在阅读文献时，文中隐含应用了以下结论：

命题：数列{a_n}收敛到a的充分必要条件是{a_n}的任何子列均有子列收敛到a。

但是本人孤陋寡闻，不知哪里有它的证明，于是发动同学室友共同攻克之，得到以下证明，这是大家共同讨论的结果。

必要性是显然的。

下证充分性，即若 {a_n}的任何子列均有子列收敛到a，则数列{a_n}收敛到a。

反证法，假设数列{a_n}不收敛到a，那么将会有以下情况：

(1) {a_n}收敛到b， b不等于a。由已知条件知b必须等于a， 矛盾。

(2) {a_n}没有极限，即发散。这种情形又分为下述情况：

(2a) {a_n}是无界列。也就是说它有子列趋于无穷。此时，我们可以取到{a_n}的子列{b_n}使得

b_n > n, n=1，2，3 ...

显然{b_n}不可能有子列收敛到a， 矛盾。

(2b)  {a_n}是有界列。此时{a_n}任何子列均有收敛子列，它发散只可能是两个子列极限不相等，即存在{a_n}的子列{b_n}收敛到b， b不等于a。我们可以找到{b_n}的子列{B_n}使得

|B_n — b| < |b-a|/n, n=1，2，3 ...

此时，{B_n}自然是{a_n}的某个子列，但是它的任何子列均不收敛到a。矛盾。

综合以上情况，结论得证。

水平有限，希望大家多多指教。