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样条空间维数传奇
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二元样条空间维数问题，是逼近论中最吸引人的问题之一。这篇博文将简要介绍样条空间维数问题及其发展历史，从中我们可对一些数学问题的发展过程窥豹一斑。对于这个具体的问题，多个不同领域的数学家曾经涉入，他们有的日后在几何、拓扑等领域声名卓著，有的则因此获得了离散数学界的最高奖项：Fulkerson 奖，更多的则为逼近论提出了丰富的理论及方法。
我们先从样条的概念说起。如所知，样条函数即是分片光滑的多项式函数。我们知道一些初等函数的表达公式，如：多项式、指数函数、三角函数、有理函数等。我们能用显示公式写下来的函数多是这些初等函数及其复合或组合。这在很多场合，特别是当我们需要将函数形式能明显写下来的场合，并不能满足人们的需要。于是，分片多项式函数，也就是样条函数，便出现了。人们能够写下样条函数的显示表达公式，而且它也能按人们意愿表达足够复杂的函数曲线。重要的是，人们能够比较容易的控制函数的曲线形状。
一元的样条函数是将实轴进行剖分，在每一个剖分区间内部为一多项式，并要求相邻区间上的多项式可以拼接起来。用数学语言来说，也就是要求存在 r 阶导数，这里的 r 是事先给定的。如果我们要求每片多项式次数都不超过 d 次，那么我们称样条函数为 d 次 r 阶光滑的。
在剖分给定的情况下，所有 d 次 r 阶光滑的样条函数组成一线性空间。自然，人们问这一线性空间维数有多少？对于一元，这一问题是平凡的。但到了多元，即使是二元，问题就复杂得多。
为定义二元样条函数，人们首先需要一个剖分，通常选择三角剖分。那么，d 次 r 阶光滑的二元样条函数空间为如下函数所组成的空间：
在每个三角内部为次数不超过 d 的多项式函数，但整体为一个 r 阶光滑的函数。
人们自然问：
给定三角剖分，定义在其上的d次r阶光滑的二元样条空间的维数为多少？
人们希望只通过次数 d, 光滑度 r, 及三角剖分的拓扑信息：边数、顶点数、三角形个数，给出维数公式，而不借助三角剖分具体的几何信息，例如顶点的具体位置。
该问题是 G. Strange 在1973年提出的 （参考[1]）。C. de Boor在文章中提到（参考[2]），他在1973年参加一数值分析方面的会议，Strange向他提出这一问题，他不能回答，并由此感觉很糟糕
"I felt like a fraud for not being able to solve that problem right then and there".
但随后的发展表明，这一问题是非常困难的。人们首先考虑的是：我们想要的公式存在吗？不幸的是，这样的公式并非总是存在。1975年，Morgan, Scott构造了个一简单的三角剖分(如下图黑色直线所形成的三角剖分)，(Morgan日后在几何方面名声卓著)
在该三角剖分上，d=2, r=1的二元样条空间维数依赖于剖分的几何信息。 事实上，如果三条绿线相交于1点（如图），那么维数就是7，否则就是6。但绿线根本就不出现在三角剖分中，能否相交于一点也是由剖分顶点的几何位置决定的。不过，提出这一反例的论文却最终没有发表。据说是因为那篇论文中，除了这个反例，其余的结果均是不正确的。所以，当人们引用的时候，不能不引用一篇未出版的手稿。Morga-Scott的反例只是对(d,r)=(2,1)的情形。对于一般的(d,r),我在读硕士研究生的时候曾经进行过考虑。记得当时的结论是 :
如果d<=2r, 这种奇异性就会出现。特别是当d接近于11/6*r的时候，奇异性达到最大，甚至可趋向于无穷。
这可能是我做的第一个纯粹理论方面的结果。当时的主要感觉是利用逼近论中现有的工具与方法，难以对一般三角剖分上的维数做出实质性进展。所以随后转向了box 样条函数的研究。
因为如上所述的奇异性，人们只能假定d>=2r+1. 并考虑在此条件下任意三角剖分上的维数。
首先对这一问题作出进展的是Morgan, Scott [3]. 他们事实上是对次数d>=5, 光滑度r=1的时候，给出了维数公式。在以后的日子里，这一问题不断地被人们所研究。1987年，Alfeld 和 Schumaker对d>=4r+1的时候，给出了任意三角剖分上的维数公式。随后，d=4, r=1的时候，也给出了公式。1991年，Hong Dong 将这一结果扩展至d>=3r+2 [4]. 这一纪录保持了很久。而这些结果主要借助于B-网方法得到的。这是人们在证明Weierstrass逼近定理的时候就开始考虑的一种多项式表示方法的扩展。
出人意料的是，1988年，主要做离散数学和代数的 Billera 发表了一篇论文，采用了完全不一样方法对样条空间维数进行了研究。Billera主要基于王导师70年代末提出的光滑余因子方法，然后对这一方法从代数的角度重新进行了诠释，并在此基础上用代数的方法进行了深入地研究。它主要结果是对几乎所有三角剖分给出了样条空间维数公式。注意这里有一个名词“几乎所有三角剖分”。Billera的论文充斥了太多代数术语，所以我并不认为从事逼近论的人会对他的方法有真正的兴趣。其后，他的方法发展也主要是他的学生在做。而在逼近论领域，似乎也只是引用他的结果。虽然在逼近论领域反响不大，但Billera却因此在1994年获得了离散数学中的最高奖：Fulkerson 奖。其获奖词是"Louis Billera for finding bases of piecewise-polynomial function spaces over triangulations of space". 当时,可能谁都没有料到,问题的最终解决,却是沿着该路线. 其后样条空间维数问题也多有人从事，但大多是对三角剖分加多种条件,然后研究其上的维数.
当然，样条空间维数的故事并不会终止，仍然在继续。人们会关心其在一些特定剖分，如T-型剖分，的维数公式和多变量的维数公式。这些研究可能不能给我们带来直接应用结果，但可以让人们对样条空间有更为深入地了解，进而发展出多种控制样条函数的手法。既有应用后盾, 又有纯粹的数学基础，我相信这一问题依然会很长时间散发芳香，只是我不再属于这一空间...
[1] 1973. G. Strang, Piecewise polynomials and the finite element method, Bull. Amer. Math. Soc. 79, 1128--1137.
[2] C. de Boor, The way things were in multivariate splines: A personal view， Multiscale, Nonlinear and Adaptive Approximation 2009, pp 19-37.
[3]1975. Morgan, J., and R. Scott, A Nodal Basis for C1 Piecewise Polynomials of Degree n >=5 , Math. Comp. 29, 736-740.
[4] 1991. Hong, D., Spaces of bivariate spline functions over triangulations, J. Approx. Th. Applic. 7, 56--75.
[5]1988. Billera, L.,, Homology of smooth splines: generic triangulations and a conjecture by Strang, Trans. A.M.S. 310, 325--340
注: 图片来自于 http://www.math.utah.edu/~pa/MDS/MS/
https://blog.sciencenet.cn/blog-240898-630505.html
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