利用对数和反对数进行大数的乘除法运算，已经没有必要。计算器使《数学用表》成为历史陈迹；而计算机更进一步改变了人们的思考方法。谨以“鸡公五钱，鸡母三钱，鸡子钱三。百钱百鸡，各鸡几何”求解为例说明如下。

1　算术是分析和试算的方法

　　“大和尚一人吃两个馍，小和尚三人吃一个馍。一百个和尚吃一百个馍，大小和尚各多少”，是著名的算术题。50个大和尚吃100个馍，缺50个和尚数。减少1个大和尚，可增加6个小和尚，净增5人；将50 ÷ 5＝10个大和尚换成60个小和尚，即实现百个和尚吃百个馍。

　　“百钱百鸡”问题可同样求解。100钱买20只鸡公，鸡数缺80只。 1只鸡公可换15只鸡子，或 1只鸡母 6只鸡子；增加的鸡数都不是80的约数，不能求解。2只鸡公可换(1) 30只鸡子，(2) 1只鸡母21只鸡子，(3) 2只鸡母12只鸡子。换法(2) 增加鸡数20只，恰好是80的约数；将(80 ÷ 20)×2＝8 只鸡公换成 4只鸡母和84只鸡子，即可实现百钱百鸡。

　　若认识到鸡母价格居中，若干鸡母可等量等价地换取鸡公、鸡子，可以求出问题的其它解。通过试算，7 个鸡母与4个鸡公、3个鸡子等价，因而有：

　　　　  鸡公      12     8     4      0

　　　　  鸡母      4     11    18     25

　　　　  鸡子    84     81    78     75

　　显然，算术求解不仅需要分析和试算，而且需要洞察力或技巧。

２　代数是通用和确定的方法

　　代数求解方法是将所求未知数用字母表示，把问题提供的条转换成算式，由通用方法确定问题的解。求解过程不具备明确的物理含义。若设鸡公 X只，鸡母Y只，鸡子Z只，则有

　　　　　　　　X＋Y＋Z＝100； 5X＋3Y＋Z/3＝100

这是不定方程组，所以其解是

　　　　　　　　Y＝25－7X/4； Z＝75＋3X/4

因鸡数为非负整数，所以有

　              X＝4K；Y＝25－7K；Z＝75＋3K

式中  K＝0, 1, 2, 3

　　代数求解的关键是理解题意，具体计算没有难度。

３　计算机是搜索和验证的方法

　　计算机求解“百钱百鸡”就是将可能情形逐一列出验证。Basic 程序是：

10 FOR I=0 TO 100

20  FOR J=0 TO 100

30   FOR K=0 TO 100

40   IF I+J+K =100 AND 5*I+3*J+K/3=100 THEN PRINT I, J, K

50   NEXT K，J，I

60 END

　　这里没有对问题的任何分析、推理和试算，仅在可能范围内根据题意进行验证：鸡公、鸡母、鸡子数在0～100 全组合，判断鸡数和钱数是否为100。最后在101³种情形内确定“百钱百鸡”4组解。计算机的高速运算能力使“大海捞针”成为现实，成为最佳方案。

４　讨论

　　计算机改善了数值计算的速度和精度，进而改变了思考过程。若以一元四次方程的求根公式求解具体方程，手工计算极为困难；利用计算机求解，将求根公式程序化也极端繁琐，而直接利用两分法则程序简洁。就解决实际问题而言，研究高次方程的求根公式没有价值。

　　利用神经元、BP网络等纯数值方法，具备太阳、地球和月亮若干时间序列的位置，即可预测其后的位置，而不需了解相关物理定律；即从第谷的观测结果，不必经过开普勒和牛顿的研究，就可以知道行星运行情况。当然，随着时间推移，预测误差逐步增大，乃至完全失真。

　　使学生“知其然，知其所以然”，曾经是我们的教学宗旨，因学科向广度和深度的发展现已难以做到；而计算机可能使“知其然，知其所以然”不再成为科学研究的唯一目标。由此产生的影响，不能不令人深思。　

注1：拙稿原发表于《煤炭高等教育》1999年专辑，文字已略作删减。

注2：2001年10月为研究生授课时说，以Basic语言进行“百钱百鸡”的101³全选择，IBM-PC 286几乎不能完成，386约需10分钟，而CPU 333MHz的组装机约需1分种。课后硕士生YSQ用TC 3.0语言编制程序：

# include<iostream.h>

void main( )

{ int i, j, k;

for (i=0; i<=100; i++)

  for (j=0; j<=100; j++)

for (k=0; k<=100; k++)

if (i+j+k= =100 && 5*i+3*j+k/3 = =100)

cout<<’ (‘<<i<<’, ’<<j<<’, ’<<k<<’)’<<endl;

}

在CPU 450MHz计算机上运算1秒钟得到7组解。

　　　　  鸡公　　    0     3      4     7      8     11　  12

　　　　  鸡母         25     20    18    13    11     6       4

　　　　  鸡子         75     77    78    80    81    83     84

有三组解鸡子数不是3的倍数。经讨论发现第7行的3应改为3.——Basic语言和C语言取整约定不同。对计算机给出的结果需进行核查。

注3：计算机储存载体也不断变化。2012年红色优盘8G；2001年灰色优盘26 M；1997年元月3吋盘 1.44 M；1996 年元月5吋盘 1.6 M；1988年时5吋盘只有160 K。 

注3：32年前学习719 算法语言(类似于Algol 60)。本科阶段曾三次使用计算机，程序是纸带打孔后输入（图片来自网上）。一个字符用两排孔即两个8进制数表示。当年能从纸带直接读出字符而检查程序；有错则以小图之工具进行局部修补。 

Fortran 语言的计算条件以80列的卡片输入。又，过去学习的许多数值方法和技巧已因计算机速度的提高而失效。 

注4：记分册（成绩单）是毕业时学校发给的，扫描4页在下列博文给出以说明课程安排。博文还给出当年所用部分讲义的照片。

大学该以教学为主http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-831195.html