线性离散系统的无限时间能达丰富性的解析计算

     本人的博文“线性离散系统的能达丰富性”(http://blog.sciencenet.cn/blog-3343777-1065680.html) 里定义了线性离散系统的reachable abundance(能达丰富性、能达充裕性)如下：

$v_{r,N}=\mathrm{Vol}(R_{r,N})$

其中 $R_{r,N}$ 为系统的状态能达域,其形状为一 $n$ 维空间中的平行多面体; $\mathrm{Vol}(\bullet)$ 为体积计算。

     对单输入单输出(SISO)线性离散系统,这里体积计算可转化为 由 $n\times n$ 维系统矩阵 $A$ 和 $n$ 维输入向量 $b$ 生成的向量组 $G_{N}=\{b,Ab,\cdots,A^{N-1}b\}(N\geq n)$ 所张成的平行多面体 $C_{n}(G{}_{N}))$ ,其体积可计算如下

$V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\sum_{(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})\in\Omega_{0,N-1}^{n}}\left|\mathrm{det}([A^{i_{1}}b,A^{i_{2}}b,\cdots,A^{i_{n}}b])\right|$

其中 $\Omega_{0,\infty}^{n}$ 指所有由自然数序列 $\{0,1,2,\cdots\}$ 中任取 $n$ 个数并按从小到大排序而得到的 $(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})$ 组成的集合。

     对无限时间的能达域 $R_{r,\infty}$ ,当系统矩阵A的所有特征值 $\lambda_{i}(i=1,2,\cdots,n)$ 为单根且为小于1的正实数,则无限时间的能达丰富性 $v_{r,\infty}$ 可由下式解析计算

$v_{r,\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\det(P)\right|\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中矩阵 $P$ 为系统矩阵 $A$ 的所有右特征向量组成的矩阵,行向量 $q_{i$ 为矩阵 $A$ 对应特征值 $\lambda_{i}$ 的左特征向量。

      由上式可以非常方便地求出能达丰富性,并便利地对系统进行优化计算、控制设计,提高系统控制性能和鲁棒性能。