无穷集合存在吗？
吕陈君

1．无穷为什么会导致矛盾？

数学是一门关于无穷量的精密科学，但只要承认无穷集合存在，就会在逻辑上导致矛盾。

我们来分析一下，这种矛盾究竟是如何发生的。

自然数集｛1，2，3，…，n，……｝是最简单的无穷集合，它的每一个元素都是有穷数，而每个有穷数的命题都是确定的，但只要承认全体自然数的总体N存在，把有穷数的命题推广到整个无穷域N时，许多确定的命题就会变得不确定了，数论中有许多这样的命题。更重要的原因是，哥德尔不完备性定理表明：如果一个包含数论的系统S是一致的，那么S必定是不完备的，即，在S中肯定存在这样一个命题A，使得A和﹁A都不是S的定理，也就是说，A在S中是不可判定的。后来，人们证明了数论的一致性，而且在组合数学和图论中也找到了不可判定的有限命题。这就说明，在数论中确实存在着不可判定的命题。

而其他的数系——有理数、实数、虚数等——都可以看作是在自然数的基础上逐步构造出来的，人们甚至现在还不能证明实数系的一致性。显然，在数学分析中也肯定存在着不可判定的命题。

但是，这就导致了一个难题：在数学证明中不能普遍地使用排中律，因为有些命题A和﹁A可能都不成立。但这样又会导致一个更大的难题：在数学中有很多命题都是通过反证法来证明的，如果禁止使用排中律，那么在数学中就没剩多少东西了，整个数学大厦的基石就会坍塌。因此希尔伯特说过：“禁止数学家用排中律，就像禁止天文学家用望远镜或拳师用拳一样。”但如果继续使用排中律，那么在数学证明中就要承担可能失败的巨大风险。

所以，数学家们对无穷的感受也是非常矛盾的，如何看待无穷集合的存在性，就成为在数学家群体中形成分界线的标志：逻辑主义者承认各种无穷集合的存在性，像康托和罗素；直觉主义者只承认自然数集的存在性，柯朗尼克有句名言：“上帝创造了自然数，其他一切都是人造的”；形式主义者不承认任何无穷集合的存在性，他们对无穷采取了实用主义的立场，就像罗宾逊说的那样：“我对数学基础的看法，主要根据以下两点，或者说两条原则：1）不论从无穷总体一词的哪种意义来说，无穷总体是不存在的（即不管是实在的还是理想的无穷总体都是不存在的）。更确切些说，任何讲到或意思上含有无穷总体的说法都是没有意义的。2）虽然如此，我们还是应该‘照常’继续搞数学这个行业，也就是说，应该把无穷总体当作真正存在那样来行事。”

2．可数集和不可数集

我们进一步来分析一个具体的例子，那就是康托关于实数不可数的证明。

康托是用反证法证明的，但根本的问题却在于无穷可数这个概念。康托认为，如果一个无穷集合能够与自然数集N形成元素间的一一对应关系，那么它就是一个无穷可数集。N的基数（即元素数目）记做ω，ω是一个可数集，但康托又构造出了第一个不可数集ω1，ω1就相当于集合ω^n（当n→∞时），现在的问题就是：ω和ω^n（当n→∞时）是否有一一对应关系？我们知道，ω和任何ω^n（n为一自然数）都有一一对应关系，但ω和ω^n（当n→∞时）是否有此关系却很难断定，人们的思维在这里是很容易犯迷糊的。但当ω^n（当n→∞时）为一闭集时，ω和ω^n之间就存在一一对应关系，也就是说，可数集ω和不可数集ω1之间是可以有一一对应关系的。勒贝斯格等人认为可数和不可数并无本质区别，道理也在于此。实际上，所有的无穷良序集都有可能是一一对应的，因为它们的排列次序都是以自然数列为“模子”复制出来的。

那么，康托关于可数和不可数的定义显然是有问题的。康托理论成功之处在于：它用自然数列为“模子”构造出了越来越大的超穷序数序列。但这一理论不足之处在于：它并没有给出超穷序数序列内在层次结构的精确描述。

譬如，集合论中有一个基本原理：如果两个集合之间有一一对应关系，那么这两个集合的基数相等。但是，这个原理并没有考虑到这两个集合的元素是否属于同一层次。举例来说，3／4这个有理数元素，但根据莫斯托夫斯基的方法，它可以化归为

｛｛3｝，｛3，4｝｝

这样一个集合，它的基数就该是2。问题在于：当我们比较两个集合的基数时，应该把它们的元素化归为同一层次的“基本元素”才行。所以，即使两个集合之间有一一对应关系，它们的基数也未必相等。这在直观上是很清楚的。

严格地说，我们至少应该肯定全体自然数的总体N存在，这是整个数学赖以建立的基石；然后在N的基础上再逐渐构造出其他的无穷集合来，但这些集合的层次要高于N。我们必须找到一种精确的方法来描述不同无穷集合之间的层次关系。我构造了这样一种方法，并得到如下结果：不同超穷基数ω，ω1，…，ωn都是一一对应的，也就是说都是“可数的”，但它们的基数并不相等。

3．实数可数吗？

这个问题其实等价于：实数集R是良序集吗？或者说，N所有的子集合能排列成一个良序集吗？

我对上述问题做了如下证明。利用选择公理，我把N的子集合排列成一个良序集，这个集合就记做P^∞(N),称为“N的超幂集合”，并且证明P^∞(N)是幂集合P (N)的一个真子集合。但P (N)是不是一个良序集，仍然很难判断。我在证明过程中也感到非常困惑，P (N)既像良序集又不像良序集，尽管我用了极美妙的直觉和极严谨的推理，对P (N)的良序性还是捉摸不透。这说明实数可数问题仍是一个谜。

希尔伯特曾经说过：“自从远古以来，无穷问题就比任何其他问题更加激动人的情感。几乎没有任何其他概念如此有成效地刺激着心智。然而也没有任何其他概念比它更需要阐明。”而连续统的本性就是一个最大的无穷之谜。在我的研究经历中，我也有一种深刻的感受：上帝创造了连续统，人创造了自然数，但人可能永远也无法完全理解上帝创造的奥秘。

4．无穷集合的存在性公理

那么，在数学中各种无穷集合——像自然数、有理数、实数、虚数等——的总体究竟存在吗？如果存在，它们又是如何存在的呢？

我提出两条关于无穷集合的存在性公理：

公理（1） 全体有穷数的总体构成一个无穷集合，即自然数集N。

公理（2） 在N的基础上可以构造更大的无穷集合S：如能确定S的总体存在，当且仅当，可以把S扩充为一个更大的集合S′，使S包含在S′内并且S′本身是一致的。

我把公理（1）称为“非构造性的无穷公理”，即N总体的存在是先验性的。我把公理（2）称为“构造性的无穷公理”，即大于N的无穷集合S的存在都是构造出来的，而且只有确定S的总体能被包含在一个更大的集合S′内并且S′本身是一致的时，我们才能确定S的总体是存在的。对此伯尔奈斯是这样解释的：“当我们能在所采用的系统里推导出一个公式‘对任何x，A(x)’，我们也并不能因之知道A(x)是否真地对所有的x都成立，除非这个系统的一致性证明已经给出。”

所以，我们必须重新来考察集合论基础，即从最原始的意义上来重新思考集合论中基本概念和基本关系的涵义，正如莫斯托夫斯基指出的那样：“将来或许将出现的各种集合论必定建立在一个牢固的直观基础上。”我们确实需要建立一种新的“无穷观”，但它必须牢牢根植在现代逻辑科学的基础之上。

主要参考文献
1．莫里斯.克莱因：《古今数学思想》（第四册），上海科技，2002年。
2．王雨田主编：《现代逻辑科学导引》（上册），中国人大，1987年。
3．《数理哲学译文集》，商务，1988年。
4．《数学哲学》，商务，2003年。

2007-6-15 15:53:27            

论数学中的无穷

吕陈君

希尔伯特说过，数学是关于无穷的交响乐，因为无穷，数学才会显得如此自相矛盾而又奥微精深。数学需要各种各样的无穷集合，自然数集、实数集、复数集等等，怎样看待这些无穷集合的存在性，就成为数学基础问题的关键，其最基本、最关键的问题就是如何看待自然数集和实数集的关系，自从古希腊人发现“不可公比”关系以来，这个问题就一直困扰着人类的理智认识，数学史上的三次危机其实都是这一问题的不同表现形式。下面我从三个方面来谈谈数学中的无穷问题。

1.“实无穷”和“潜无穷”之争

从根本上说，人们对无穷问题的分歧，是“实无穷”和“潜无穷”两种无穷观念的分歧。“实无穷”是指，承认各种无穷集合的总体是存在的，像自然数集和实数集等等集合总体都是真实存在的；“潜无穷”是指，各种无穷集合都不是一个完成的总体，而只是一个无限递次的过程。这两种不同的无穷观会对人们理解无穷集合的性质产生许多微妙而复杂的联想，譬如，A和B是两个不同的无穷集合，依“实无穷”论者来看，由于A和B的总体确实存在，若A＞B，那么A和B之间就不可能存在一一对应关系；但依“潜无穷”论者来看，由于A和B都只是一个无限递次的过程，若A＞B，那么A和B之间也可以有一一对应关系。一一对应是无穷集合之间的基本关系，是不同无穷集合建立顺序关系的基本方法，但在不同无穷观的透视下，却产生了“歧义”。我认为产生“歧义”在数学中是正常的，三角形三内角和从不同观点来看还不相等了，这没有什么奇怪的。数学中没有绝对的对与错，只有谁更有合理性、解释力和更优美。数学本身是个充满矛盾的生命体，不是简单的“证伪”就可以否定的，任何一个数学证明或理论，只要放在逻辑的显微镜下，都可以找到矛盾的细胞，完全正确的数学证明是不存在的。我强调这点的用意在于：网上许多反对康托理论的所谓证明，都只是与康托看无穷集合的“视角”不同而已，很多人其实并没有完全弄懂康托理论，其证明（依我看）也有许多模糊、矛盾和错误之处。认识无穷，我们必须要谦虚一点，首先要弄懂经典理论的涵义。

2.康托理论及其不足

康托理论是“实无穷”的经典理论，在康托之前，“实无穷”是不被数学界承认的，但在康托之后，“实无穷”成为数学中的主流观点。因为“实无穷”比“潜无穷”有个最大优点，那就是它处理数学基础问题时更加方便。

康托理论的成功在于，它建立了一个无穷递次的超穷序数模型，为整个数学提供了一个简洁的抽象的基础理论。康托的出发点也很简单，他认为任何一个无穷递次的数列之后都存在一个“极限数”，像自然数列1，2，…，n，……之后必有一个“超穷数”ω。我第一次明白ω这个符号的涵义时，非常激动，从来没想到过思维会如此自由地创造出一个“数”来。根据这个原理，就可以创造出越来越大的“超穷数”。

康托理论的优点是简洁优美，但不足是基数的概念不够清楚。康托证明，自然数集和有理数集、代数数集都是一一对应的，因此这些集合的基数都相等；自然数集和实数集不能一一对应，因此自然数集比实数集的基数要小。网上反对康托的人却认为，康托对角线证明不对，自然数集和实数集也可以一一对应，因此基数这个概念没有意义。我认为，这种观点值得认真思考，因为康托利用一一对应关系来比较基数大小的方法确实有问题。从直观上看，所有良序集都是一一对应的，因为它们都是以“自然数列”为原型构造出来的，就像DNA分子不断自我复制构造出复杂结构一样；但一些集合要比另一些集合（基数）更“大”这种观点，恐怕也是成立的，譬如一个集合“蕴涵”另一个集合，当然就会更“大”一些。但这里有两个问题需要特别注意：实数集（连续统）是不是一个良序集还有待证明；实数集比自然数集“大”是应该肯定的。

康托理论的“失误”在于，他没有区分一个无穷集合的逻辑层次，这也是后来罗素提出“类型论”的缘由。打一个通俗的比喻来说，n个氢分子和n个氘分子是一一对应的，从分子的层次看，它们的“基数”相等，但从原子的层次看，它们的“基数”不相等。同样的道理，“数”也是分层次的，但所有的“数”都是由层次最低的“原子数”逐渐构造出来的。所以，比较两个无穷集合的基数大小，必须要把它们的元素规约到同一层次的“构成元素”才行。我们确实需要建立一种新的无穷观，而且不同的无穷观可能会产生不同的集合论，像不同的几何公理产生不同的几何学一样。

3.无穷集合到底是什么？

譬如，在数学上，我们讲一个无穷集合S存在，这句话到底是什么意思？S真的存在吗？这就涉及到了哲学问题。

我最早是学哲学的，特别是认知论和知识论，专业地讲，这个哲学领域包括分析哲学、语言哲学、数理哲学、科学哲学、归纳逻辑和概率论等许多分支，但其核心问题是“归纳问题”，从根上说，就是如何认识数学理论与真实世界之间的关系。

一种简单的解释是，人们理性认识外在世界经历了两次抽象过程。第一次抽象是逻辑的抽象，也就是对外在世界诸现象形成“类”的概念，即把诸现象甄别区分为不同的“类型”或“类别”，“类”是逻辑的基础；第二次抽象是数学的抽象，也就是在“类”的基础上再形成“数”的概念，因此罗素把“数”定义为“类的类”，数学的本质就是类的演算。“类”和“数”都是虚构的，所以逻辑和数学描述的只是真实世界的模型，是人类思维中的“世界图像”，而不是真实的世界。

我提出了一个假设：一个全称命题“任一x，Fx”都等价于一个无穷命题“任一x∈ωn ，Fx”，其中x表示个体，ωn 表示一个无穷域（相当于一个超穷数），F表示一个“类”（谓词）。因此，当我们讲到一个无穷集合F存在时，其实是说，世界上存在某个“类”，其取值范围（论域）大小为ωn 。显然，一个“类”可以蕴涵另一个“类”，即比它更大，其论域大小自然也是逐渐增大的。在数学上，我们认为各种无穷集合都是存在的，但这种存在性都必须找到其相应的逻辑结构才行。

我的深入研究表明，集合论可以为概率归纳逻辑提供一种合理的解释模型，这种方法又可以用来合理地解决“归纳问题”，更加深入的研究人类的思维、认知和知识之谜。利用这种方法，可以较合理地解决像“亨佩尔悖论”、“绿蓝悖论”等逻辑困难，还可以较好地解释非帕斯卡概率的逻辑模型，这种概率有个独特的性质，即如果一个命题A的非帕斯卡概率a＜1，那么其否定命题﹁A的非帕斯卡概率等于0而不是等于1－a。我研究连续统假设近十年，其实最初的想法是想研究概率归纳逻辑，但我发现，集合论可以为我的认知论哲学提供一个纯粹的、抽象的理论基础。

所以，我认为，数学是研究专门问题的，只有研究某个专门问题，数学才有生命力。像“推翻××理论”、“××理论的终结”等等这样的标题，是新闻稿的写法，不是学术论文的写法，我真心希望大家讨论学术问题时不要用这样引人注目的标题，多谈具体问题，少谈哲学。

4.我和一位网友的讨论

下面是我回答一位网友对我6个证明大纲的提问，我认为他提得很有意思，摘录如下：

“我觉得真实的连续统假设可能像您说的那样是否定的，但又可能是我们制定的规则本身它没有完全反映出真实的规律，我不知道在数学上的定义是不是真理，或者某一天数学的定义会发生一种全新的变化，正如我们发现自己身处的宇宙正在膨胀而非静止一样。在以前，数学的思维方法产生对科学有影响的观点，反过来，科学的观点能否对数学的思维方法产生影响呢？世界是奇妙的，不必感叹于我们身处的世界如何奇妙，可能我们只能生存在这样的世界中。不过我的直觉告诉我实数问题是有可能解决的，因为它毕竟是实在的东西……我期待连续统假设有一个真正真实的解答。

“先假设π在数轴上且不以点的形式存在，那么它就可能正在表征一种除点以外直线的构成单元，它所占的位置可能比点还要小，因为它如果位于一个精确到无穷小的区域里，而这个区域又小得容不下一个点，那它只能是一个比点还小的单元。这里有一个很有趣的现象，我们在数轴上以原点为中心标示出单位为1和—1的点，想象数轴象麻线一样可以改变形状，那我们以1和—1为端点，把这两点中间的数轴向上隆起来形成一个以原点为圆心，单位1为半径的半圆，这有点象以圆的形式把原来1和—1之间的直线段拉长了，假设我们本身位于数轴上而且并不知道这种拉长行为，那我们在原来数轴上位于—1的点上将以弯曲的眼光看到一个数值为π的精确的点，它位于原来数轴上等于1的那个点。这有点像把原来直线数轴上的那个比点还小的表征π的单元拉长了，长到它能够以一个点的形式给我们看到。这种现象就像波粒二象性，那个比点还小的单元就像一种波，我不知道在数学上存不存在这种像物质深层次的现象，如果它存在，它存在的意义又是什么，它以多少种方式存在。

“如果上面的答案是否定的，我认为情况就完全改变了，在高等数学中，如果一个点向某个固定的点趋近并以后者为极限，那么在这两点无限接近时这两点间的距离就为无穷小量，它是变量，根据高数中对连续的描述，这两点间不可能再插入第三个点，那么，就有两种情况，第一种，这两点间的距离小到里面容不下任何东西，也就是说它是空的；第二种，这两点间的距离小到里面容不下一个点，但是还有其它东西在里面，这种情况有点像圆周率π，π用作图的方法无法在数轴上以一个精确的点的形式表示出来，这里也有两种情况，第一，π不在数轴上，但这样是很奇怪的，因为我们可以在数轴上将π所在的区域确定，而这个区域又是连续的，那么只要π是一个有大小的数，它就必定存在于数轴的某个地方；第二，π不是以点的形式存在于数轴上，如果真是这样，那么对于某些超越数加法消去律不成立的现象就可以理解了，它们并不是以点的形式精确位于数轴上；当然，还有另外一种可能，π确实是数轴上的点，只是我们还没找到标示它的方法。”

我的答复如下：

1. 看得出来，您是一个实在论者，相信连续统是真实存在的。我也相信全体实数存在，否则数学研究（像微积分、泛函等）就没有意义了。所以，无论如何，必须先验地肯定全体实数的总体存在。数学（科学）的基础就是假设，数学是虚构的宇宙模型，它并不是真实的宇宙，而是人类思维中的宇宙。思维中永远存在矛盾，数学中也是如此。

2. 我的证明结果只是表明，用数学构造（超限归纳）的方法不可能穷尽全体实数。您谈到π是不是实数系上一个点的问题，在非标准分析中，实数系上的某些点是可以无限细分的，点只是一种几何直觉，而这种直觉看来也是有问题的。

3. 我的证明只是一种可能性，但完全还有其他的可能性，而且我并不认为我的证明是绝对正确的，它也可能有错。您期待连续统假设有一个真正真实的解答，我想也有可能存在这种答案，就像存在不同的几何学那样。但有一点是可以肯定的，千万别相信数学（科学）描述的是真实的世界。

供大家研究参考。