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从亚里士多德到开普勒--太阳系模型的演化过程 精选

已有 6261 次阅读 2018-4-22 15:07 |个人分类:科普|系统分类:科普集锦| 天文学, 地心说, 日心说, 托勒密, 哥白尼

天文学是最古老的科学。古希腊,埃及,中国等几个文明社会都在不同时期观察到天上恒星,行星,太阳和月亮的有规律运行。从地球上通过肉眼,借助像圭表和日晷这样简单的工具,人们可以观察到:

1.       日夜交替,太阳每天东升西落,但太阳升起和降落的位置并不固定。春夏季太阳从东偏北升起,秋冬季太阳从东偏南升起。日夜长度也并不固定,夏天日长夜短,正午时太阳可以升的很高,而冬天日短夜长,正午时太阳升的很低。古巴比伦,希腊以及古代中国都曾用日晷,圭表来测量太阳的每日运行。日晷晷面平行于赤道面,晷针的上端正好指向北天极,影子每天同一时刻都指向同一方向,是很好的计时工具。圭表是直立于平地上测日影,圭表不但可以计时,也可以作为日历使用。

2.       夜间群星璀璨,整个星空像由一个巨大天球携带围绕北方一个固定点从东向西旋转,但除个别星星之外,星星间相对位置保持不变。于是人们可以把相邻行星用假想连线连接起来,构成一个一个星座,并用丰富的想象力将星座与神话故事联系起来。比如希腊神话中神后赫拉将卡里斯托变成大熊,后来宙斯把大熊提升到天界,即北天的大熊星座。中国古代也有七夕节牛郎织女的美好传说。托勒密在他的《天文学大成》中共列了48个星座。中国古代将星空划为三垣二十八宿,共283个星座, 通称283宫。

3.       太阳除了每天东升西落,也在背景星星中自西向东沿黄道穿行。这样每天在夜空观察到的星星不同。有些星星只能在夏天观察到,而有些星星则只能在冬天观察到。黄道相对于天赤道倾斜231/2度。太阳环绕黄道一周需要约365天,依次穿过黄道十二宫的白羊座,金牛座,双子座,巨蟹座,狮子座,室女座,天秤座,天蝎座,人马座,摩羯座,水瓶座和双鱼座。人们用圭表记录太阳的运行,发现春夏秋冬四季时间长短不同,太阳在冬季运行稍快,夏季稍慢。

4.       月有阴晴圆缺,从新月到满月再到下一个新月需要约29天半。月亮像太阳一样除了每天环绕北天极由东向西运行以外,也自西向东在黄道附近穿行,但月亮运行路径白道与太阳运行路径黄道有509’的夹角,而且黄道与白道的交点不固定。中国东汉时期伟大的文学家张衡已经知道“月光生于日之所照”。古希腊阿那克萨哥拉也断言:“太阳赋予月球光芒”。

5.       晚上观察到的星星彼此间相对位置保持不变,但肉眼很容易观察到有五个“星星” 例外,它们环绕黄道十二宫自西向东穿行,与太阳和月亮几乎在同样的轨道上。古希腊人称之为行星,中国古代天文学家把这五个“星星”与五行学说联系在一起,分别命名为金星,木星,水星,火星和土星。水星和金星环绕黄道十二宫一周大约用一年时间;火星环绕一周大约用一年322天;木星大约用11315天,土星大约用29166天。这些是行星平均运行时间,因为它们不是匀速运行,甚至有时会发生反向自东向西运行。古代中国把行星自西向东运行称为“顺行”,把自东向西运行称为“逆行”,把顺行和逆行的转折点称为“留”。比如火星平均每隔约780天会发生一次逆行,每次逆行约72天左右时间。

古代几个文明社会都对天上太阳,月亮,行星和恒星进行过精确的观测,对它们的运行规律也都有基本掌握。但是把日月星辰的运行作为一个整体去认识,建立起数学模型用数学方面解释天体运行现象,预测天体运行位置则发生在古代希腊,由此导致了现代科学的诞生。把日月星辰的运行作为一个整体始于古希腊哲学家柏拉图,他认为所有天体都在围绕地球做匀速圆周运动, 我们观察到的天体复杂运行只是一种表象,天体运行可以用匀速圆周运动的组合来解释。为此他给数学家和天文学家提出一个问题:如何组合太阳,月亮,行星和恒星的匀速同向圆周运动才可以得出与我们的实际观测一致的结果。数学家和天文学家经过二千多年的努力,先后建立了同心球模型,地心学说模型,哥白尼日心学说模型,半地心学说模型以及开普勒日心学说模型。

同心球模型

前面介绍过从地球上观测太阳存在两种运动方式,一种是每天的东升西落,另一种是每年沿黄道带由西向东运行一周。月亮也存在两种运动,一种与太阳一样,每天从东边升起,从西边落下,另一种是每月从西向东运行一周。恒星只有一种运动,即每天的东升西落。行星要复杂的多,不但有每天的东升西落,而且在背景恒星中有时顺行,有时逆行。古希腊最杰出的数学家,天文学家欧多克索斯 (Eudoxus of Cnidus) 最早对柏拉图 (Plato) 提出的问题进行了研究,他提出了第一个太阳系数学模型--同心球模型。他的模型由27个透明天球组成:

  1.        一个携带恒星的天球,该天球以地球为中心每天由东向西旋转一周。   

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2.       三个匀速圆周运动的太阳天球。外太阳天球运行轴和运行速度与恒星天球一致,每天环绕地球由东向西运行一周。太阳位于内太阳天球赤道,内太阳天球轴相对外太阳天球轴倾斜231/2度,内太阳天球就像连接在外天球一样与外太阳天球同步运行的同时每年也围绕自身的轴由西向东运行一周。这样即可以解释太阳每天的视运行,也可以解释太阳每年在黄道带的视运行。欧多克索斯给太阳加的第三个天球可能是因为欧多克索斯错误地认为太阳存在在黄道上的缓慢变化。

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3.       三个匀速圆周运动的月亮天球。外月亮天球和内月亮天球与太阳天球类似,不同之处在于内月亮天球每月从西向东运行一周,而不像内太阳天球每年运行一周。欧多克索斯给月亮加的第三个天球可能用来解释月球白道与黄道交点在黄道上的缓慢运动。

4.       五颗行星(金星,木星,水星,火星和土星)每颗行星四个天球,一共二十个行星天球。每个行星天球最外一个天球围绕地球每日由东向西运行一周,其旋转轴与恒星天球,太阳和月亮天球的外天球旋转轴一致。第二个天球类似于太阳和月亮的内天球,它们以不同速度环绕相对外天球轴倾斜231/2度的轴由西向东运行。这样解释了行星日和年的视运行。行星的逆行由两个内天球的运行产生。两个内天球以同速反向围绕两个近平行轴旋转,行星链接在最内天球。两个内天球的轴如果完全平行,它们相向运行会使行星保持在同一位置,但是因为它们的轴不完全平行,行星会发生上下和左右摇摆,它们在黄道带内的运行就叠加出一个字形这样可以解释行星的顺行和逆行。

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欧多克索斯的模型存在不少问题,比如不能解释季节长短和行星亮度的变化,他的模型是同心球--球体都以地球为中心,太阳,月亮和行星与地球间的距离不变,这样不会有季节长短和行星的亮度的变化,而人们早已经观测到冬夏季长短不同,而且行星亮度变化很大,尤其在“留”时亮度最大。另外该模型虽然可以较理想地解释木星和土星的运行,但不能解释水星的运行,对金星和火星也不理想。亚里士多德 (Aristotle) 改进了欧多克索斯的模型,人们后来提到同心球模型更多的与亚里士多德联系起来。

无论同心球模型存在多少不足,这是人类建立的第一个天体运行数学模型,对现代科学的兴起具有深远意义。有人把欧多克索斯称为古希腊时代的牛顿,他当之无愧。由于同心球模型的不足,该模型很快被另一个更好的模型取代托勒密地心模型。

地心模型

托勒密 (Claudius Ptolemy) 在《天文学大成》中系统介绍了托勒密地心模型。他的模型地球静止于宇宙中心,既不自转,也不公转。最外层的透明恒星天球携带所有其他天球每天从东向西运行一周。为了更好地描述季节的长短,行星的逆行,行星亮度的变化并且仍然满足柏拉图提出的天体匀速圆周运动的要求,托勒密地心模型引入了几个数学概念:本轮,均轮,偏心圆,以及匀速点。

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1.       本轮:本轮是均轮上的小圆。行星和月亮不是直接围绕地球做匀速圆周运行,而是在本轮上围绕本轮中心匀速圆周运转。

2.       均轮。均轮携带本轮围绕地球匀速圆周运转。本轮的中心在均轮上运转。

3.       偏心圆:地球不在均轮的中心,而是与均轮中心有一定距离。

4.       匀速点:与地球位于均轮中心两侧,距离均轮中心距离相等。行星本轮中心不是围绕地球做匀角速运行,而是围绕匀速点做匀角速运行。

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托勒密地心模型中太阳天球最为简单,太阳只有一个均轮,没有本轮,太阳在均轮上沿黄道由西向东做匀速圆周运转。地球不在太阳均轮中心,而是偏离太阳均轮中心距离约为太阳均轮半径的百分之三。太阳围绕均轮中心匀速圆周运转,相对于地球而言太阳在近地点时运行速度加快,远地点时运行速度减慢。这样可以很好地描述季节长短的不同。

托勒密月球天球包括一个本轮和一个均轮。均轮围绕地球由西向东做匀速圆周运转,而月球在本轮上围绕本轮中心做反向匀速圆周运转。后来托勒密为了解决月亮上下弦问题而又对月亮天球进行了复杂化处理,这样反而带来许多问题。托勒密模型预测月球在围绕地球运行过程中月亮与地球间的距离每月会发生很大变化,这意味着月亮视大小也应该有很大变化,这与观测不符。

托勒密地心模型对内行星水星和金星与对外行星火星,木星和土星的处理方式不同。托勒密模型中内行星水星每88天在其本轮上运行一周,金星每225天在在其本轮上运行一周。水星和金星的本轮中心在各自均轮上围绕地球运行一周正好一年,而且该中心一直位于地球和太阳的连线上。外行星火星,木星和土星在各自本轮上每年运行一周,火星本轮中心用1.88年在均轮上运行一周,木星本轮中心用11.9年在均轮上运行一周,土星本轮中心用29.5年在均轮上运行一周。每个外行星本轮中心与行星连线一直保持与地球和太阳连线平行。行星的本轮和均轮沿同向运行。

托勒密模型对行星逆行的解释比同心球模型要好理解的多。比如火星自身在其本轮上由西向东运转,本轮中心在均轮上由西向东运转,当火星在本轮上运行到最接近地球时它在本轮上的运行方向与本轮在均轮上的运行方向相反,看起来火星开始朝后运行。这时候火星离地球最近,所以也最亮,最红。

托勒密意识到只用本轮和均轮模型计算结果与对行星运行的观测不符,他给行星的均轮引入了偏心圆和匀速点。地球不在均轮的中心,而是有一定偏离。地球偏离火星均轮中心距离为火星均轮半径的百分之十,偏离金星中心百分之二,偏离土星中心百分之六,偏离木星中心百分之五。偏心圆理论让行星本轮中心以匀速围绕行星均轮中心运行,而不是地球。加入偏心圆并没有完全解决理论模型与观测结果间的偏差,于是托勒密又为每个行星引入了匀速点。匀速点与地球位于均轮中心两侧,距离均轮中心距离相等,行星本轮中心以匀角速围绕匀速点运行,而不是地球和均轮中心。

这样在托勒密模型中可调参数包括本轮和均轮半径,均轮中心与地球之间偏离距离,本轮中心在均轮上的运行周期,行星在本轮上的运行周期等参数。托勒密通过调整这些参数可以让他的模型接近观测结果。这已经是一种现代科学研究方法。但这种调参还是属于拼凑,托勒密时代人们还没有认识到行星的椭圆运行轨迹以及行星的非匀速运行,而且托勒密天文学的本轮,均轮,匀速点,偏心圆的设置过于繁杂,不利于实际应用。哥白尼日心模型大大简化了托勒密模型。

哥白尼日心模型

哥白尼 (Nicolaus Copernicus) 首先不喜欢托勒密模型中的匀速点设置,在他的《试论天体运行的假设》一文中他明确指出:“托勒密以及其他多数天文学家的行星理论虽然与观测数据相符,但也存在许多问题。这些理论需要引入匀速点,这样一来行星无论在自身均轮上还是相对本轮中心都不是匀速运行。”

哥白尼要建立一个满足于柏拉图匀速圆周运动要求的体系。在《试论天体运行的假设》中他接着说:“意识到这些缺陷,我常想能否找到一个更加合理的圆周运动设计,在该体系中天体都围绕各自中心呈匀速运动,正如绝对运动所要求的那样。”

哥白尼在《试论天体运行的假设》中提出了他的天体运行设想,但没有介绍技术细节,这些细节在哥白尼1543年出版的巨著《天体运行论》做了完整介绍。哥白尼的日心模型是这样的:

  1.      地球每日携带地球上的所有物体(包括海水,空气等)围绕固定轴由西向东旋转一周。整个星空看起来像以巨大速度每日围绕地球运行,其实恒星天球没有运动,而是地球在自转。

  2. 我们观测到的太阳年视运行不是由于太阳的运行,而是由于地球绕太阳公转,地球围绕太阳匀速运行。太阳不在地球运行轨道的中心,太阳中心与地球运行轨道中心的距离是轨道半径的1/25。地球轨道半径与地球恒星间的距离相比可以忽略不计,所以看起来就像地球位于宇宙中心,而太阳围绕地球运行。

  3.  地球自转轴每年围绕垂直于地球公转轨道平面缓慢旋转一周。(这其实是哥白尼的误解)

  4.  不存在天体运行轨道的共同中心。地球中心不是宇宙中心,只是地面物体受重力吸引朝向的中心以及月球天球中心。所有天球都围绕太阳运行,太阳就像处于所有天球的中心,因而宇宙中心靠近太阳。

  5.  行星围绕太阳运行,土星30年完成一周运行,木星,火星,金星和水星分别用12年,29个月,9个月和88天完成一周运行。

  6.  天球的次序为:最高的是静止的恒星天球,恒星天球包含其他所有天球,而且其他天球的运行位置的确定也都是相对于静止的恒星天球。恒星天球下面是土星天球,接下来是木星天球,火星天球,地球天球,金星天球,最后是水星天球。月球天球围绕地球中心运行,而且也随地球一起围绕太阳运行,就像一个本轮一样。离太阳越远,天球运行速度越慢。

  7. 行星的视逆行和留不是它们自身的运动,而是由于地球的运行。地球的自转和公转可以足够用来解释天体的多种不规则视运行。比如当地球超越行星时,从地球上观测行星在背景恒星中会逆行,这时地球与行星距离最近。

  8. 月球除了每年与地球一起围绕太阳运行一周,而且围绕地球每月运行一周。地球围绕太阳运行的轨道就是月球的均轮,月球在自身本轮上围绕地球运行。哥白尼给月球设了三个本轮。

  9.   哥白尼不喜欢托勒密的匀速点方法。为此他为行星引入了更多本轮:给水星引入六个,金星,火星,木星和土星各四个。这样加上每颗行星的均轮,哥白尼日心模型中共有34个正圆,包括水星的七个,金星的五个,地球的三个,月球的四个,以及火星,木星和土星各五个。

 

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哥白尼模型将太阳放在中心,恒星不动,行星围绕太阳运行,地球也是一个行星,在围绕太阳运行的同时也在自转,这让解释所有天体的视运行变的非常简单,完全不再需要托勒密模型中设置的硬性条件。比如托勒密模型要求内行星水星和金星本轮中心一直位于地球和太阳的连线之上,外行星火星,木星和土星与它们各自本轮中心的连线一直平行于地球和太阳连线。哥白尼模型解释逆行也更加简单,逆行不过是地球和行星相对运行的结果,不是行星自身的运动。这样也不再需要托勒密模型中的大本轮(哥白尼模型中的本轮要小的多)。哥白尼模型中恒星天球也不再高速运转,正如哥白尼在《天体运行论》所述:物体位置的改变可能是由于物体的运动或观测者的运动,或两者的运动不同(因为如果两者平行同速运行的话就看不到运动)。从地球上看天空像在转动,如果地球在转,那其他天体看起来就像在反向运行……地球与整个天空相比只不过是一个小点,就像有限与无限相比……难道我们不会奇怪如此浩瀚的宇宙24小时旋转一周,而不是小小的地球?

哥白尼模型中所有天体一起构成完整的整体,正如哥白尼在《天体运行论》所描述:如果把其他行星的运动与地球的轨道运行联系在一起,并按每颗行星的运转来计算,那么不仅可以对所有的行星和球体得出它们的观测现象,还可以使它们的顺序和大小以及苍穹本身全都联系在一起了,以至不能移动某一部分的任何东西而不在其他部分和整个宇宙中引起混乱。而托勒密模型每颗行星的视运行都取决与本轮与均轮的半径之比,本轮与均轮的大小无法确定。比如可以将水星的均轮定为比土星均轮大,只要相应调整水星本轮大小就可以。这样托勒密模型显然不是一个完整整体。

半地心模型

第谷 (Tycho Brahe) 是一位伟大的天文观测者,在天文望远镜发明之前他的观测精度无与伦比。第谷对恒星做了长期精心观测,他没有观测到恒星的周年视差。按照哥白尼理论,如果地球围绕太阳运行,就应该存在恒星的周年视差。于是第谷没有接受哥白尼的日心模型,而是建立了自己的半地心模型。第谷体系是这样的:

1.       地球静止于宇宙中心,既不自转,也不公转。

2.       天球,太阳,月亮和行星围绕地球每日从东到西运行一周

3.       月球和太阳围绕地球运行

4.       其他行星都围绕太阳运行


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开普勒太阳系模型

托勒密和哥白尼面临的共同难题是行星的非规则运行。托勒密引入了偏心圆和匀速点来描述这种非规则运行,而哥白尼则采用了引入更多本轮的方法。开普勒 Johannes Kepler)是第一位大胆摒弃柏拉图提出的匀速圆周运动要求的天文学家。依助于第谷无与伦比的观测精度(第谷观测天体位置的精度误差只有1/15o   ),开普勒断定行星运行轨道不是正圆,而是椭圆;行星在椭圆轨道上不是匀速运行;行星运行速度与其与太阳距离有关。后来人们将之总结为开普勒三大定律:

开普勒第一定律:行星运行轨道为椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律:行星与太阳的连线在相同时段扫过的面积相同。

开普勒第三定律:行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

 开普勒第一定律表明行星运行轨道具有两个特性,一是偏心,即太阳不在轨道中心,二是椭圆,即轨道不是正圆。这里真正关键之处在于太阳不在轨道中心,而不是轨道的椭圆特性。因为焦点与椭圆中心间的距离正比于偏心率e,而椭圆短轴与长轴的比值与偏心率的平方有关。因为行星的偏心率e较小,偏心率e的平方可以忽略。以火星为例,火星偏心率e0.0934,太阳作为火星椭圆轨道的一个焦点到火星椭圆中心的距离是火星椭圆轨道平均距离的百分之9.34,而火星椭圆轨道的短轴与长轴之间只有约百分之0.5的差别,这样完全可以用偏心圆替代椭圆。这就是为什么虽然哥白尼和托勒密都用了偏心圆,而没有采用椭圆,他们模型预测结果仍然可以与实际观测结果非常吻合的原因。哥白尼把太阳放在偏离偏心圆圆心的(3/2e处,而托勒密的太阳均轮把地球放到偏离均轮中心的2e之处。

开普勒第二定律表明行星围绕太阳做非均速运行,距离太阳近时运行较快,距离太阳远时运行较慢,在相同时间间隔内行星与太阳连线扫过的面积相同。托勒密引入的匀速点与开普勒第二定律有关。如果不考虑太阳与行星的连线,而是考虑行星椭圆轨道另一个空焦点与行星的连线,忽略椭圆偏心率的平方和高次方(行星的偏心率都很小,偏心率的平方和高次方可以忽略不计),开普勒第二定律也可以表述为行星围绕该空焦点做匀速运行。托勒密引入的匀速点实质上就是这个空焦点,这可以说是托勒密的最大贡献。托勒密能从对大量观测数据的处理中找到这个空焦点来满足行星匀速运行的要求,这相当了不起。而哥白尼完全否定托勒密的匀速点设置,哥白尼采用的是加小本轮的办法,他的预测结果并没有比托勒密模型更加精确,在此点上托勒密更加高明。其实托勒密的模型可以做的更好,如果他在他的太阳均轮中把地球偏离太阳均轮中心均轮半径的0.0167,在太阳均轮中心相反方向设置与地球到均轮中心距离一致的匀速点,让太阳围绕匀速点做匀角速运行,那托勒密模型的预测误差将极小,在那时肉眼观测条件下几乎观测不到误差。托勒密没有这样做,他把地球放在太阳均轮半径的0.0334位置处,让太阳围绕均轮中心匀速运行。因为在托勒密模型中所有其他行星的运行都与太阳运行有关,比如内行星本轮中心一直位于太阳和地球的连线上,外行星本轮中心与行星连线一直保持与地球和太阳连线平行,这样造成了托勒密模型对所有行星运行预测的误差。

开普勒第三定律表明行星距离太阳越远其运行速度越慢,行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方的比值为一常数。比如地球的公转周期为一年,与太阳之间的距离为1个天文单位,地球公转周期的平方除以地日距离的立方为1。以天文单位为行星到太阳间距离的单位,其他行星的公转周期的平方除以距离的立方也非常接近1。哥白尼本来可以自己发现开普勒第三定律。他利用观测行星的距角来确定行星距离太阳的远近,他采用直角三角形方法计算了行星的轨道半径,其误差只有1%(土星除外)。哥白尼正确确定了行星距离太阳的远近,最远为土星天球,接下来是木星天球,火星天球,地球天球,金星天球,最后是水星天球。哥白尼也从行星的会合周期(从地球上观察行星重新回到与太阳冲或合的位置所需要时间,受地球公转影响)正确计算了行星的恒星周期。(行星重新回到背景恒星的同一位置需要的时间)。托勒密模型无法确定行星与地球间的距离,该模型只受本轮和均轮半径比值影响。本轮和均轮都可以自由变化,只要保持本轮和均轮半径比值不变,计算结果是一样的。不过后来托勒密在《行星假说》一书中判断星体与地球的远近关系从近到远为月亮,水星,金星,太阳,火星,木星和土星。

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伽利略 (Galileo Galilei) 利用自己制作的天文望远镜对金星和木星进行了详细观察,他的观察结果第一次向人们直接证实日心理论的正确性。伽利略观察到金星也有与月亮一样的相。虽然托勒密与哥白尼模型都容许金星相的存在,但两种理论的相不同。托勒密理论中金星一直位于太阳和地球之间,这样金星的相不会超过半圆。然而按照哥白尼理论,当金星位于远离地球的轨道另一边时会被完全照亮。另外伽利略用天文望远镜观察发现有四颗“小星星”沿黄道排列围绕木星运转,他断定木星轨道有四个卫星围绕木星运转,这证明地球并不是所有天体运行的中心。

16848月,著名天文学家哈雷 (Edmond Halley)(哈雷彗星以他命名)问牛顿,如果太阳对行星的引力与行星和太阳间的距离平方成反比,那行星运行轨迹应该是什么形状?牛顿回答说是椭圆形。牛顿告诉他自己早就计算过,但现在不能给他自己的证明。几个月后,牛顿发给哈雷一篇九页纸的论文--“关于物体轨道运行”不但证明了行星的椭圆运行,而且一举证明了开普勒三大定律。16877月哈雷资助牛顿出版了划时代巨著《自然哲学的数学原理》。哈雷告诉英国皇家学会:“(这部专著)用数学方法证明了哥白尼模型。。。。只用朝向太阳中心的重力与距离平方成反比这一假设完全证明了天体运行的所有现象。” 《自然哲学的数学原理》提出的万有引力定律揭示了天体运行的本质,让人们对哥白尼模型和开普勒三大定律有了深层次认识,也终结了地心说和日心说之争。

 

参考文献:

1.       Steven Weinberg:  To Explain the World—The Discover of Modern Science

2.       陈方正:继承与叛逆现代科学为何出现于西方

3.       James Cleick: Issac Newton

4.       James A.Connor: Kepler’s Witch

5.       Nicolaus Copernicus: On the Revolutions of the Heavenly Spheres

6.       Nicolaus Copernicus: A Commentary on the Hypothesis Concerning Celestial Motion

7.       Max Planck: Copernicus Discovered Nothing

8.       http://www.lcse.umn.edu/astronomy1001/spring-2010/Lect04-2-1-10-chapter-2&3-2pp.pdf

9.       http://farside.ph.utexas.edu/Books/Syntaxis/Almagest/node3.html

10.    http://astro.unl.edu/naap/ssm/animations/ptolemaic.swf




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