斐波那契数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，…

有一些奇特的性质，引起了海内外数学家、物理学家、生物学家、化学家、天文学家、建筑师和艺术家，甚至社会学家和市场分析师的关注。

伽利略说过：“数学是上帝书写宇宙的字母表。” 有人把斐波那契数列称为是“大自然的密码”和“大自然的普遍法则”。事实果真如此吗？我们将在三篇博文中，分别从数学、科学和美学三方面进行介绍。

数学家斐波那契

斐波那契的真名是莱昂纳多·皮萨诺·比戈洛（Leonardo Pisano Bigollo，1170-1250），也被称为比萨的莱昂纳多（Leonardo of Pisa），是意大利比萨共和国的数学家。19世纪的历史学家给予他“斐波那契（Fibonacci）”这个绰号，大致意思是“波那契家族之子”，以把这位数学家和意大利著名画家、科学家列昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）区分开。

图1  斐波那契像（左）和比萨的斐波那契雕像（右）

斐波那契被认为是“中世纪最有才华的西方数学家”。1202年斐波那契出版的巨著《Liber Abaci（自由阿巴奇）》（参考资料[1]），是最早描述印度——阿拉伯数字系统和使用类似现代“阿拉伯数字”符号的西方书籍之一。有趣的是，书中还包含算术和几何级数求和，联立线性方程组，完全数问题，中国剩余定理问题等等许多数学问题的解决方案，对数学发展做出了重大贡献。事实上，今天常用的一些数学术语最初是在《Liber Abaci》中引入的。例如，斐波那契提到了“一个数的因子”或“一个乘法的因子”，“分子”和“分母”等等。该书被认为是13世纪数学百科全书。它数学严谨，应用性强，描述生动，展示了如何将数学工具应用于商业和贸易中——度量和货币的转换、利润的分配、利息的计算、货币的合金化等等。

这本书是欧洲第一本解释今天称为“斐波那契数列”的书。其实，并非斐波那契第一个发现这个序列的，因为之前，印度数学家就已经知道了——它早出现在使用印度教阿拉伯数字系统的古代梵文文献中，该文献比比萨的莱昂纳多早了几个世纪。

在《Liber abaci》书中的一个地方，斐波那契讨论了兔子繁殖问题，把现在被称为“斐波那契数列”的数列介绍给西方世界。但是，在书中只有一段关于繁殖兔子的短文，之后他再也没有提到这个数列。

直到19世纪，数学家们对该数列的性质进行了更多的研究。1877年，法国数学家爱德华•卢卡斯（édouard Lucas，1842-1891）正式将兔子问题命名为“斐波那契数列”。有趣的是，卢卡斯思考过序列的开始，想知道如果序列是从1和3开始，而不是从1和1开始，会发生什么。这个新数列（遵循相同的加法规则，也称为“卢卡斯数列”）是：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123…，然后卢卡斯将它与斐波那契序列进行了比较。

兔子问题

兔子问题是一个假想的繁殖过程：兔子永远不会死，每个月每对成兔（成熟的兔子）都会产一对幼兔（在下个月成熟）。在著作《Liber abaci》中，斐波那契说：让我们想象一对兔子（雌雄）。假设它们不能在出生后的第一个月繁殖。第二个月后，成熟的雌性产下一对新的幼兔。每一对都以同样的方式繁殖。问题是：一年后兔子对的数量是多少？

从虚构的一对幼兔（一只雌幼兔和一只雄幼兔）开始，第一个月兔子的总数是1对。第二个月，这对幼兔成长为成兔，月底，他们交配，但兔子仍然总数是1对。第三个月，月底雌兔产下了一对新的兔子，现在兔子总数是2对。第四个月，月底原来的雌性生产第二对（也是雌雄各一只），兔子总数3对。第五个月，月底原来的雌性又产下了一对新的，两个月前出生的雌性也产下了第一对幼兔，兔子总数共5对。…这个过程可以用下图表示：

图2 兔子繁殖

递归公式

如果用B(n)表示第n个月所生的幼兔，用A(n)表示第n个月成兔的数目，用F(n)表示第n个月兔子总数，容易看出:第n个月的成兔数目，是上个月兔子总数; 第n个月的幼兔数目，是上个月成兔的数目，也就是上上个月的兔子总数。即：

A(n)=F(n-1)

B(n)=A(n-1)=F（n-2）

因此，第n个月的兔子总数（成兔+幼兔）是前两个月兔子总数的总和：

F(n)=A(n)+B(n)=F(n-1)+F(n-2)

表1表示从一对幼兔开始的序列正是斐波那契数列。从中我们可以看出，十二个月后会有144对兔子。注意，表中总数F(n)、成兔A(n)和幼兔B(n) 三列，分别从第1个月、第2个月和第3个月开始呈现斐波那契数列模式。

表1 兔子繁殖过程

在

在计算机程序设计书籍中，优美的递归公式：

F(n)= F(n-1)+F(n-2)

经常被用于介绍递归编程的示例。例如，图3 Python程序包含递归计算斐波那契数列第n项的函数（只是用于演示目的，这个程序还可以进行多方面优化）。

图3 计算斐波那契数列第n项的Python程序示例

杨辉三角形

在数学中，杨辉三角形是出现在概率论、组合学和代数中的二项式系数的三角形数组。在西方世界的大部分地区，它是以法国数学家布莱斯·帕斯卡的名字命名的，尽管中国以及印度、波斯、德国和意大利的数学家早在他之前几个世纪就研究过它。

斐波那契数列与杨辉三角形（即，帕斯卡三角形）有关联：杨辉三角形中的对角线之和，是斐波那契数，如图4所示。

图4 杨辉三角形沿对角线求和得到斐波那契数列

黄金分割比

斐波那契数列与黄金分割比紧密相连。斐波那契数列中的数字之比，当数列趋于无穷大时，无限接近黄金分割比，即1.618033987498948482…。由此还可以计算出所谓的黄金螺线，或者一个对数螺线，其增长因子等于黄金分割比。

如果我们取斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，…）中连续的两个数的比值（将每个数除以前面的数），我们将得到以下数列：

1/1 = 1,   2/1 = 2,   3/2 = 1.5,   5/3 = 1.666...,   8/5 = 1.6,   13/8 = 1.625,   21/13 = 1.61538...

图5是分别是计算数列{f(n+1)/f(n)}和{f(n)/f(n+1)}的前15项的结果。可以看出，当n较大时，f(n+1)/f(n)和f(n)/f(n+1)分别是1.618…和0.618…，逐渐接近φ和1/φ。

如果F_i 表示第i个斐波那契数（i=1,2,3,…），则有：和。                                  

也就是说，连续两个斐波那契数之比的极限是黄金分割比，或者说，连续两个斐波那契数之比是黄金分割比（无理数）的有理形式。

图5 连续两个斐波那契数之比

黄金分割比在英文文献中有各种不同的名称，比如，golden section（黄金分割）, golden mean（黄金均值）, golden number（黄金分割数）, divine proportion（神圣比例）, divine section（神圣分割） 和 golden proportion（黄金比例）等，在本博文中，统一称黄金分割比。公元前300年，欧几里德把它描述为“极端和平均的比例（extreme and mean ratio）”。早在文艺复兴时期（15世纪到16世纪），艺术家知道它是神圣的比例。“黄金分割比”一词直到19世纪才出现。数学家马克·巴尔（Mark Barr）建议使用希腊雕刻家菲迪亚斯（Phidias）的名字的第一个字母来表示黄金分割比。通常使用小写形式φ。 有时，大写形式Φ用于φ的倒数1 /φ，也称为黄金分割比。

黄金分割比φ满足：，即

一方面，从二次方程容易推出：

可以进一步得到：

另一方面，还可以得到有趣的公式：

以及

黄金矩形

斐波那契数列（1，1，2，3，5，8，13，21，…）可以用图形表示。我们首先画一个边长为1个单位的小正方形，再画第二个边长为1个单位的小正方形，一条边接触并对准，组成一个矩形（长宽之比1:2）。然后画边长为2个单位（2=1+1）的小正方形，一条边与前面的两个小正方形组成的矩形一个长边接触并对准，与已经画的正方形组成一个新的矩形（长宽之比2:3），再画边长为3个单位（3=1+2）的小正方形，一条边与前面矩形的一个长边接触并对准，组成更大些矩形（长宽之比3:5）。接着画边长为5个单位（3=1+2）的小正方形，一条边与前面矩形的一个长边接触并对准，组成更大些矩形（长宽之比5:8）…。以此类推，每画一个新的正方形（边长都是斐波那契数列的数），与已经画的正方形组成的矩形，长宽之比都是两个连续斐波那契数之比，我们称之为斐波那契矩形。而长宽之比为黄金分割比的矩形，黄金矩形。图6是平铺平面的一个例子。

图6 使用边长为连续斐波那契数的正方形的平铺。

如果我们把组成较小矩形的平方和表示出来，我们得到这个模式：

这个规律它告诉我们，斐波那契数的平方和，等于斐波那契数列中最后一个数和下一个数的乘积。如果F_i 表示第i个斐波那契数（i=1,2,3,…），则有：

黄金螺旋

斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线。黄金分割比用螺旋形的贝壳表示。在图7中，壳的生长区域以正方形绘制。如果两个最小的正方形的宽度和高度为1，则其下侧的正方形的边为2。其他正方形的边是3、5和8。像图8这样的斐波那契螺旋，事实上与图7中的正方形使用相同的平铺的趋势。斐波那契螺线以φ或黄金分割比为基础，螺线在转了四分之一圈后，它变宽了一个因子φ。

这种螺线在自然界和艺术中都能被发现。螺旋形是由一种称为自相似或缩放的生长特性产生的，这种特性是指尺寸增大但形状保持不变的趋势。

图7 斐波那契螺线

黄金三角形

图8(A)是特殊的等腰三角形，或称黄金三角形，AB=φ•BC。图8(B)有两条不相交对角线的规则五边形， d₅=φ•s₅。图8(C)五角星，用了不同的颜色来区分不同长度的线段。四个长度——定义在边缘的交叉处——彼此成黄金比例。红色是绿色的1.618倍；绿色是蓝色的1.618倍；蓝色是品红的1.618倍。此外，较短线段的长度与由两条相交边（五角星中心五边形的一条边）限定的线段的长度之比为φ，如四色插图所示。五角星包括10个等腰三角形：五个锐角和五个钝角等腰三角形。黄金三角形有2种：第一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°，三角形的一腰与底之长之比为黄金分割比φ。图8(D)通过连接正十边形相对的顶点，划分出10个黄金三角形。

图8 黄金三角形

简洁美丽的公式

如果F_i 表示第i个斐波那契数（i=1,2,3,…）按照斐波那契数的定义：

我们可以有如下简洁、美丽的公式（头三个公式在前面见过）：

上述最后一个公式是计算第n个斐波那契数的Binet公式。

此外，

（1）任意十个连续斐波那契数之和可被11整除：例如，

13+ 21 + 34 + 55+ 89 + 144 + 233+ 377 + 610 + 987 = 2,563

正好可以被11整除，因为

11×233 == 2,563.

（2）连续斐波那契数是相对素数：也就是说，它们的最大公约数是1。

（3）处于复合数位置的斐波那契数（第四个斐波那契数除外）也是复合数。另一种说法是，如果n不是素数，那么Fn就不是素数（n=4除外，因为F4=3，是一个素数）。

（4）如果p可被q整除，那么Fp可被Fq整除。例如，p=6可被q=3整除，则F_p=8可被F_q=2整除。

还有许多这样的关系式，真是令人难以置信。加上斐波那契数列在自然界许多地方出现，及其在许多领域的广泛应用，引起几代数学家对它感兴趣也就不足为奇。

结语

虽然斐波那契数列不是斐波那契首先发现的，但斐波那契编的《Liber Abaci（自由阿巴奇）》，通过编译和集成印度、阿拉伯和中国文献中的数学成果，对数学发展做出过重大贡献，并帮助欧洲走出中世纪迷信，发展成为世界科学中心。

虽然真实的兔子繁殖不是真正按照斐波那契数列模式，斐波那契数列有一些惊人的特性，使得它成为灵活的数学工具，描述从宏观（如，银河系）到微观（如，量子世界）的许多自然现象。

近年来斐波那契数列和黄金分割比在物理学、量子力学、密码学和拓扑量子计算等领域，引起了人们的极大兴趣。

对这些，我们在下一篇博文中将进一步讨论。

附录

黄金比率φ已经计算得出的精度为小数点后面2万亿（2×10¹² = 2,000,000,000,000）个数字。如下是小数点后面一千位的φ：

φ=1. 6180339887498948482045868343656381177203091798057628621 35448622705260462818902449707207204189391137484754088075 38689175212663386222353693179318006076672635443338908659 59395829056383226613199282902678806752087668925017116962 07032221043216269548626296313614438149758701220340805887 95445474924618569536486444924104432077134494704956584678 85098743394422125448770664780915884607499887124007652170 57517978834166256249407589069704000281210427621771117778 05315317141011704666599146697987317613560067087480710131 79523689427521948435305678300228785699782977834784587822 89110976250030269615617002504643382437764861028383126833 03724292675263116533924731671112115881863851331620384005 22216579128667529465490681131715993432359734949850904094 76213222981017261070596116456299098162905552085247903524 06020172799747175342777592778625619432082750513121815628 55122248093947123414517022373580577278616008688382952304 59264787801788992199027077690389532196819861514378031499 741106926088674296226757560523172777520353613936…

参考资料：

[1] Fibonacci's Liber Abaci. Springer. 2002

[2] Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Fabulous Fibonacci Numbers. Prometheus Books.2007