本科生科研指南（47）：无量纲数之欧拉数

张宇宁

华北电力大学（北京）

各类管道流动在我们的日常生活中扮演着重要的角色。当自来水流过管道时，因阻力的存在会产生一定的能量损失，从而使得流体的能量在流动过程中逐步降低。因此，在市政工程的建设中，需要合理地布置若干个给流体增加能量的泵站，从而使自来水可以方便地供给到千家万户。当上述泵站发生故障时，生活的经验告诉我们自来水龙头打开后将没有水流出或者只有少量的水流出，这是因为水的能量不足以克服阻力以及因楼层高度带来的重力，从而导致自来水的供应问题。当上述现象发生时，我们经常听到工程师提及水压不够等等，这又是怎么一回事呢？本期，我们围绕管道流动损失计算的发展历史简要介绍欧拉数以及欧拉的若干重要科学贡献。

图一 欧拉画像

引自维基百科：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonhard_Euler.jpg

加斯帕尔·普罗尼（Gaspard de Prony，1755-1839）在19世纪时已认识到管道内流体因阻力所造成的损失的影响因素，并得到了一个经验公式。在该经验公式中，管道的损失与管道的长度、直径以及管道内部流体的流速有关。后续，亨利·达西（Henry Philibert Gaspard Darcy，1803-1858）对该公式进行了重要的改进，并引入了一个系数进行表述，被称之为达西损失系数。1845年，上述公式后续又经过朱利尔斯·维斯巴赫（Julius Weisbach，1806-1871）进一步完善了相关细节。在该公式中，达西损失系数又称为沿程损失系数，其数值与多个变量有关，包括流体流动的雷诺数、管道的粗糙度等等。在达西公式发表后的一段时间里，因为缺少损失系数数据，达西公式相比普罗尼公式只是在一些具体的例子上略胜一筹，优势并未充分地发挥出来。后来，很多更为精细但使用区间较窄的公式也陆续被发现并在一定范围内被应用，比如哈森-威廉姆公式（Hazen–Williams equation）以及曼宁公式（Manning equation）。后续，随着实验技术的兴起，尼古拉兹和莫迪先后详细地测量了各类管道的达西损失系数，使得达西-维斯巴赫公式的优势得以充分发挥，并形成了今天在流体力学教科书中广泛引用的管道阻力计算公式。

下面我们结合管道流动介绍一下欧拉数的物理意义及定义。当有损失存在时，管道内部流体的能量损失会随着流动的行进不断地累积，从而导致流体的压力逐步下降。在工程上，经常用水头损失来表述上述能量损失，其定义式为管道入口与出口间压力的差值除以流体的密度再除以重力加速度。按照达西-维斯巴赫公式，上述水头损失等于以下三项的乘积：达西损失系数、管道长度除以管道的直径、管道内流体的平均流速除以2再除以重力加速度。如果将上述公式无量纲化，我们便可以得到欧拉数，其定义式为入口与出口间的压力差除以流体的密度再除以流体平均流速的平方。欧拉数反映了压差力与惯性力的比值。

这里，我们有必要介绍一下流体力学及数学、物理等各个学科中经常出现的科学家欧拉。我们中学时经常用到的自然底数（数值约为2.718281828）又被称为欧拉数。众所众知，在复变函数中，欧拉公式是非常重要的一个公式，它极致地体现了数学之美！因为欧拉的科学贡献实在太多，如果全部用欧拉的名字命名会导致大量的误解和使用不便。为了解决上述问题，科学界有一个约定俗称的规定，一般以欧拉之后研究该问题取得显著进展的第一位学者进行该公式的命名。由此可见，欧拉强大的学术影响力和贡献。例如，流体力学中描述流体运动通常有两种方法，一个是欧拉表述，采取从固定的区域观察流体的运动，另一个被称为拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）表述，采取跟随流体质点运动的视角描述流动现象。但实际上，正如朗道和栗弗席兹合著的理论物理学教程第六卷《流体动力学》（第五版）中译本第6页的脚注2中所说，利用拉格朗日变量描述的流体运动学方程实际上早期也是由欧拉得到的。

在本期中，结合流体力学常用概念，笔者简要介绍几个以欧拉名字命名的重要方程和概念。

1.        流体平衡的欧拉微分方程。该方程描述了流体处于静止状态下的压强梯度和流体所受到的力之间需要满足的微分关系式。通过该方程可以得到帕斯卡原理以及流体静压强公式等等。

2.        欧拉动力学微分方程。该方程描述了理想流体（即粘度为0的流体，又被称为无粘流体）的受力、压力梯度与流体的运动加速度之间的微分关系式。

3.    欧拉积分。当理想正压流体（满足流体的压力只是流体密度函数的流体）在有势质量力（例如，重力）作用下做无旋定常流动时，该方程展示了流体的质量力位势能、压强势能、动能之和在全流场中保持不变，并且可以互相进行转换。