我已经http://blog.sciencenet.cn/blog-3388899-1140055.html在一文中提到三角形外角定理（即三角形外角大于不相邻的内角），说到这个定理及其推论（三角形的两个内角的和小于二倍直角）无须平行公理作为保证。事实上，比上述命题更强一点的命题也无须平行公理。这就是所谓的“勒让德定理”：

勒让德第一定理：任意三角形内角和不大于１８０度；

勒让德第二定理：如果有一个三角形内角和是１８０度，则所有三角形内角和都是１８０度；

勒让德第三定理：如果有一个三角形内角和小于１８０度，则所有三角形内角和都小于１８０度。

　　以上特别是第一定理，明显比前面所讲的外角定理及其推论强得多，在其证明过程中无须平行公理，但需要阿基米德公理——任给两条线段，总可以使其中一条重复有限次之后，长度超过另一条线段。具体证明过程略，任何一本讲述几何基础的书都可以看到。（补充说一点，三角形内角和为１８０度这一点当然需要平行公理作为保证）

　　值得注意的是，希尔伯特的《几何基础》里提到：若引进阿基米德公理，则平行公理就能用下面的定理替代：一个三角形的三个内角的和等于两直角。注意，这里强调了阿基米德公理与三角形内角和命题合在一起才与平行公理等价。那么，如果没有阿基米德公理，单纯从“三角形内角和是１８０度”能不能推论出平行公理呢？答案是不行。但是，希著没有给出理由。

　　要明确这一点，最合适的方法还是模型法，即建立一个模型，在此模型内阿基米德公理不成立，但三角形内角和命题成立，看看平行线的唯一性是不是成立。如果在这个模型里平行公理不成立，那么就得到了前面所说的结论。这样的模型是很容易找到的，比如下面的模型：

　　设想我们研究的范围只包括圆内部分，除平行线的定义外其它概念都和通常的几何一致，但现在的“平行”是指“两条直线如果不在圆内相交，即为平行”。容易看出，在这个模型里，阿基米德公理显然不成立，但三角形内角和仍然是１８０度，而平行公理不成立。这就证明了单纯从“三角形内角和１８０度”而不包括阿基米德公理的话，推不出平行公理。

　　前面的证明还可以给我们一个启示，那就是，看似是互为逆命题的两个命题，两者也都分别成立，但其公理基础不一定相同。以本例而言，“若平行线是唯一的，则三角形内角和１８０度”与“若三角形内角和１８０度，则平行线是唯一的”二者互为逆命题，但前者不需要阿基米德公理，而后者需要。当然也有一些互为逆命题的命题，其公理基础是相同的，比如勾股定理逆定理的证明就用到了勾股定理本身，显然这说明原命题和其逆命题公理基础相同。