结构的基础上进行算法描述与实现。面向目标的方法，是在前置谓词为真的条件下经过程序体的作用后，后置谓词也为真，即以目标的逻辑正确性为程序设计的目标。面向对象的方法，是引入抽象数据类型，在C++语言中是“类”类型，强调类的重用。在程序设计方法学的发展过程中，经过算法与数据分离后，又通过“类”类型将算法与数据封装在一个不可内视的模块中，人们通过其界面而使用它。抽象数据类型是程序设计方法学发展的一个里程碑。这三种程序设计方法是实现软件功能的基本方法。
在软件架构设计中，对于中小型软件可用面向对象的程序设计方法，有的问题是基于数据库的客户机/服务器结构。至于大型程序设计，则要用到中间件或大型软件体系结构的理论与技术，而在风格上又有软件工程与程序设计方法学的分野。
提高计算机使用能力的办法，就是自己动手。
3、寻找语言的感觉
任何一种语言都有三个基本的要素，即语法、语义和语用．
和自然语言(汉语、英语)一样，数学与计算机程序设计语言更是一种描述对象的语言．这种语言是半形式化的，也是体现逻辑思维的。所谓“半形式化”，是相对于形式语言而讲的。它用字符串表示语句，具有抽象性，但对其仍给出解释，或赋予语义。同一个字符的语义在不同的地方可以是不同的，在使用时不要混淆。
自然语言有二义性、模糊性和不确定性。有一个故事，讲一家主人请客．时间快到了，有的客人还没有来，他就说“该来的还不来”．客人一听，有的想大概我是不该来的，于是就走了。主人一看急了，随口又说“不该走的又走了”．剩下的客人一听，原来我们才是该走的，就全起身走了。其实主人的原意并不是这样。这就是理解上、语义上的二义性。自然语言的这些性质使语言的表现力丰富多彩，也使其更具有想象的空间和创造的能力。
自然语言有很好的概括、抽象能力，但其二义性影响了它对问题的表示和交流。数学与程序设计语言是消除二义性的，它可以描述模糊性和随机性，但它本身不是模糊不清、随机不定的。可是，它们都极大地限制了语用，限制了语言的使用环境。
下面图1给出了语言使用的示例。人们使用自然语言分析、认识所讨论的事物(客体)，提出计算机程序所应完成的功能，而使用程序设计语言制作计算机程序。从对客体功能需求的描述到软件的制作，是一个模型抽象、表示与组织的过程，这种形式化的表示是用数学语言、算法语言来实现的。可见，一个具体问题的解决是多种语言的综合使用。
4、思维方式的转变
语言文字是思维的承载体，语言的使用本质上是体现一种思维方式．知识的传承过程同时也是在特定领域表述某种思维方式。
在中学数学的学习中，其思维方式是以欧几里得几何为代表的亚里士多得逻辑，其特点是三段论式的推理方式。在命题逻辑中，对这一方式有描述。而在高等数学中，引入高中数学没有出现过的“全称量词”和“特称量词”，这属于谓词演算的范畴。因而，从高中数学到高等数学，思维方式将从命题逻辑转换到谓词逻辑。在高中代数中，采用数学机械化的方法讨论问题，这是在算法的基础上，对有界数进行有限步的运算，其特征是静态的而不是无穷逼近的。而在高等数学中，讨论的对象可以是在无界数集上，其过程可以是无穷的，如术语“趋向于无穷大”。如果承认实数集含有“无穷大”，是实无穷的观点，而在极限的描述中，又采用了“e—d语言”，即谓词逻辑的表述方法，反映的是无穷逼近的潜无穷的观点。
命题演算与谓词演算属于经典逻辑的范畴。经典逻辑是一种单调逻辑，即在前提集中增加一条前提，其结论集不会减少(即新结论集不会是原结论集的子集)。经典逻辑不能提供新的知识，其结论已经包含在命题公式或谓词公式中。然而，在学习中，在根据常识的推理中，往往是通过非单调逻辑来获得新知识。例如，按常识来讲，“鸟会飞”，而“鸵鸟是鸟”，故“鸵鸟会飞”。但在现实中，“鸵鸟不会飞”，说明应当修改前提条件“鸟会飞”。非单调逻辑是一种非经典逻辑。
在科研中，更多的是使用非经典逻辑的方法。
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