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咬文嚼字说概念:关于保守系统的状态空间你了解多少?

已有 2948 次阅读 2018-3-30 13:40 |系统分类:教学心得| 经典力学

    保守系统就是能量守恒的力学系统,它是经典力学中最简单的一类系统。描述保守系统的最合适的语言是哈密顿力学的语言,即用系统中所有自由度对应的广义坐标 q 和广义动量 p 所张成的相空间来描写力学状态,并用相空间上的一个函数【哈密顿函数 H=H (q, p) 】和一个结构 【泊松括号】来刻画系统的运动规律。就这样,一个和谐的哈密顿系统诞生了。

    如果我们问这个哈密顿系统的态怎么表达,答案很平庸:只要在相空间中指出一个点。但是如果我们问这个哈密顿系统的态空间是什么,答案可能并不那么显然。顾名思义,态空间是一个物理系统所有允许的状态构成的集合。按这个定义,相空间可不是上述哈密顿系统的态空间,因为如果你在相空间中随意点出两个点来,会有极大的可能性使它们并不对应相同的哈密顿函数值,而作为一个给定的保守系统的状态,必须要求使得哈密顿函数保持为常数。这样看来,保守系统的态空间不应该是相空间,而应该取成相空间中的能量曲面

    故事到这里还没有结束。如果我们遇到的系统还有别的运动积分,这些运动积分都会在相空间给出对应的常值函数,例如,如果系统具有平移对称性,就会有动量守恒,如果系统具有转动对称性,就会有角动量守恒。在3维空间中,动量、角动量同时守恒则意味着在相空间中又多出来6个常值函数。所有这些常值函数共同在相空间中定义了一个超曲面,它才是保守系统的状态空间。如果系统的自由度数是r,那么实际的态空间则应是 2r 维相空间中的一个余 7 维的曲面,其曲面方程就是能量、动量和角动量的守恒条件。

    更为麻烦的是这些额外守恒量的个数是因具体系统而异的,而且有的时候看起来不同的守恒条件其实是不相互独立的,例如一维自由质点的能量守恒和动量守恒其实是同一回事。由此看来,离开系统的具体物理细节,哪怕只是谈论态空间的维数都是不可能完成的任务。因此,虽然相空间并非实际的态空间,但是一般而言,讲述力学系统的物理状态时总是从相空间入手就变成可以理解的了。




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2 刘全慧 文克玲

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