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数列{a_n}收敛的一个充要刻画

已有 2073 次阅读 2013-5-14 15:25 |个人分类:数学分析|系统分类:科研笔记| quot, amp, 内部错

在阅读文献时,文中隐含应用了以下结论:

命题:数列{a_n}收敛到a的充分必要条件是{a_n}的任何子列均有子列收敛到a。

但是本人孤陋寡闻,不知哪里有它的证明,于是发动同学室友共同攻克之,得到以下证明,这是大家共同讨论的结果。

必要性是显然的。

下证充分性,即若 {a_n}的任何子列均有子列收敛到a,则数列{a_n}收敛到a。

反证法,假设数列{a_n}不收敛到a,那么将会有以下情况:

(1) {a_n}收敛到b, b不等于a。由已知条件知b必须等于a, 矛盾。

(2) {a_n}没有极限,即发散。这种情形又分为下述情况:

(2a) {a_n}是无界列。也就是说它有子列趋于无穷。此时,我们可以取到{a_n}的子列{b_n}使得

b_n > n, n=1,2,3 ...

显然{b_n}不可能有子列收敛到a, 矛盾。

(2b)  {a_n}是有界列。此时{a_n}任何子列均有收敛子列,它发散只可能是两个子列极限不相等,即存在{a_n}的子列{b_n}收敛到b, b不等于a。我们可以找到{b_n}的子列{B_n}使得

|B_n — b| < |b-a|/n, n=1,2,3 ...

此时,{B_n}自然是{a_n}的某个子列,但是它的任何子列均不收敛到a。矛盾。

综合以上情况,结论得证。

 

水平有限,希望大家多多指教。



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2 张启峰 李毅伟

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