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作用量和运动方程哪一个更物理? 精选

已有 3855 次阅读 2018-3-30 10:17 |系统分类:教学心得| 作用量, 变分原理, 经典力学, 量子力学

      十五六年以前,中国科大的卢建新教授在黄山脚下不远处的太平湖召集了好几次理论物理方面的研讨会。在其中一次会议的休息时间,有与会者突然提出了题目中这个问题。记得当时侯伯元老师脱口而出:“作用量就是物理”。参与者中有赞同者,也有反对者,因为这不是会议的主题,最后结果不了了之。

      在其后一段时间的教学活动中,上面这个问题时不时就重新回到笔者的头脑中,不知不觉间,似乎已经寻到了答案,只不过,这个答案看起来有点费事,甚至有点离经叛道。

      先从作用量说起。在任意一本理论力学的教材中都可以找到作用量的定义:它就是力学系统的拉格朗日量在时间过程中的积分,而拉格朗日量则一般是广义坐标和广义速度的函数:

作用量对广义坐标进行变分的结果为

在固定的边界条件下对作用量变分取极值的条件就给出经典运动方程:

这些都是经典力学中耳熟能详的知识。由于从作用量出发可以推得运动方程,从直观上看,好像作用量来得更为基本。

      问题在于,从对经典运动的基本规律的认识的角度,作用量似乎并没有什么基本的地位。它既不对应任何守恒的物理量,也不直接反应任何运动过程。相反,运动方程则是任何经典力学状态必须遵守的方程,它所反应的才是真实的物理规律。仔细分析上面的作用量变分,会发现其中隐藏着更加微妙的问题:作用量变分极值条件所要求的固定边界条件这个前提实际上假定了我们确切地知道了在时刻系统所在的坐标位置以及在时刻系统所在的坐标位置。而经典力学所在意的物理问题并不是这样的边值问题,而是在已知在时刻系统所在的初始力学状态

的前提下如何推知系统在未来某个时刻的力学状态。从这个意义上说,作用量的变分原理其实是违反力学本身的物理逻辑的。这种违反力学内在逻辑的现象在英文中称为telelogical problem,本人还没有找到其恰当的中文翻译。

      从上一段的讨论可以得出这样的结论,即对经典力学系统而言,运动方程才是对最基本的物理规律的表述,而作用量原理的使用似乎存在逻辑问题。但是,如果我们考虑量子力学,情况就完全不同了。在量子力学中,一个物理过程未必会沿着经典力学所指出的路径发生。费曼路径积分指出,一个真实的量子过程的振幅是所有可能的路径的加权求和,用公式表示,就是

注意:在量子力学问题中,初态、末态确实是已知的,我们对量子过程所能提出的疑问不是已知初态求末态,而是初态、末态已知,尝试了解中间过程。这时,费曼路径积分无疑是最恰当的表述。换句话说,在量子力学问题中,作用量反映了真实的物理,其中最主要的部分当然是隐藏在作用量中的相互作用势函数的作用,因为它决定了全部费曼图中的顶角结构。


      从上述讨论可以理解,在经典力学中,运动方程是最基本的物理规律的陈述,而在量子力学中,路径积分才是基本物理规律的陈述。那么,作用量的变分原理到底在物理学中起什么作用呢?如果将上面的路径积分通过虚时转动写成下面的形式,就可以得出答案:

显然,在所有可能的路径中,对于上述振幅的贡献最大的是使得作用量变分取极小值的经典路径。如果除经典路径以外,所有其它路径的贡献都可以忽略,这时就得到了量子力学的经典极限。换句话说,“作用量变分取极小值”这个经常在经典力学中讲授的变分原理只有在量子力学中才能获得恰当的解释。


      顺便一说:上面的讨论同时还解释了为什么我们经常把作用量变分为零的条件称为最小作用量原理。如果不考虑量子力学,作用量变分为零充其量也只能被称为“作用量极值原理”。




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