一，几何动量真性感

量子力学几何动量吸引了国际上一些名家的若干垂青, 值得显摆。

本月内发生了两件小事。

1. 有位帅哥想去哈佛大学物理系H教授处访问，希望土著能推荐一下。元月3日晚上9点37分发邮件探问，59分就收到了正面回应。迅速回复本来稀罕，H教授附加的两句话就更加出离：

“I noticed you are interested in curvature effects in quantum mechanics. On the small chance this it is relevant to you, I attach the following: ….”

帅哥受到惊吓，一时语塞。

2. Kleinert教授的大名如雷贯耳。1月9日，他居然到土著researchgate上背书如下：

没有几何动量这一学术名片，Kleinert会注意到东方有一位量子力学研究者?

既然几何动量算符才貌双绝，那就展示一下腰肢，

$\prod =-i \hbar \left ( \nabla_s+\mathbf{M} \right )$

她最神秘的地方就是引入了平均曲率M，公式中的 $\mathbf{M}=M\mathbf{n}" style="font-family:'times new roman', serif;line-height:24px;text-align:center;$ ，n是单位法向量。注意，这里的几何动量是普适的，博文后面的几何动量仅仅涉及球面上的形式。

物理学家谈论曲率，一般是指高斯曲率。众所周知的动量算符 $\mathbf{p}=-i \hbar \nabla$ 并不含这个平均曲率。当一个量子力学系统约束在曲面上时，需要通过波函数“反照”一下，才能把动量算符映照入其中。这个“反照”的过程使得“几何动量”看上去很像一个有效算符。其实不然。有一个简单的方法不需要求助于“反照”过程，又基本在初等量子力学范围之内，看出“几何动量”的端倪。

花开两朵，各表一枝。

二，花开两朵之一，学界断言狄拉克《原理》中有一个bug

狄老的《量子力学原理》中对球坐标系引入了一个径向动量算符

$p_r=-i\hbar \left ( \partial_r+1/r \right )$

后来者例如泡利把这一广义动量的思想推广到了任意坐标系中的任一坐标。例如，引入了球坐标中另外两个正则动量算符， $p_\theta$ 和 $p_\varphi$ ，其中 $p_\theta " style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 为，

$p_\theta =-i\hbar\left ( \partial _\theta +\cot \theta /2\right )$

形式上，从 $p_r$ 到 $p_\theta " style="font-family:宋体;line-height:24px;$ 之间没有距离。但是狄拉克偏偏没有引入这个算符。一定是物理上的差别引起狄拉克警觉。

学界一边倒地认为 $p_r$ 没有意义！无论数学还是物理。

密集的批评发生在1960年代。从教科书到PNAS等，都有批判的声音。 $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 没有谱表示，也就是没有完备的本征函数集，物理上不能测量！关洪教授曾经翻译过1984年的一篇结论性的文章，将国际上对这个问题的讨论结果介绍给中国物理学界。

二十一世纪中的一些研究已经走得更远，例如如何构造出合格的 $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 算符使之可以测量。毫无疑问，这些构造需要用到复杂的数学手段和晦涩的教学概念。见到过一种构造，居然是微分和积分混合而成。

按照科学发展的一般规律，这就相当于说，历史已经证明狄老对这个算符的认识是错误的。

三，花开两朵之二，狄老漠视学界的批评

狄拉克生于1902年，卒于1984年，悠游人间82年。1960年代，他还处在创造力的高峰期。1967年，狄老对《原理》进行了最后一次修订(第四版)，此后十年间，甚至出版了三本专著。

他有足够的时间思考任何他愿意思考的问题。但是，他从来就没有回应过对径向动量的批评，也没有对《原理》进行相应的修订。以狄老的严谨，他一定认为学界对他的批评理由不够充分。

其实，所有的批评都回答不了如下诘难：既然 $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 不可测量，为什么它的平均值、不确定度可以计算出来？平均值意味着一系列数值的存在，而这一系列数值就意味着这个量可以测量。

四，伏隐84年方显露真相

径向动量自1930年出现在《原理》的第一版之后，面对批评狄拉克至死一字未改。

注意到径向动量算符 $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 还有一个平庸的单位矢量因子 $e_r$ 。由于 $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 和 $e_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 对易，在数学上，把 $e_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 忽略掉不会带来任何问题。在2014年，我们发现保持原型 $\mathbf{p}_r$ = $p_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ $e_r" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 有一个巨大的好处，它可以写成两部分的差，

$-i\hbar\nabla=\mathbf{p}_r+\prod$  

这里的Π是准几何动量。只有波函数在径向的某个点r附近被束缚得很紧，准几何动量才能变成了真正的几何动量。由于基态氢原子在玻尔半径附近束缚得很紧，所以基态氢原子中可以看到几何动量。不过，玻尔半径本身就很小，对于原子来说，径向束缚得很紧的里得堡态是更好的系统来展示几何动量。

由于 $-i\hbar\nabla$ 和Π的三个分量间不能对易，不具有共同的本征函数集，所以径向动量不能直接测量。但是， $-i\hbar\nabla" style="font-family:宋体;line-height:24px;text-indent:32px;$ 和Π却各自具有完备的本征函数集，也就是可以分别测量之。分别测量后产生的数值差，就是进行平均的数据源。

真是一个美妙的思想！

2014年愚人节之后，把结果寄给了《现代物理中几何方法国际杂志》(International Journal of Geometric Methods inModern Physics)。文章经过了几个月的审理，直接接受，2015年发表。2015 IJGMMP A self-adjoint decomposition of the radial momentum operator.pdf

五，感叹

狄老的思想之深，深不可测！

尽管狄老可能并没有预计到几何动量的形式，但他肯定预感到了有某种东西存在！

彭桓武先生说过，不要轻易怀疑狄拉克的结果，他给你看的东西可能是只言片字，但是他想过的相关的问题往往有几麻袋。你所怀疑的东西，可能仅仅是他麻袋中最面上的那一张，他根本不屑于拿出来给你看。