联系最近的思考以及最近看到的两篇博文的启发，感觉标题的立意貌似成立。

先贴出给我启发的博文：

张天蓉：相对论与黎曼几何-4-内蕴几何，http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221

王飞跃：关于PI的回忆: 有理与无理和有限与无限http://blog.sciencenet.cn/blog-2374-816667.html

我刚在王老师的博客上提出了“点的全向流形几何”的猜想。在这个猜想下继续发散思考，突然意识到前几天就想到了的“空间范”的概念，似乎有模样了。

下面是在王老师博客上了留言的整理，试图给出一个对圆周率PAI的一种理解。

本文联想：刚刚看过张天蓉关于内蕴几何的科普。直线和圆周的共同点是:都没有内蕴几何。也就是说：直线虫和圆周虫的世界，在它们自己看起来是完全一致的。

从我自己对“流形”的初浅理解来说，如果“流形”存在两种“流”的方式，那么，直线和圆周分别是“点”的两种“流法”流出来的形。一种，是“平面单向流形”，一种是“平面全向流形”（类似水波扩散）。推而广之，球面则是点的三维“全向流形”。

不知道“全向流形”的说法是否在数学上是否是现有概念，自己觉得，如果建立此概念，就简单地把点，直线，圆，球面，归结为了“点”，“流”与“方向”的三元系统。如果忽略其中的“方向”。直线和圆周，球面的性质居然是相同的“流”！

也就是说，整个二维平面，和三维空间，实际是另外两种“直线”。Pai在其中是何地位呢？

半径是点流动的距离，

如果是一维的流，点不会扩散。“扩散点”始终是一个点，假设“扩散点”有“大小”，一维流形的扩散点的大小会是多少呢？

如果是二维的流，点会平面全向扩散。“扩散点”始终是一个“圈”（圈和点奇妙地得到统一），那么，“扩散点”的“大小”将和扩散距离相关，是2倍扩散距离的Pai倍。

如果是三维的流，那么，“扩散点”的“大小”将和扩散距离相关，是2倍扩散距离的平方的Pai倍。

那么，对应一维的流，“扩散点”的“大小”是否可以理解为是“2倍扩散距离的0次方”的Pai倍呢？

如果建立这样的理解，Pai的一种几何意义是否就找到了：可能是点的一维流形的扩散点大小呢？

在这样的“点的全向流形几何”中，PAI，应该是内蕴几何性质了。（PAI在欧氏几何中，不是内蕴的性质。）貌似非常奇妙的“变身”。 

现在回头思考欧氏几何与我说的这种“点的全向流形几何”的关系。

种所周知，欧氏几何是“平直观法”的几何。类似，有“球面观法”和“双曲面观法”的非欧几何。

所以，不同的几何，是对同一个“空间”的不同“观法”（观察测量方法）的不同导致的。

所以，我之前采用了“点的全向流形”的观法得到的结果也可以权且说是一种“欧氏几何”的变种，说是“变种”而不说是另一种“非欧几何”，是想突出变法的不同。

非欧几何对欧氏几何的观法的改变，无非是把直线的“维”变成曲线的维，就出来了“弯曲空间”了。

如果“维”这个概念，对于“空间”概念的作用来说，是规定了“正交”的方向的个数的意义的话，非欧几何的意思，则只是颠覆了对“方向”的定义：不是所有的方向都必须定义为是平直的。

而在我的“观法”中，并没有颠覆对“方向”的定义，方向依然是正交平直的，它们依然是“欧氏维”。我只是把“方向”进行了某种意义的“忽略”。试图探求从一点出发，做“全向”的爆炸式的扩散流所形成的空间的性质。

如果只规定1个方向，“点的全向流”是两个关于起点对称的两个扩散点，其轨迹就是“一维流法”的直线。  

如果规定2个方向，“点的全向流”是一个以起点为圆心的圆周，一个扩散圈，其轨迹就是“二维流法”的直线。  

如果规定3个方向，“点的全向流”是一个以起点为圆心的球面，一个膨胀球面，其轨迹就是“三维流法”的直线。  

所以，在这种“观法”下，N维欧氏空间，只是“N向”“点的全向流的直线”。          

需要谨记的是：如果“维”的概念必须保持不变：是空间正交方向，我们就再也不能用“维”这个词来称呼可能要新建的概念了。

现在，我们把所有维欧氏空间的概念都统一为“直线”概念了。

假若我们需要用多条这样的"欧氏空间线"再来“正交”的话，新的“正交”的含义，可能不再是“互相垂直的空间方向”的含义了。再次正交的结果，也可能不再是纯粹的几何空间的含义了。比如，表示复数的“复平面”实际可看为两条“一维欧氏空间直线”再次正交得到的“解析空间”。

那么，根据前面强调的，对于新的“正交方向”，因该不能还是把它叫做“维”了。应该取个新的名称，

叫什么好呢？

这是一种类似“跨界”含义的投影相关性。好比，虚实，阴阳，明暗，显隐，涨落，亏盈，早晚等类似这样的“方向”再两两相交形成的语义正交空间。

为区别于几何空间，且能支持并用于几何空间的“维”概念，我建议，叫其“范”。

叫什么名字无所谓，也没有改变到空间的性质，不知这么设想有何意义？四维时空，就是三维欧氏物理空间直线和一维欧氏物理时间直线所构造的“二范解析空间”。这么讲虽然别扭，也貌似有点酷。

关键的想法是：直线，作为线性分布的参照，也许不总是必须被看成是一维的。这个想法或许有意义。物理空间中以多维空间均匀分布作为参照的情况，也许会有机会被认为是可出现的。