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数学分析中的反例

已有 6527 次阅读 2011-10-27 08:25 |个人分类:数学|系统分类:科研笔记

 

偶然从书架上看到一本小书,BR GelbaumJMH OlmstedCounterexamples in AnalysisDover Books on Mathematics, Holden-Day Inc.1964,图书馆应该能找到中译本,《分析中的反例》,上海科学技术出版社,1980),提供了大量反常的例子,通过它们可以更好理解为什么分析的陈述必须那么严密。初学分析的都刚从中学数学出来,而分析从形式看,简直是一门新的语言,那么多的条件,那么多的命题和定理,完全不是初等数学的“自然延伸”,所以必须要换一种脑子来看它……

 

作者在前言里提出一个有趣的观点:数学大致由两大类组成:证明和反例,数学的目标就是提出证明与构造反例。用反例来解决的数学问题,有着一出好的戏剧所具有的刺激性(pungency of good drama.

 

书中的很多例子都很巧妙,有时甚至像脑筋急转弯——所谓反例,其实就是极端情形下的常例,仍然满足寻常的法则;说它反,是我们容易忽略那些极端的条件。例如,不能成为导数的函数(任何有跳跃间断的函数)、有间断点的可微函数、出处有导数的不连续函数、导数几乎处处为零的连续单调函数、能填满一个平面区域的弧线(这个例子极有趣,它说明那条线的点比那个区域还“多”)、没有面积的有界平面区域……

 

这些例子,根本说来都建立在严格的实数集的基础上。但学过高等数学而没学过实分析的同学,大概分不清有理数与实数到底有什么不同,除了知道“实数比有理数多”——那个“多”是什么意思,可能也不知道;他们也许还会说“有理数比整数多”呢。

 

 

 

 



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