湍流问题是世界物理学最难的问题之一，从纳维-斯托克斯方程建立到现在已经近200年了，可是到现在科学家认为还没有解决。湍流问题有多难？湍流问题曾经吸引和聚集了一批世界顶级科学家，包括世界著名科学家，雷诺，索末菲(Sommerfeld)，普朗特、泰勒、冯卡门、Liepmann, Kolmogorov、周培源、林家翘、Batchelor、Corrsin、Kline、Kraichnan、Orszag、Lumley等人，还包括著名诺贝尔奖获得者瑞利、海森堡、费曼、朗道、Chandrasekhar、Onsager等人。所有这些人，每位都是百年不遇的天才。

著名物理学家，诺贝尔奖获得者费曼曾经说过，湍流是经典物理学中没有得到解决的最后一个难题。自从纳维-斯托克斯方程建立近200年来，有若干位世界著名科学家曾经从事湍流的研究，并做出了杰出贡献。后来，因为湍流问题太难了，有若干位科学家都心不甘愿地改行了，显示出了他们的无奈。这里面有世界著名科学家，1 海森堡、2 Chandrasekhar、3 Onsager、4 林家翘、5 Kline、6 Batchelor等人。其中前三位，改行后在新领域，后来都拿了诺贝尔奖。后三位，在新的领域里，也都做出了杰出的成就。

1. 海森堡，原来研究湍流、后专攻量子力学

沃纳.海森堡(1900-1975)

沃纳.海森堡(Werner Karl Heisenburg, 1900-1975)，德国物理学家，应用数学家，量子力学的主要奠基人之一，1932年诺贝尔物理学奖获得者。

海森堡的博士导师是索末菲Sommerfeld，是德国著名的物理学家，他的学生中有若干人获得了诺贝尔奖。根据资料介绍，索末菲曾被提名诺贝尔物理学奖81次。他早期从事湍流研究，和Orr先后几乎同时提出了著名的Orr-Sommerfeld方程（1907-1908），用以研究流动稳定性。

海森堡跟随索末菲读博士时，索末菲给海森堡的博士论文题目就是流动稳定性问题。海森堡在进行了2年多的博士论文研究之后，经过近似计算，在雷诺数和波数图上得出了稳定性的边界（后面的图1所示）。这个近似结果遭到了博士答辩委员会的质疑，答辩差点没有通过。

1924年，海森堡博士毕业后，专攻量子力学，1926年提出了矩阵量子力学，成为了量子力学的主要奠基人之一，1932年获得了诺贝尔物理学奖。

1944年，林家翘先生在加州理工学院的博士论文，验证了海森堡博士论文得出的结果，基本是正确的。后来在1940年代末，海森堡心有不甘，又回来研究湍流，由于从1930年代湍流统计力学的应用和兴起，这次他是用统计力学的方法，提出了湍流能谱的标度律，1948年发表了3篇论文。1950年，为了进一步验证海森堡和林家翘先生的分析结果，冯卡门邀请计算机专家，他的匈牙利同胞、冯诺依曼进行讨论，冯诺依曼指导托马斯博士（后任职哥伦比亚大学），第一次在数字计算机上进行了数值求解，1952年计算出结果，证明了海森堡和林家翘的结果是正确的。

湍流问题是海森堡一生的坎，直到生命最后也没有解决，仍是念念不忘。相传，他临终前在病榻上说过，“当我见到上帝后，我要问他2个问题，为什么会有相对论，为什么会有湍流，上帝可能只对第一个问题有了答案。” 杨振宁教授撰文讲到，海森堡是他最崇敬的物理学家之一。

2. Chandrasekhar，曾长期研究湍流、专攻天体物理学

S. Chandrasekhar (1910年10月19日-1995年8月21日)

Subrahmanyan Chandrasekhar (1910年10月19日-1995年8月21日)，美国芝加哥大学物理学教授。印度裔的天才的物理学家、天体物理学家、应用数学家。

Chandrasekhar一生从事天体物理学的研究，他早期在剑桥大学读研究生时，对黑洞问题的研究，做出了突破性的成果，但在当时遭到打压。然后他曾长期从事湍流的研究，在流动稳定性和湍流统计理论方面，做出了重要贡献。从1940年代到1960年代，他主要研究了Taylor-Couette流动、 Rayleigh-Benard 对流以及湍流的统计理论。后来他放弃了湍流，专门研究天体物理学，在黑洞理论上得到了突破，于1983年获得了诺贝尔物理学奖。

Chandrasekhar的著作：Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford Press 1961；The Theory of Turbulence -Subrahmanyan Chandrasekhar's 1954 Lectures, Springer 2011（以及天体物理学著作若干部）；这些著作都是湍流研究的经典文献。

3. Onsager，曾经研究湍流、专攻非平衡态热力学

Lars Onsager，1903年11月27日－1976年10月5日

拉斯·昂萨格（Lars Onsager，1903年11月27日－1976年10月5日），挪威出生，美籍化学家，美国耶鲁大学博士和教授。他因发现非平衡态热力学的一般关系，提出了倒易关系而获得1968年诺贝尔化学奖。

Onsager早年从事湍流研究，提出了很多的想法，由于当时他的思路与湍流领域的专家不是一路，他的大量研究湍流的手稿，都没有发表。在1949年之后就再也没有做湍流方面的工作。严格来说，这还不能叫改行，他做出描述不可逆热力学过程的线性唯象定律中各系数间的倒易关系，是在1931年。只是后来做了一段湍流，做不下去了，就放弃了。2006年，Johns Hopkins的Eyink教授和马里兰大学教授、美国工程院院士Sreenivasan教授，阅读了Onsager教授的手稿，对Onsager关于湍流的工作写了一个总结“Onsager and the theory of hydrodynamic turbulence，”发表在了物理学顶级期刊 Review of Modern Physics上。

如果Onsager不是诺贝尔奖获得者，还会有人去关心一位化学研究者的湍流的研究手稿吗？RMP还会发表他的手稿的的总结报告吗？

Onsager的一个著名的猜想，Onsager conjecture 1949，就是指的当雷诺数无穷大，Euler方程无粘流动的解的能量耗散不趋于零。这个问题最近20年做的很火，被数学家们广泛研究，发了若干篇顶级数学期刊论文，加州理工学院数学系的Philip Isett教授，因对此猜想的研究获得了2019年美国Clay数学所的Clay Research Award。

4. 林家翘，曾经研究湍流、后专攻天体物理学

林家翘（1916年7月7日—2013年1月13日）

林家翘（Chia-Chiao Lin，1916年7月7日—2013年1月13日），美国麻省理工学院数学系教授，应用数学家。

林家翘先生1940年代在加州理工学院跟随冯卡门攻读博士学位，题目就是湍流（PhD, 1944）。他用数学上的渐进分析方法，对Orr-Sommerfeld方程进行了研究，针对两个平行平板间的压力驱动流动，得到了流动失稳的临界条件，得到了临界雷诺数是8000，一年后经过改进算法，得到临界雷诺数为5314，如图1。证明了20年前海森堡的结果基本是正确的（海森堡的临界雷诺数的估算结果是1000左右），不要看误差怎么这么大，这在早期已经是很好的结果了，主要是到底存在不存在一个临界雷诺数，这是一个到底失稳与否的分水岭。Thomas 在1952年的计算机数值求解结果是5780。沈申甫1954年的得到的结果是5360。Nachtsheim 在1964年得到的结果是5767。Orszag在1972年采用谱方法计算得到的结果是5772，人们认为这个结果是最精确的。

从下面图1可以看出，海森堡1924年猜测的结果，与林家翘后来1946年的计算结果，除了数值大小有差异之外，特性几乎基本一致。因此，终于是聪明不过海森堡，在没有任何参考文献和数据的情况下，猜的数据，就那么像。

图1 （a）海森堡的估算结果（1924），临界雷诺数大约为1000，波数约为0.65；（b）林家翘的计算结果（1946），临界雷诺数为5314，波数为1.0414。从2个图上看，两人得到的临界雷诺数差别真是不大，因为Re数是开了3次方的，海森堡是10，林家翘是17.45。

关于上述结果，这里需要插上一段。许多物理学家和应用数学家，开始认为预测出了临界雷诺数，证明了流动失稳，湍流就发生了。可是，让人们失望的是不同人实验得到的临界雷诺数都为1000左右，与预测值5700左右相差甚远。这个差异一直讨论了几十年，从1956年一直到了1993年，百思不得其解。1993年，著名应用数学家、康奈尔大学教授Trefethen（现在牛津）和合作者在Science发表了论文，认为理论预测与实验值的差异是计算中线性方程组的算子向量基不正交引起了瞬态增长，使得湍流转捩提前。实际上，从1991年起，欧洲、美国一批应用数学家，就在此方向在JFM和PoF等期刊发表了大量论文，主要就是计算线性偏微分方程的特征值及扰动瞬态增长，并不是通过流场的实际瞬时信息判断流动的稳定性。后来法国理工的Schmid教授2007年在ARFM发表了综述文章，对此理论进行了总结。根据他们得到的结果，扰动瞬态增长必定引起更大的扰动，但这种方法仍然是在线性方程范围内，看不出这种方法和湍流转捩有必然联系，这种方法并不能给出转捩准则。理论结果仍然不能取得与实验一致，更不能解释湍流产生的机理，湍流难度的症结一直没有找到。

林家翘先生在湍流方面的另一项重要工作是，他追随冯.卡门，发展了各向同性湍流的能谱理论，对均匀各向同性湍流的两点结构函数，基于Karman-Howarth方程，得到了经过傅里叶转换后的能谱方程，现在称为Lin方程（1948）。 林先生的专著，The Theory of Hydrodynamic Stability （1955，剑桥大学出版社），是很著名的参考书。

主要基于上面2方面的工作，林家翘先生的在美国声望很高。特别托马斯1952年的电子计算机的数值结果出来后，林先生得到了很高的荣誉，如1973年美国物理学会颁发的第二届奥托·拉波特奖（Otto Laporte Award），1979年美国物理学会颁发的首届流体力学奖（The first Fluid Dynamics Prize）。在1950-1960年代，林先生是除普朗特、泰勒、冯卡门之外，在欧洲和美国流体力学界是排名第一的人物。可是，在1960年后，正当风头正劲时候，林先生放弃了湍流，转向天体物理学方向，与他的学生徐遐生（后来当了台湾清华大学校长）一起，提出了螺旋星系的密度波理论，2004年林家翘获得了邵逸夫奖（天文学奖）。2009年徐遐生获得了邵逸夫奖（天文学奖）。

林先生放弃了湍流，可能也是出于无奈。从1944年做出了那个惊人的结果，震撼了流体力学界。但是，随后到1960年的15年间，此问题没有进一步进展，可能考虑到再继续下去也不会解决（就是到了2000年，还是没有进展。即计算值5772，实验值1000，湍流产生原因不能解释，参见2000年RMP的综述文章）。2001年，著名湍流专家、ARFM的主编Lumley在FTC的长篇综述文章中说，湍流研究进行了100多年，仍还处于婴儿时期，还看不到湍流解决的希望。据有文章介绍，当谈到湍流问题时，林先生对朋友说，你看海森堡、Chandrasekhar，还有我，研究湍流，研究出了什么成果了吗？因此看来，林先生放弃了湍流，是有原因的。

据公开资料介绍，郭永怀先生的夫人李佩先生回忆，在冯卡门的几位杰出的中国学生中，林家翘是最聪明的，（冯卡门的中国学生有钱学森、郭永怀、林家翘。钱伟长作为工程师，当时也在冯卡门负责的CIT的喷气推进实验室工作）。林先生曾长期担任美国工业和应用数学会的主席，晚年曾回到北京清华大学任教，研究计算生物学。

5. Kline，研究湍流、后专攻科学创新与社会研究

Stephen Jay Kline (1922-1997)

Stephen Jay Kline (1922-1997)，美国斯坦福大学机械工程系教授，实验流体力学家。是今天介绍的六位天才科学家里面唯一的一位学工出身的。

Kilne教授长期从事流体力学及湍流的研究，他的论文，本人读研究生时期都读过，他和同事1950-1960年代的中间10年，一直从事扩压器的研究，他们1959年的扩压器的关于分离和失速的研究，获得了美国机械工程师协会ASME的Melville Medal。后来进行的边界层的研究，1967年通过边界层流动的氢气泡的可视化实验，发现了湍流的“猝发”现象（图2），揭示了湍流产生的大尺度结构，实验显示湍流不是随机运动，而是具有“拟序结构”的运动，这些结果否定了湍流的长达几十年（1930-1960年代）的随机运动学说。Kline教授的这个结果，改变了人们几十年来对湍流的看法，可以说是湍流研究上个世纪100年间最重要的成果之一。虽然这个研究成果是1967年发表，据斯坦福大学介绍，这个工作实际上已经进行了10年。Kline因这个研究成果获得了1975年ASME的Fluid Engineering Award。前几年有专家在Nature撰文说，诺贝尔奖对流体力学不公平。可以说，Kline教授这个级别的结果，如果放在量子力学里或其他物理学科里，拿诺贝尔奖没有任何问题。1968年Kline教授组织了历史上著名的斯坦福边界层研究学术会议，具有广泛深入的影响，成为了一个里程碑。

图2 边界层中低速流体层不稳定而产生猝发的物理机理（The mechanics of streak breakup），第一次得到了湍流“拟序结构”的实验证据。图片来自实验测量结果 （Kline et al.， 1967，此文是流体力学学科引用率最高的文章之一，Google学术搜索引用4000多次。顺便说一下，另一篇“拟序结构”著名文章Brown and Roshko 1974也是4000多次)。

Kline教授和合作者的边界层“猝发burst”或者“breakup”的实验结果，在之后及整个1970和1980年代，被世界各地同行的大量实验所证实。著名湍流专家、加州理工学派的传人之一、西班牙马德里大学的Jimenez 教授2012年在ARFM发表综述文章中，再此确认了Kline发现的“burst”现象是正确的，并对过去有人试图否定的言论进行了批评。可是，“猝发”现象的物理机理或者理论解释（当时的解释是剪切层不稳定，发生失稳导致了breakup。看着像那么回事，实际上解释是比较模糊的。比如是线性失稳还是非线性失稳？失稳为什么流体会“跳起”？，Burst的能量哪里来的？Burst为什么是间歇性的？），50多年来一直没有找到，直到2021年窦华书教授通过能量梯度理论证明了湍流的“猝发(burst)”现象是Navier-Stokes方程的奇点所引起，奇点释放导致了“猝发”，即猝发是湍流的“起源”。并精确地证明了猝发是湍流从平均流动获得能量的主要途径，“猝发”相当于湍流产生的“Engine”【1-3】。而且，理论预测的“猝发”产生的位置，也与实验相同，这样，理论与实验获得了完美的一致。

大家说湍流问题有多难吧，即使Kline教授发现了湍流产生的“猝发”现象，直到50多年后才有人从理论上搞清了它的物理机理和根源。纵观湍流研究发展的百年历史，经历了，圆管流动转捩实验 -雷诺方程建立 -流动稳定性 -统计理论 -随机运动 -TS波验证及线性理论再兴起 -非线性理论 -三维失稳 -大尺度结构 -拟序结构 -非常大尺度结构，等不同阶段，现在发现kline的重大发现在湍流研究历史上的地位更为重要。

从1990年代开始，许多壁面流动中的湍流猝发现象，已经被DNS数值模拟所扑捉到，而DNS是根据Navier-Stokes方程进行的。因此，湍流“猝发”的理论根源应该从Navier-Stokes方程里面去找。窦华书发现的奇点（导致猝发），正是通过理论分析Navier-Stokes方程，所发现的。

过去人们认为，Kline发现的湍流的“猝发”只是壁面流动中的现象，甚至有很多人认为“猝发”是壁面引起的。最近20年的实验及DNS/LES数值模拟结果显示，不只是壁面流动，自由剪切流动里（射流、尾迹）湍流的产生机理也是“猝发”。根据窦华书的理论，猝发是湍流产生的唯一途径（奇点释放）【1】。今后20年里，如果要做精确统一的湍流模型，只有把“猝发”现象考虑足够，模型才会可靠，而且通用。

Kolmogorov的K41理论，从1941年到现在过去了80多年，已经非常popular。K41理论的核心是在湍流能量随波数变化的惯性子区，能量是从大涡向小涡传递的，并服从-5/3次方定律。可是K41理论不能解释的是大涡是怎么产生的？大涡能量是从哪里来的？根据窦华书的理论，Kline教授发现的猝发现象，就是大涡及其能量的来源【1-3】。

Kline教授一生对人文文化和社会学很感兴趣，在1975年后，Kline教授，放弃了湍流，从事科技创新和技术转化方面的研究，阐述“科学与社会”的关系，是斯坦福大学“科学、技术与社会”项目的负责人，直到去世，并有著作《多学科思考的概念基础》（斯坦福大学出版社，1995年），在阐明多学科思维的概念基础方面发挥了领导作用。Kline还有2本专著是，《相似与近似理论》1965第1版，1986年第2版，Springer；《熵与解释热力学的真相》，1999年, DCW Industries。

记得Kline教授有一个斯坦福大学的学生，是宇航员。Kline教授去世前不久，还去美国的一个宇航发射基地，观看他的学生升空的激动场面。

1981年，Kline入选美国工程院院士的评语是“Contributions to understanding the physics underlying turbulent shear flows, methods for internal flow design, and leadership in technology-society programs.” 分别代表Kline在湍流、扩压器、科学与社会，三个方面的贡献。

6. Batchelor ，原来研究湍流、后专攻悬浮流动

George K Batchelor (1920-2000)

George K Batchelor（1920-2000），剑桥大学数学系教授，应用数学家，曾任剑桥大学应用数学和理论物理系系主任。

Batchelor教授是澳大利亚人，出生于墨尔本，他在1940年代末，和好友Townsend一起来到剑桥大学，追随Taylor教授学习湍流，二人都在湍流研究方面做出了突出成就。剑桥大学流体力学实验室，在泰勒和Batchelor教授两代领导人的主持下，成为了国际流体力学研究的学术重镇，形成了流体力学的剑桥学派，这里走出了若干位重量级的教授，如加州理工学院的Saffman，斯坦福的Van Dyke（1954-1955Visiting Cambridge），澳洲国立大学地球物理系的Turner，Johns Hopkins的地球科学系的 Phillips，剑桥大学的Moffatt等人。Batchelor教授在1956年创办了国际期刊 Journal of Fluid Mechanics， 并长期担任主编。大家熟悉的他的两部著作，An introduction to fluid dynamics 1967; The Theory of Homogeneous Turbulence 1953，以及Townsend的著作 The Structure of Turbulent Shear Flow 1956和1976，是上个世纪湍流研究难得的重要参考文献。后来，由于“Batchelor被湍流折磨得心力憔悴”，在1950年代末他放弃了湍流、专攻悬浮流动，在多相流动领域，做出了奠基性的工作。

澳大利亚墨尔本大学著名湍流专家Athony E Perry，在湍流研究方面曾做出杰出贡献（附着涡提出者），在2001年英年早逝。虽然他没有留学剑桥大学（访问过剑桥大学），但其研究深受Taylor和Batchelor的影响。Batchelor和Townsend在成名后，都曾访问过家乡的墨尔本大学。Perry的两位杰出学生 Alex J Smits （Princeton）和 Ivan Marusic (Melbourne)，做的湍流研究，具有剑桥大学的风格及传承。

为了纪念Batchelor在流体力学方面做出的重大贡献, IUTAM和剑桥大学出版社联合设有流体力学方面的国际性大奖，Batchelor奖，获奖者被邀请在每四年一次的International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (ICTAM)上作学术报告。此奖项每4年评选一次，每次一人，2024年是第五次（ICTAM今年8月将在韩国召开），五位获奖者分别为：2024 Charles Meneveau; 2020 Alexander J. Smits; 2016 Raymond E. Goldstein; 2012 Detlef Lohse; 2008 Howard Stone。

后记：

湍流研究实际上是物理学问题，也是应用数学问题，但又是应用广泛的工程问题。许多科学家为湍流研究的几位杰出科学家没有获得诺贝尔奖鸣不平。作者认为，最应该获得诺贝尔物理学奖的4位科学家是普朗特、泰勒、冯卡门、Kline。获奖理由如下（仅仅湍流方面）：

普朗特：建立了边界层理论；提出了混合长度理论；提出了粘性对湍流的双重影响；最早揭示了湍流流动的若干流动现象。

泰勒：建立了湍流统计理论，提出时空关系的冻结假说；通过数值计算和实验，预测了Taylor-Couette流动的失稳及Taylor涡生成，开创了流动稳定性研究，为湍流的深入研究奠定了基础。

冯卡门：建立了湍流统计理论；提出了湍流壁面区的对数律；发展了边界层理论及其相似理论；发现了卡门涡街现象及尾迹失稳的物理机理。

Kline：发现了湍流生成的“猝发”现象，找到了湍流产生的根源；开辟了湍流大尺度结构的研究方向；结束了湍流是随机运动的学说。

湍流问题虽然很难，国内外已经进行了100多年的研究，前人积累了大量研究成果。湍流产生的物理机理已经破解，湍流是奇点导致的“猝发”产生的【1-10】，现在可以扩展到若干个基础科学问题上去。比如其他湍流问题，考虑浮力、超音速、电磁力、粘弹性、流体固体界面干扰、分层流动、自由面流动、多相流动、颗粒材料、河底起沙、沙漠迁移、血液流动、脑电波湍流机理，等等；还有大气湍流、海洋洋面湍流、星际流动、黑洞形成、地幔流动导致的地震等等。

最后，我们有一个问题，海森堡、林家翘他们为什么要改变研究方向？难道他们不知道解决湍流问题是一项伟大的科学成就吗？天才们与普通人不同的是，他们是要改变世界，普通研究人员只是为了工作。当他们认为不能解决湍流问题时，果断放弃去开辟新的研究领域。他们的情怀普通人不能理解，也就是自己的才华不能浪费，要做出对人类、对科学有贡献的东西，而不是为了去发表一些论文。

参考文献

1.Dou, H.-S., Origin of Turbulence-Energy Gradient Theory, 2022, Springer. https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-19-0087-7     (全书下载地址).

2. Dou, H.-S., Singularity of Navier-Stokes equations leading to turbulence, Adv. Appl. Math. Mech., 13(3), 2021, 527-553. https://doi.org/10.4208/aamm.OA-2020-0063 (AAMM);

https://arxiv.org/abs/1805.12053v10   (Arxiv）  （通过物理学推导出奇点）

3. Dou, H.-S., No existence and smoothness of solution of the Navier-Stokes equation,  

Entropy, 2022, 24, 339.  https://doi.org/10.3390/e24030339   （通过数学推导出奇点）

4.窦华书教授在纳维-斯托克斯方程问题上取得新进展，浙江理工大学官网新闻， 2021。

https://news.zstu.edu.cn/info/1033/41169.htm   （此学校网页白天能打开，晚上打不开）

或者 https://mp.weixin.qq.com/s/8letL1Z5XiFf-6Lw4GLe5Q     或者   

https://mp.weixin.qq.com/s/mnkwE67OPbGwHccqrePRrQ 

5. 窦华书，一个力学公理的建立揭开了湍流的秘密， https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1383011.html

6. 窦华书，千禧年大奖难题之一纳维-斯托克斯方程的解的存在性与光滑性的证明, 科学网博文，2022年5月。

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3057857&do=blog&id=1337452 

7. 窦华书，我是怎样创立能量梯度理论的？

https://mp.weixin.qq.com/s/tujupDNxbClLCFXGBKJVIA 

8. 窦华书：湍流及流动稳定性的公理、推论和定理， https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1372119.html  

9. 窦华书教授成功破解了百年湍流难题[转载]， https://blog.sciencenet.cn/blog-3057857-1364433.html   

10. 世界物理学百年难题——“湍流”之谜已被破解，文镁科技，2023年9月。 

https://mp.weixin.qq.com/s/zx4Zi59i01arqwhtHrMSng