随机与集合与无理

鲍海飞2017-6-13

   人类一直在向、在从大自然中学习，无论是牛顿的色散，还是伽利略的钟摆，还是爱因斯坦的布朗运动，甚至是伦琴的X-射线，袁隆平的稻米。人类一开始就像一个孤苦伶仃的小孩子在大自然中玩耍，偶然一天，他的双手触碰到了天幕---在自觉与不自觉中慢慢地、好奇地掀开了大自然奥秘的一角，天幕在慢慢打开，天宇中洒下了一丝星光，而这丝星光让这个好奇思索的小孩子突然顿悟。于是，小男孩着迷了，他仰卧星空，他窥探宇宙，他要构造自己的星空和宇宙。

    看了李泳老师的博文《对称与概率与无知》（http://blog.sciencenet.cn/blog-279992-1060276.html），颇受启发。最打动我的一句话，让我如梦方醒、顿悟的一句话是：“概率与对称自有渊源，概率论一开始就建立在对称性的基础上，……”

应该说，这一句话似乎就揭示了概率的本质，揭示了我们应该如何认识概率的问题。

但问题是，一个关键的问题是：自然是对称的吗？还是自然在我们意像中它应该是对称的呢？或者，在我们的理论中它应该是对称的？因为这里似乎涉及到了美学。

关于美，我想到了一个所谓的最能引起美感的比例数：0.618[=(√5-1)/2)],黄金分割，即一个线段分成的两个部分，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值。不过我更想到了另一个数。

我们认为：圆或者球是对称度最高的结构，也就是最美的，但却存在一个叫圆周率Pi的数在构造这个圆或球。Pi是个无理数，无理数确是个无限不循环的数！这个不循环的数在这么高对称度中的存在隐含着什么？意味着什么？无理数在圆或者球的对称性中体现在哪里？一个答案是，无限，无限，对称度无限。一个微小的旋转自身就重合了。

我忽然头脑中异想天开，对于这个无理数，对于任何一个无理数，是否证明了或者表明了，下一位、下一个位、再下一个位、再下一个位，每一个位都是确定！但每一个数又都不确定！比如：Pi，3.14，3.141，3.1415，都是确定的，3.1415926也是确定的，但Pi却是不确定的！这个集合有多大！这个集合已知，还是未知？其实，这是不是隐含着测不准原理的精髓！对于某一个数的位来说，我们测得准，然后下一个，又测得准。但对于这个数来说，它的数值就在某个位置上上下下振动徘徊，它的位置、动量、有知、未知，确定、不确定。这是不是又衍生出了极限！以至于微扰理论！

我惊讶于人类的发现，我同样惊讶于人类的自信。我们不过是从‘对称破缺’中发现了奥秘。正如晶体的发现导致原子的发现一样，破裂、破碎的晶体给了我们一种提示、一个暗示，向下，向下，无限分割，无限分割，无限小，无限小。

有人会说，我们的理论证明了，证明了某某的完备。但理论的出发点在哪里？我们又如何知道它是完备还是不完备？一个明证是：固体理论揭示了没有5度对称的晶体，但人们就是发现了---具有５度旋转轴的准晶体。

大自然是以人类所奠定的理论为基石而诞生和演绎的吗？

我们站在一棵硕大无比的树上，树依然在向上生长。在树这个‘分形’体系中，我们到底站在哪个位置呢？分形会把我们引向何处？我们又如何探知它的过去和未来？分形依然只是表明，我们只是树的一部分，我们存在于对称破缺中，但来源于哪，就是个问题。

人类认为世界是完美的，认为人类的发现也是完美的，地球绕太阳的转动是圆才完美的。而所有这些是因为人类构造的数学是这样的。当然，问题不在数学上，而在于我们的理解和认识上。

我们总是首先发现了现象，然后从这个现象中去探求现象的本质。我们只是从少数的事件中给出了结论，甚至是断言，用我们的一知半解去阐释这个世界，而世界的源头在哪里呢？面对世界，面对这个无穷无尽的集合，我们一开始的出发点可能就有问题，而几率却给出了一个诠释---它所反映的不完整恰是一种完整，它所给出的不确定恰是一种确定。

   一枚硬币，有两个面；金字塔，我们知道它有四个面，我们却只能看到它的三个面；骰子有六个面，总有一面是看不到的；碳60有60个面，我们不但能看到五边形，还有六边形。我忽然开悟，一个球，它有多少个面？它有一个面！不！它有无数个面！这或许就是无理数Pi所表现的内涵。它是完整的，它又是延续的，它更是随机的，还是运动的！

美是完整的、延续的，而只有‘无理(数)’才能做到，这样它才会余音缭绕，而不会平淡、乏味、无趣。

自然是对称的吗？人类的一切认识都是一种印象或者感觉吗？人类一直在探求自然内在的关联。疑问让我们思考，思考让我们深刻。

李咏老师的结语是：“归根结底还是我们的无知”。其实，对于自然，我们不仅是无知的，我们还经常很无理。”