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第二章 相对论允许的方程
第二部分
相对论不变方程(Gel'fand方法)
3 什么是相对论不变的方程?
3.1 一个例子:SO (3)群
坐标系的三维转动下不变的量
3.1.1 SO (3)群
三维正交变换群(O (3)群),SO (3)群,生成元满足的关系(李代数)。物理量按照SO (3)群的表示分类。
3.1.2 SO (3)群的表示
表示空间,可约与不可约表示,表示的直乘分解。
3.2 方程的形式
考虑方程
如果在坐标变换下不变,则该方程是相对论不变的。
4 Lorentz群的性质和表示
4.1 Lorentz群的性质
4.1.1 连通性
Lorentz群O (3,1)群由四片互不相连的部分构成。
4.1.2 生成元
Lorentz群是一个六参数群,六个生成元为:绕三个空间轴的转动J,联系任一空间轴和时间轴的转动,或称为boost,K。Lorentz群局域同构于SO (3)SO (3)。
4.2 Lorentz群不可约表示的两种表示方式间的关系
4.2.1 Lorentz群的表示
可以用两个SO (3)群的表示来构造Lorentz群的表示:D(j1,j2) 也可以被表示为~ (l0,l1),其中l0 = j1 - j2 l1 =j1 + j2 + 1
4.2.2 两种表示方式间的关系
D(j1,j2) (j1 - j2 ,j1 + j2 + 1)
表示D(j1,j2)与D(j2,j1)是共轭的,即(l0, l1)与(-l0, l1)是共轭的。
5 时的情况
从物理上说也就是质量不为0时方程是相对论不变的条件。相对论不变时要求各个算符满足
5.1 满足的关系
满足的关系可由六个生成元代表的无穷小Lorentz变换得到,而所得结果表明只要找到了L0就可以直接求出Li (i = 1, 2,3)。
5.2 L0满足的关系
5.3 L0的具体形式
L0矩阵元的具体形式,interlock表示。
5.4 Li的具体形式
Li矩阵元的具体形式
5.5 在完全Lorentz群下不变的情况
固有Lorentz群的共轭表示,完全Lorentz群的不可约表示,空间反演算符S的具体形式。
6 Dirac方程
按照两个interlock的表示变换的态。
6.1 的确定
针对基矢为的情况,得到的矩阵形式。
6.2 Dirac方程
自旋粒子满足的方程,与矩阵完全相同,Dirac方程。
7 Klein-Gordon方程
按照interlock的表示(0, 1)和(0,2)变换的态满足的方程。
7.1 的确定
对于基矢求的矩阵元。
7.2 方程的形式
状态的五个分量不独立,无自旋粒子满足的方程,Klein-Gordon方程。
8 自旋1粒子满足的方程
按照interlock的表示D(1,0) D() D(0,1)变换的态满足的方程,Proca方程。
9 = 0时的情况
对应物理中无质量粒子情况。满足的关系,与情况的对比。
9.1 无质量自旋粒子满足的方程
按照表示变换的态满足的方程,二分量中微子满足的方程。
9.2 Maxwell方程
按照表示~(1,2)和~(-1,2)变换的态满足的方程,无质量自旋1粒子满足的方程,Maxwell方程。
这部分内容,你最好还是向Gel'fand自己学学吧:
I.M. Gel'fand, R.A. Minlos, and Z. Ya. Shapiro, Representations of the rotation and Lorentz groups and their applications, Pregamon Press, Oxford, 1963.
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