[ 什么是蒙蒂霍尔问题 ]

蒙蒂霍尔问题（Monty Hall problem）源于美国的电视游戏节目Let's Make a Deal（让我们做笔交易），是一个违反直觉的概率统计难题。

《让我们做笔交易》于1963年首播，它在一些大学的教室和演讲厅引发过数十年的热烈的辩论。

想象一下，你（玩家）正在参加一个电视游戏节目，舞台上有三扇紧闭的门。其中一扇门的后面有一辆崭新的轿车；在另外两扇门的后面是老山羊。

主持人要你选择一扇门，你选择了1号门。然后，主持人打开了3号门，露出了一只山羊（他很清楚每扇门后面有什么）。“现在，”他转身对你说，“你想保留选择1号门，还是换到2号门？”（图1）

图1 蒙蒂霍尔问题

大多数第一次听到这个问题的人，都会不假思索，直觉地认为:“一旦蒙蒂打开一扇门后，只剩两扇门供选择，而这两扇门后面有轿车的可能性是一样的，所以选择换门还是不换门并不重要。”

从统计学上来说，哪种选择能让你得到轿车——保持原来选择的门，还是换个门？如果你与大多数人一样认为无论换门还是不换门自己的胜算概率都是1/2，那你就错了。

以上是电视游戏节目《让我们做笔交易》呈现的场景，也被称为“三门问题”，现在被称为“蒙蒂霍尔问题”。名称来自该节目的主持人蒙蒂·霍尔。尽管它看似简单，但世界上一些最聪明的人也曾经很难理解它的答案。

有人称蒙蒂霍尔问题是一个“数学中最有争议的脑筋急转弯的故事之一”。

[ 蒙蒂霍尔问题的简史 ]

其实，早在1959年，马丁·加德纳（Martin Gardner）在《科学美国人》上就发表过类似“蒙蒂霍尔问题”的一个版本（称为“三个囚犯问题”）。加德纳是美国著名的数学和科学作家，他在《科学美国人》上有一个关于数学娱乐的长期专栏。

1965年弗雷德·莫塞特勒在《概率问题选集》和1968年约翰·梅纳德·史密斯在《生物学中的数学思想》，也分别公布了该问题。

1975年，加州大学伯克利分校的教授史蒂夫·塞尔文在给《美国统计学家》编辑的一封信中，讨论了蒙蒂霍尔问题，他认为换门有2/3机会赢得轿车，而不换门只有1/3机会赢得轿车。但是，随后的15年里无人问津。

蒙蒂霍尔问题在20世纪90年代初又获得了广泛的关注，这与被一位称为“世界上最高智商的女人”玛丽莲·沃斯·莎凡特有关。

玛丽莲·沃斯·莎凡特（Marilyn Vos Savant）于1946年出生，以数学和科学方面的天赋著称。她因拥有“世界上最高的智商”，被列入吉尼斯世界纪录（在1956年，她10岁时初次接受斯坦福-比奈智商测验，智商就高达228，随后的十年间不断接受测试，最高达到了243），并因此获得了国际声誉。但是，沃斯·莎凡特没有像她的一些天才般智商的同龄人那样去研究量子物理，而是从1986年开始担任《大观杂志（Parade magazine）》杂志专栏作家。她创办了很有名的每周专栏《问玛丽莲（Ask Marilyn）》，在里面回答各种学术问题和逻辑难题。

1990年9月，一位名叫克雷格·惠特克的读者给玛丽莲·沃斯·莎凡特写了一封信，向她请教蒙蒂霍尔问题，“坚持自己最初的选择好还是不好？”。沃斯·莎凡特在《大观杂志》的专栏中发表了她的回应，认为玩家应该总是换门，以最大化他们赢得大奖的机会——换门有2/3胜算，不换门只有1/3胜算。尽管她的解释很清楚，但这种违反直觉的答案还是困扰着许多人，包括一些数学家，导致了激烈的辩论。该专栏收到了至少10，000封读者来信，多是强烈谴责沃斯·莎凡特的回答，不乏辱骂，甚至用贬低的语言攻击她的智力。其中，近1000封还带有著名学者和博士的签名。对沃斯·莎凡特来说，这是一段噩梦般的经历。

这段历史值得深思。

[ 通过改变最初的选择，成功概率加倍 ]

在蒙蒂霍尔问题中，选择换另一扇门会否增加玩家赢得汽车的概率吗？答案是会——正如前面提过的史蒂夫·塞尔文教授和沃斯·莎凡特指出过：不换门的话，赢得汽车的概率是1/3；换门的话，赢得轿车的概率是2/3。

这个答案可以用图2说明。第一步，玩家可以选择1号门、2号门或3号门。这些门后面有桥车的概率一样，都是1/3。第二步，主持人打开玩家没有选择的、后面有山羊的一扇门，如果选择不换门，游戏停止，赢得汽车的概率仍然是1/3。第三步，如果玩家选择切换到剩余的一扇门，则门后面有桥车的概率的概率为2/3。

可以看出，如果选择不换门，由于最初选择的一扇门后面是桥车的概率只有1/3，所以不换门赢得汽车的概率是1/3。而最初选择的一扇门后面是山羊的概率为2/3，当选择换门时，总是会切换到后面是桥车的门，所以换门赢得汽车的概率是2/3。

图2 通过改变最初的选择，成功（获得轿车）的概率加倍

[ 利用贝叶斯定理证明 ]

以下利用贝叶斯定理更严格些证明。对于数学不感兴趣者，可以跳过。

贝叶斯定理（也称为贝叶斯规则，或贝叶斯定律）是概率论和统计学中的一个基本概念，以托马斯·贝叶斯牧师的名字命名。它提供了一种基于新证据更新假设概率的方法。该定理用来描述两个条件概率之间的关系，比如 P(A|B) 和 P(B|A)。公式为：

为了应用贝叶斯定理解蒙蒂霍尔问题，我们用符号表示事件：C1–事件“轿车在1号门后面”；C2–事件“轿车在2号门后面”，C3–事件“轿车在3号门后面”；M1–事件“蒙蒂打开1号门”，M2–事件“蒙蒂打开2号门”，M3–事件“蒙蒂打开3号门”。

“轿车在1号门后面”、“轿车在2号门后面”、“轿车在3号门后面”的概率都是1/3，所以：

P( C1) = 1/3 ,   P( C2) = 1/3,   P( C3) = 1/3

为了利用贝叶斯公式，需要考虑在不同条件下，蒙蒂打开一扇不是玩家选择的而且其后面是山羊的门的概率。例如，在玩家选择了1号门的条件下，蒙蒂打开2号门的概率：(A)如果轿车在1号门后面（事件C1），蒙蒂可以打开2号门或3号门，打开2号门概率是1/2。(B)如果轿车在2号门后面（事件C2），蒙蒂不可以打开2号门，只可以打开3号门，打开2号门概率是0。(C)如果轿车在3号门后面（事件C3），蒙蒂只可以打开2号门，不可以打开3号门，打开2号门概率是1。即：

P(M2 | C1) = 1/2 ,   P(M2 | C2) = 0,   P(M2 | C3) = 1

由于C1、C2和C3是互斥事件，我们有：

P(M2)= P(M2 | C1)×P(C1)+P(M2 | C2)×P(C2)+P(M2 | C3)×P(C3)

= 1/2 x 1/3 + 0 x 1/3 + 1 x 1/3 = 1/2

假设玩家最初选择1号门，主持人打开2号门展示后面是山羊。现在，玩家可以坚持或改变选择的门。如果玩家坚持原选择的1号门，按照贝叶斯公式，他赢得轿车的概率是：

如果玩家选择切换到3号门，按照贝叶斯公式，他赢得轿车的概率是:

所以，玩家换门获得车的概率是不换门的两倍！这就是应该换门的原因。

[ 计算机模拟 ]

对于蒙蒂霍尔问题，换门比留在最初的选择对玩家有利。如果玩家切换门，他赢得轿车的概率是2/3，而如果玩家坚持最初的选择，他赢得轿车的概率是1/3。

我们可以用Python模拟游戏来解这个问题。该程序中，轿车被随机放置在一扇门后，玩家随机选择一扇门，并模拟主持人打开了一扇不同于玩家选择而后面是山羊的门。另一扇门不是玩家选择的门，也不是打开的门。然后，该模拟程序分别确定“换门”和“不换门”是否赢得轿车。经过成千上万回合模拟，程序输出如果玩家坚持最初选择的门赢得轿车的的几率和如果玩家切换选择的门赢得轿车的几率。

图3是在我的笔记本电脑上程序运行输出的屏幕截屏。可以看出，切换选择的门，玩家赢得轿车的几率是接近2/3，保持初始选择（不换门）赢得轿车的几率是大约1/3。

图3 Python蒙蒂霍尔问题模拟程序验证不同策略获得轿车的机会

[ 结语 ]

蒙蒂霍尔问题的答案违反多数人的直觉，提醒我们在某些情况下，概率统计的实际情况可能与人们的直观感觉不同。不可高估直觉而低估了数学推理的重要性。直觉有时并不准确，需要用理性的思维来分析问题。

通过蒙蒂霍尔问题，我们可以学习到在面对复杂决策时，如何运用概率论和统计学的原理，做出更理性的选择。我们经常需要在不完全信息的情况下做出决策。蒙蒂霍尔问题强调了在决策过程中信息的重要性——主持人的行为，提供了额外的信息，改变了每扇门后有轿车的概率估计。它还提示我们在某些情况下，改变决策可能会带来更好的结果。