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怎样推导洛伦兹变换?洛伦兹变换的正确推导

已有 6149 次阅读 2014-3-28 10:04 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记|关键词:洛伦兹变换,时空变换,光速不变原理,相对性原理,推导| 时空变换, 相对性原理, 洛伦兹变换, 光速不变原理, 推导

拙文《从光速不变原理与相对性原理推导时空变换普遍方程和洛伦兹变换》说明满足光速不变与相对性原理的时空变换有无穷多个,因此,仅从光速不变原理与相对性原理是不能推导出洛伦兹变换的。那么,还需要什么条件才能推导出洛伦兹变换?我们知道,相对性原理是说在同样背景下的两惯性参照系观察到的物理过程结果是相同的。光速不变原理是两相互运动的惯性参照系观察到的同一光脉冲的速度是相同的。对球面波在两惯性参照系S和S’中的传播来说,

 

    $x^2+y^2+z^2=c^2t^2$            1

 

    $x'^2+y'^2+z'^2=c^2t'^2$            2

 

如果相互运动速度v是沿x-轴正方向,我们只关心光波沿x-轴的传播,则有光波沿x-轴的传播满足

 

      $x^2=c^2t^2$                     3

 

      $x'^2=c^2t'^2$                    4

 

这两个方程满足光波沿x-轴正、负方向的传播,也可分别表示为

 

        $x=(+/-)ct$                    5

 

        $x'=(+/-)ct'$                   6

 

推导满足光速不变原理的时空变换也就是找出函数

        $x'=f(x,t)$                       (7)

        $t'=g(x,t)$                        (8)

并且有

  $x'/t'=f(x,t)/g(x,t)=c$                (9)

 

很多物理学家有错觉,以为自己能从(5)、(6)直接推导出洛伦兹变换。这实际上是不可能的,因为光速不变原理(1)-(6)并不包含充足的两坐标系关系的信息。要想明确函数fg,必须得到有关(7)、(8)函数形式的信息,这构成了推导洛伦兹变换的第三个条件。一般来说,我们希望时空变换是双线性(bilinear),又与两坐标系间速度有关。这样,第三个条件(假设)是

 

      $x'=ax-bvt$                    (7a)

      $t'=mt-nx$                     (8a)

 

虽然人们已经给出若干种从(5)、(6)得到类似函数(7a)、(8a)的推导,但实际上从5)、(6)是不能合乎逻辑地得到(7a)、(8a)的,所有这些推导都有逻辑错误。规定函数(7)、(8)具有函数(7a)、(8a)的形式,是一个比较弱的要求。拙文《从光速不变原理与相对性原理推导时空变换普遍方程和洛伦兹变换》已证明在这一条件下,满足光速不变与相对性原理的时空变换有无穷多个。

 

对(7)、(8)函数形式的一个更强的条件是要求(7a)中 $a=b$ ,即

      $x'=ax-avt$                      (7b)

      $t'=mt-nx$                       (8a)

这一条件可以保证唯一地得到洛伦兹变换。从(7a)、(8a)得不到(7b),所有(7a)、(8a)得到(7b)的推导都有逻辑错误,即把 $x'=0$ 时的结果当作x'不等于0时的结果使用。实际上,我们还需要规定第四个条件,即y'-, z'-轴方向上长度不变化,

 

                $y'=y$            

                $z'=z$                                                    (10)

 

如果允许y'-, z'-轴方向变化,将会有更多的满足光速不变原理和相对性原理的时空变换,Voigt变换就是其中一种。在Voigt变换中,垂直于运动方向的长度膨胀,平行于运动方向的长度不变,时间膨胀因子为1/(1-v2/c2)以下博文是上海科学技术文献出版社十年前出版的拙著《相对论逻辑自洽性探疑》中的一节,证明在(7b)、(8a)和y'-, z'-轴方向上长度不变化条件下可以唯一地推导出洛伦兹变换。现贴于此与对物理学基础感兴趣的博友、网友交流。

 

 

因为洛伦兹假说为了解释迈克尔孙-莫雷实验的结果,坚持了绝对静止以太的概念和光源速度影响垂直光束的方向的观点,所以只要想保持运动垂直于运动方向上的长度不变,运动方向上长度收缩的比例因子(1-v2/c2)1/2几乎是不可避免的。单独为了保持观察者相对光速不变和光源速度不影响相对光速,空间和时间变换方程就不再是有限多个了,并且同一参照系不同方向上的变换尺度也就不一定是一致的了。在上一节中我们推导出了“相对光速不变性”变换的普遍形式,我们在这一节中将证明洛伦兹-爱因斯坦变换不过是其中的一个特解。需要什么样的初始限制条件才能唯一地得出洛伦兹-爱因斯坦变换呢?我们假设在方程(6-5)和(6-6)中a必须等于b,即规定变换有如下形式:

 

           x'=a(x-vt)=ax-avt                  (6-35)

 

           t'=mt-nx                            (6-36)

 

则由方程(6-25)和(6-26)得

 

            (c2n2+1) 1/2=c2n/v                   (6-37)

 

两边取平方,得

 

           c2n2+1=c4n2/v2                        (6-38)

 

移项,化简得

 

           (c4-c2v2)n2= v2                                  (6-39)

 

n=v/(c4-c2v2)1/2=(v/c2)/(1-v2/c2)1/2               (6-40)

 

代入方程(6-26),得

            a=b=nc2/v=c2/v*(v/c2)/(1-v2/c2)1/2=1/(1-v2/c2)1/2            (6-41)

 

 

由此我们得到洛伦兹-爱因斯坦变换

            x'=ax-bvt=(x-vt)/(1-v2/c2)1/2

 

 t'=mt-nx=(t-vx/c2)/(1-v2/c2)1/2                            (6-42)

 

我们在这里使用了推导普遍公式的一些结果(m=a等),我们当然可以像推导普遍公式那样从光传播方程开始,使用方程

 

           [a(x-vt)]2+y2+z2-c2 (mt-nx)2=0                             (6-43)

 

由上式得

 

           (a2-c2n2)x2+y2+z2-(c2m2-a2v2)t-2(a2v-c2mn)xt=0               (6-44)

 

比较(6-44)和(6-7),我们可以看出来只要

 

           a2-c2n2=1                                                 (6-45)

 

           a2v-c2mn=0                                                (6-46)

 

           c2m2-a2v2=c2                                               (6-47)

 

相对光速不变就能满足,由(6-46)得

 

n=a2v/(mc2)                                              (6-48)

                                                     

代入(6-45),得

              a2-a4v2/m2c2=1                                  (6-49)

                                               

化简得

 

             a2c2m2-a4v2=c2m2                                   (6-50)

 

由(6-47),得

              m2=(c2+a2v2)/c2                                   (6-51)            

 

代入(6-50),得

 

           (c2+a2v2)a2-a4v2=c2+a2v2                             (6-52)

 

移项,化简得

 

           a2c2=c2+a2v2                                       (6-53)

 

移项,得

            a2=c2/(c2-v2)                                  (6-54)                  

开方,得

            a=1/(1-v2/c2)1/2                                 (6-55)

 

m=[(c2+c2v2/(c2-v2))/c2]1/2=[1+v2/(c2-v2)]1/2=1/(1-v2/c2)1/2=a  (6-56)

     

 n=av/c2=(v/c2)/(1-v2/c2)1/2                       (6-57)      

 

                 

                             

到此,我们已推导出洛伦兹-爱因斯坦变换的所有系数。

结论:唯一地推导洛伦兹变换需要四个假设,

1. 相对性原理,使S到S'的变换与S'到S的变换具有相同形式。

2. 光速不变原理,使光速在所有惯性系相同。

3. 垂直于运动方向的长度不变,避免Voigt变换及其类似变换。

4. 时空变换方程的函数形式,     $x'=ax-avt$                      (7b)

                  $t'=mt-nx$                       (8a)

或者它们的等效函数形式。

 



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3 杨正瓴 罗教明 ybtr3929

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