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相对论:庞加莱变换及其推导

已有 6926 次阅读 2014-4-10 10:23 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记|关键词:相对论,庞加莱变换,洛伦兹变换,光速不变原理,相对性原理,推导| 相对论, 相对性原理, 洛伦兹变换, 光速不变原理, 庞加莱变换

 

洛伦兹变换描述光源(或事件的时空起始点)在原点时的时空坐标变换,初学相对论者常有如果光源(或事件时空起点)不在原点时该如何变换时空坐标的问题。描述光源(或事件时空起始点)不在原点的时空变换是庞加莱变换。洛伦兹变换中两参照系间有相对速度,可以有空间绕坐标轴转动,但不包括(事件时空起始点的)空间平移,对应于光源在原点。两参照系间有相对速度,但没有空间坐标轴转动的洛伦兹变换为最简单形式的洛伦兹变换,称为洛伦兹变增强(Lorentz booster),这也是相对论入门教科书介绍的洛伦兹变换。庞加莱变换是洛伦兹变换的扩展,包括(事件时空起始点的)空间平移,也称作非齐次洛伦兹变换,而洛伦兹变换本身则称为齐次洛伦兹变换。

如果光源在参照系S中坐标为(x0,y0,z0),发光时间为t0 如果光源在参照系S’中坐标为(x0,y’0,z’0),发光时间为t0庞加莱变换可表示为

  $x'-x'_0=\frac{(x-x_0)-v(t-t_0)}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

 

  $y'-y'_0=y-y_0$

 

  $z'-z'_0=z-z_0$

 

      $t'-t'_0=\frac{(t-t_0)-v(x-x_0)/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

我们知道,相对性原理是说在同样背景下的两惯性参照系观察到的物理过程结果是相同的。光速不变原理是两相互运动的惯性参照系观察到的同一光脉冲的速度是相同的。对球面波在两惯性参照系S和S’中的传播来说,

    $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=c^2(t-t_0)^2$          (1)

 

    $(x'-x'_0)^2+(y'-y'_0)^2+(z'-z'_0)^2=c^2(t'-t'_0)^2$        (2)

如果相互运动速度v是沿x-轴正方向,我们只关心光波沿x-轴的传播,则有光波沿x-轴的传播满足

    $(x-x_0)^2=c^2(t-t_0)^2$                        (3)

    $(x'-x'_0)^2=c^2(t'-t'_0)^2$                       (4)

这两个方程满足光波沿x-轴正、负方向的传播,也可分别表示为

    $x-x_0=\pm c(t-t_0)$                          (5)

    $x'-x'_0=\pm c(t'-t'_0)$                         (6)

光源(或事件时空起点)不在原点时,推导满足光速不变原理的时空变换寻找的是函数

    $x'-x'_0=f(x-x_0,t-t_0)$                     (7)

          $t'-t'_0=g(x-x_0,t-t_0)$                                        8

并且满足             $\frac{x'-x'_0}{t'-t'_0}=\frac{f(x-x_0,t-t_0)}{g(x-x_0,t-t_0)}=c$                 (9)

很多物理学家有错觉,以为自己能从(5)、(6)推导出庞加莱变换。这实际上是不可能的,因为光速不变原理(1)-(6)并不包含充足的两坐标系关系的信息。要想明确函数fg,必须得到有关(7)、(8)函数形式的信息,这构成了推导庞加莱变换的第三个条件。一般来说,我们希望时空变换是双线性(bilinear),又与两坐标系间速度有关。这样,第三个条件(假设)是

  $x'-x_0=a(x-x_0)-bv(t-t_0)$                   (7a)

  $t'-t'_0=m(t-t_0)-n(x-x_0)$                    (8a)

从方程(5)、(6)是不能合乎逻辑地得到方程(7a)、(8a)的。规定函数(7)、(8)具有函数(7a)、(8a)的形式,是一个比较弱的要求。在这一条件下,满足光速不变与相对性原理的时空变换有无穷多个。

对(7)、(8)函数形式的一个更强的条件是要求(7a)中a=b,即

  $x'-x'_0=a(x-x_0)-av(t-t_0)$                  (7b)

  $t'-t'_0=m(t-t_0)-n(x-x_0)$                    (8a)

这一条件可以保证唯一地得到庞加莱变换。从(7a)、(8a)得不到(7b),因此,(7b)、(8a) 是唯一地得到庞加莱变换的第三个假设。实际上,我们还需要规定第四个条件,即y'-, z'-轴方向上长度不变化,

          $y'-y'_0=y-y_0$

          $z'-z'_0=z-z_0$                                                         (10)

如果允许y'-, z'-轴方向长度变化,将会有更多的满足光速不变原理和相对性原理的时空变换,光源不在原点的Voigt变换就是其中一种。在Voigt变换中,垂直于运动方向的长度膨胀,平行于运动方向的长度不变,时间膨胀因子为(1-v2/c2):

 

              $x'-x'_0=(x-x_0)-v(t-t_0)$

 

          $y'-y'_0=(y-y_0)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

 

          $z'-z'_0=(z-z_0)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

 

                        $t'-t'_0=(t-t_0)-\frac{v(x-x_0)}{c^2}$

 

(7b)、(8a)10)条件下可以唯一地推导出庞加莱变换。

将方程(7b)、(8a)和(10)代入方程(2)

$[a(x-x_0)-bv(t-t_0)]^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-c^2[m(t-t_0)-n(x-x_0)]^2=0$    (11)

由上式得

  $(a^2-c^2n^2)(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2-2(a^2v-c^2mn)(x-x_0)(t-t_0)=(c^2m^2-a^2v^2)(t-t_0)^2$   (12)

比较(11)和(1),我们可以看出来只要

        $a^2-c^2n^2=1$                                  (13)

        $a^2v-c^2mn=0$                                (14)

        $c^2m^2-a^2v^2=c^2$                                (15)

相对光速不变就能满足,由(14)得

$n=\frac{a^2v}{c^2m}$                                         (16)

代入(13),得

        $a^2-\frac{a^4v^2}{m^2c^2}=1$                                (17)

化简得

        $a^2m^2c^2-a^4v^2=m^2c^2$                        (18)

由(15),得

            $m^2=\frac{a^2v^2+c^2}{c^2}$                             (19)

代入(18),得

        $a^2(a^2v^2+c^2)-a^4v^2=a^2v^2+c^2$                 (20)

移项,化简得

        $a^2c^2=a^2v^2+c^2$                                (21)

移项,得

                $a^2=\frac{c^2}{c^2-v^2}$                                    (22)

开方,             $a=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$                                                                         (23)

  $m=\sqrt{\frac{a^2v^2+c^2}{c^2}}=\sqrt{\frac{\frac{c^2v^2}{c^2-v^2}+c^2}{c^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=a$            (24)

    $n=\frac{av}{c^2}=\frac{v/c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$                                    (25)

到此,我们已推导出庞加莱变换的所有系数。

 



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