第二章    相对论允许的方程
                                                               第二部分

                  相对论不变方程（Gel'fand方法）
3 什么是相对论不变的方程？
  3.1 一个例子：SO (3)群
          坐标系的三维转动下不变的量
     3.1.1  SO (3)群
           三维正交变换群（O (3)群），SO (3)群，生成元满足的关系（李代数）。物理量按照SO (3)群的表示分类。
     3.1.2  SO (3)群的表示
          表示空间，可约与不可约表示，表示的直乘分解。
  3.2 方程的形式
           考虑方程

           如果在坐标变换下不变，则该方程是相对论不变的。
4 Lorentz群的性质和表示
  4.1 Lorentz群的性质
     4.1.1 连通性
           Lorentz群O (3,1)群由四片互不相连的部分构成。
     4.1.2 生成元
           Lorentz群是一个六参数群，六个生成元为：绕三个空间轴的转动J，联系任一空间轴和时间轴的转动，或称为boost，K。Lorentz群局域同构于SO (3)SO (3)。
  4.2 Lorentz群不可约表示的两种表示方式间的关系
     4.2.1 Lorentz群的表示
           可以用两个SO (3)群的表示来构造Lorentz群的表示：D^(j₁,j₂)  也可以被表示为~ (l₀,l₁)，其中l₀ = j₁ - j₂    l1 =j₁ + j₂ + 1
     4.2.2 两种表示方式间的关系
           D^(j₁,j₂)  (j₁ - j_2 ,j₁ + j₂ + 1)
           表示D^(j₁,j₂)与D^(j₂,j₁)是共轭的，即(l_0, l₁)与(-l_0, l₁)是共轭的。
5  时的情况
     从物理上说也就是质量不为0时方程是相对论不变的条件。相对论不变时要求各个算符满足

  5.1  满足的关系
     满足的关系可由六个生成元代表的无穷小Lorentz变换得到，而所得结果表明只要找到了L⁰就可以直接求出Lⁱ (i = 1, 2,3)。
  5.2   L⁰满足的关系

                

                  

  5.3 L⁰的具体形式
      L⁰矩阵元的具体形式，interlock表示。
  5.4 Lⁱ的具体形式
      Lⁱ矩阵元的具体形式
  5.5 在完全Lorentz群下不变的情况
      固有Lorentz群的共轭表示，完全Lorentz群的不可约表示，空间反演算符S的具体形式。
6 Dirac方程
     按照两个interlock的表示变换的态。
  6.1 的确定
      针对基矢为的情况，得到的矩阵形式。
  6.2 Dirac方程
      自旋粒子满足的方程，与矩阵完全相同，Dirac方程。
7 Klein-Gordon方程
    按照interlock的表示(0, 1)和(0,2)变换的态满足的方程。
  7.1 的确定
     对于基矢求的矩阵元。
  7.2 方程的形式
     状态的五个分量不独立，无自旋粒子满足的方程，Klein-Gordon方程。
8 自旋1粒子满足的方程
    按照interlock的表示D^(1,0) D⁽⁾ D^(0,1)变换的态满足的方程，Proca方程。
9 = 0时的情况
    对应物理中无质量粒子情况。满足的关系，与情况的对比。
  9.1 无质量自旋粒子满足的方程
     按照表示变换的态满足的方程，二分量中微子满足的方程。
  9.2 Maxwell方程
     按照表示~(1,2)和~(-1,2)变换的态满足的方程，无质量自旋1粒子满足的方程，Maxwell方程。

这部分内容，你最好还是向Gel'fand自己学学吧：

I.M. Gel'fand, R.A. Minlos, and Z. Ya. Shapiro, Representations of the rotation and Lorentz groups and their applications, Pregamon Press, Oxford, 1963.

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